四川省泸县第五中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

2019-2020学年度秋四川省泸县第五中学高二期中考试文科数学试题
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．若直线过点(1,2)，(2,23)+，则此直线的倾斜角是 A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离是 A.
B.1
C.
12
D.
14
3．双曲线22
324
x y -=-的渐近线方程为
A.2y x =±
B.2y x =±
C.2
2
y x =±
D.12
y x =±
4．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A.(－10,2,8)
B.(－10,2,－8)
C.(5,2,－8)
D.(－10,3,－8)
5．设、b 是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若//,//,a b a α则//b α B.若,//,a αβα⊥则a β⊥ C.若,,a αββ⊥⊥则//a α
D.若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥
6．已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆22
2:(3)(1)1C x y -++=，则这两圆的位置关系是
A.相交
B.相离
C.外切
D.内含
7．直线：与圆交于两点，
，则实数的值为 A ．1-或9
B ．或9-
C ．
D ．9-
8.在平面直角坐标系中，经过点(22,2)P 3的双曲线的标准方程为
A ．22142x y -=
B ．221714x y -=
C ．22136x y -=
D ．221147
y x -=
9．由直线2y x =+上的点向圆22
(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为
A.4231 33 D.421
10．已知动点(,)P x y 满足225(1)(2)341x y x y -+-=+-，则点的轨迹为
A.直线
B.抛物线
C.双曲线
D.椭圆
11．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为
A ．
2
B ．
5
C ．
5
D ．
3
12．设12,F F 为椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点
12,M MF F ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，若双曲线2C 的离心率3
[,4]2
e ∈，则椭圆1C 的离心率取
值范围是 A.45[,]99
B. 3[0,]8
C.34[,]89
D.5[,1]9
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知直线1:310l ax y +-=，222()30l x a a y +-+=：
，且12l l ⊥已知则a = . 14．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合，若为抛物线上一点，且
||3AF =，则直线AF 的斜率等于__________．
15．若直线1y kx =+和圆2
2
:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=o ，则实数k 的值为__________．
16．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且AB ，AC ，AD 两两夹角都为60°，若BD =，
则该球的体积为______．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本大题满分10分）
已知直线1:250l x y +-=，2:20l x y -=. （1）求直线1l 和直线2l 交点P 的坐标；
（2）若直线l 经过点P 且在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l 的一般式方程．
18． （本大题满分12分）
已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点. （1）求证：OB OA ⊥；
（2）当OAB ∆的面积等于10时，求k 的值.
19．（本大题满分12分） 已知圆M 过点，且圆心M 在直线
上.
（1）求圆M 的方程；
（2）点),(y x P 为圆M 上任意一点，求2
1
++x y 的最值.
20．（本大题满分12分）
如图，是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=o ，AB BC ⊥，
2AB BC ==.
（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.
21．（本大题满分12分）
已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，O 为原点， 5
(2,)5
-在椭圆上，线段1PF 与轴的
交点N 满足
11()2
ON OP OF =+u u u r u u u r u u u r . （1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点2F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，交轴于M 点，若1222,MA AF MB BF λλ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r
，求12λλ+.
22．（本大题满分12分）
已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a>b>0)的离心率为3，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率
为
23
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.
