第一讲二重积分三重积分

d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x

y
c
1(
y) y

x
D
1(

x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D f (x, y) dxdy.
曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
x 1(y)
x)b
2(
x
y)
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
c
1(y)
x
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型
区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy

b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy
05cos区域xy被对角线划分成四个区域k1234xydxdy计算真题研讨计算其中d如图所示显然机动目录上页下页返回结束cossincossincossin例2设d是平面上以111111为顶点的三角形区域d1是d在第一象限的部分则三二重积分的换元法第二节一利用直角坐标计算二重积分二利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章一利用直角坐标计算二重积机动目录上页下页返回结束为计算方便可选择积分序必要时还可以交换积分序
(C)I2 I1 I3.
(B)I1 I2 I3.
(D)I3 I1 I2
6.(90)交换积分次序
2
dx
0
2 e y2 dy
x

7.(01)交换积分次序
0
dy
1
1 y 2
f (x, y)dx

8.(95)设f
(
x)在
0,1
上连续，且 1 0
f
( x)dx

A，
求
1
dx
1
f (x) f ( y)dy.
0
x
9.(06)设f (x, y)是连续函数，下列积分化为直角坐标下的积分为

1
4 d 0
0
f (r cos , r sin )rdr
10.(02)计算 emax x2,y2dxdy, D (x, y) 0 x 1,0 y 1 D
且f(1,y)=f(x,1)=0， f(x,y)dxdy=a,
D
D=(x, y) 0 x 1, 0 y 1, 计算I= xy fxy (x, y)dxdy
D
例1. 计算
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )
在闭区域D上 使
D f (x, y)d f ( , ) d
8.二重积分的对称性定理
（1）如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y) 为y的奇偶
函数，则
x
0, f (x, y)关于y为奇函数

D
f
(x,
y)d


2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)关于y为偶函数
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1
2
(B). ydv 4 ydv
1
2
(D). xyzdv 4 xyzdv
1
2
(C). zdv 4 zdv
1
2
4.(09)区域（ x.y）x 1, y 1被对角线划分成四个区域Dk
（k=1,2,3.4）,Ik
y cos xdxdy,则max 1k 4
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,则有 Nhomakorabeam D f (x, y) d M
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y) 为x的奇偶函数，
0, f (x, y)关于x为奇函数

D
f
(x,
y)d


2
D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)关于x为偶函数
(3)轮换对称性： f (x, y)d f ( y, x)d
Dxy
Dyx
（4）如果积分区域D关于直线y=x对称，则
11.(06)计算 x2 y2 1 d , D (x, y) 0 x 1,0 y 1
D
12.(06)计算
D
x
1 xy 2 y2
1
dxdy,D

(x, y) x2 y2 1, x 0
真题研讨
13.(11)已知f(x,y)具有二阶连续偏导数，
对称性的应用
若 1 2 关于yoz面对称，1是z 0的部分
0, f (x, y, z)关于x为奇函数

f
(x,
y,
z)dv


21
f
(x,
y,
z)dv,
f
(x,
y,
z)关于x为偶函数
若关于yoz(xoz)平面对称，也有类似结论
若区域关于原点对称，且f(x,y,z)关于(x,y,z)是奇函数，则
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
D
:
1

(
x) a

y x


b
2
(
x)
y y 2(x)
D x
则
f (x, y) dx
D
若D为Y –型区域 D
dy
: 1

(
b
dx
a
y) c
2 (x) 1( x)
x 2
yd
f (
(x, y)
o a y 1( y) d y
y x d y
D3
o
x
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D设: 1
( )

r

2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D

d
2 (
)
f
(r
cos
,r
sin
)r
o dr

1( )

r 1( ) r 2 ( )
D1
(B)4 (xy cos x sin y)dxdy
D1
(C )2 xydxdy
D1
(D) 0
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积
分
若D为 X – 型区域
D1
(B)2 xydxdy D1 (D) 0
2（94）计算
D
(
x2 a2

y2 b2
)dxdy
3.(00)1 : x2 y2 z2 R2 , z 0,
2 : x2 y2 z2 R2 , x 0, y 0, z 0,
正确的是：（
）
(A). xdv 4 xdv
44
10 18
4
12
14 30
12
15 27
4
4
12 20
第九章 重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节
第九章
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义与可积性
二、二重积分的性质
三、二重积分的应用
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一定义 如果 f (x, y) 在D上可积,
Ik

Dk
5.(05)I1 cos x2 y2d.
D
I2 cos(x2 y2)d
I1 cos x2 y2d
D
I3
cos(x2

y2
2
) d
D
D
D (x, y) x2 y2 1
( A)I3 I2 I1.
f (x, y, z)dv 0
若被积函数，积分区域关于x,y,z具有轮换对称性
f (x)dv f (y)dv= f (z)dv



二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分
先假设连续函数 f (x, y, z) 0, 并将它看作某物体
的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
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例2设D是平面上以（1,1),（-1,1）,（-1，-1）为顶点
的三角形区域， D1 是D在第一象限的部分，则
D (xy cos x sin y)dxdy
( A)2 cos x sin ydxdy
z1( x, y)

D
f