2019-2020学年度秋四川省泸县第五中学高二期中考试
文科数学试题参考答案
1．C 2．D
3．A
4．B
5．D
6．B
7．B
8．B
9．B
10．B 11．C
12．C
13．0或
13
14．22- 15．3±
16．
3π 17．（1）联立2x y 50
x 2y 0+-=⎧-=⎨⎩
，解得x=2，y=1．
∴直线l 1和直线l 2交点P 的坐标为（2，1）． （2）直线经过原点时，可得直线l 的方程为：y=
1
2
x ，即x-2y=0． 直线不经过原点时，可设直线l 的方程为：x-y=a ， 把点P 的坐标代入可得：2-1=a ， 即a=1，可得方程为：x-y=1．
综上可得直线l 的方程为：x-2y=0或x-y-1=0． 18．（1）证明：联立
，消去x ，得ky 2＋y －k ＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1＋y 2＝
－，y 1·y 2＝－1．因为y 12＝－x 1，y 22＝－x 2，所以（y 1·y 2）2＝x 1·x 2，所以x 1·x 2＝1，所以x 1x 2＋y 1y 2
＝0，即＝0，所以OA⊥OB．
（2）设直线l 与x 轴的交点为N ，则N 的坐标为（－1,0）， 所以S △AOB ＝|ON|·|y 1－y 2|
＝×|ON|×
＝×1×＝，解得k 2
＝，所以k ＝±．
19．（1）由，得中点为
，
，
所以的垂直平分线为
联立，得 ，则
，
圆的半径为
，
所以圆的方程为
（2）可以看成是点与连线的斜率
直线的方程为
，即
当直线
为圆的切线时，有
，解得
所以的最大值为，最小值为0
20．解：（1）连接MD ，FD .
∵四边形BDEF 为菱形，且60FBD ∠=o ， ∴DBF ∆为等边三角形. ∵M 为BF 的中点， ∴DM BF ⊥.
∵AB BC ⊥，2AB BC ==AC 的中点，
∴BD AC ⊥.
∵平面BDEF I 平面ABC BD =，平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF .
又BF ⊂平面BDEF ，∴AC BF ⊥.
由DM BF ⊥，AC BF ⊥，DM AC D =I ，
∴BF ⊥平面AMC .
（2）13
2sin 602BDEF S BD BF =⋅⋅⋅⋅=
o 菱形.已证AC ⊥平面BDEF ， 则C BDEF V -四棱锥13BDEF S CD =
⋅菱形13313==.∴32ABCEF C BDEF V V -==六面体四棱锥. 21：（1）因为()
112
ON OP OF =+u u u v u u u v u u u v
知,N 为1PF 中点，而O 又为12F F 中点，所以ON 为12F F P n 的中位线，又由于12ON F F ⊥，所以212PF F F ⊥，由P 坐标可知()22,0F ，所以()()122,0,2,0F F -，RT 12F F P n 中，由勾股定理得295PF =
，又因为15
PF =，所以 122255a PF PF a =+=⇒=，易得椭圆：2
215
x y += （2）设()()()11223,,,,0,A x y B x y M y
设l ：()2y k x =-，与2215x y +=联立得()2222
51202050k x k x k +-+-=
22121222
20205
,5151
k k x x x x k k -+==++ ()()11211311111,2,2x MA AF x y y x y x λλλ=⇒-=--⇒=
-u u u v u u u u v
同理2
2222
2x MB BF x λλ=⇒=-u u u v u u u u v ()()222212121222
121222
20205
22225151102420205
245151k k x x x x k k x x x x k k k k λλ⎛⎫-- ⎪+-++⎝⎭∴+===--+++⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭
点睛:平面几何知识的运用大大简化了本题的运算，故求解解析几何题时需充分挖掘题目的几何关系. 22．解：（1）设(),0F c ，因为直线AF 23，()0,2A -所以223
c =3c =
又
222c b a c a ==-解得2,1a b ==， 所以椭圆的方程为2214
x y +=.
（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，
联立2
21{42,
x y y kx +==-，消去得()22
1416120k x kx +-+=，
当(
)
2
16430k ∆=->，所以2
34k >
，即2k <-
或2
k >时 121222
1612
,1414k x x x x k k
+=
=++.所以
PQ =
=
= 点O 到直线
l 的距离d =
2
1214OPQ
S d PQ k
∆==+，
0t =>，则2243k t =+，
2441
44OPQ t S t t t
∆=
=≤=++， 当且仅当2t
=2=
，解得k =时取等号， 满足2
34k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l
的方程为：2y =-
或2y x =-.。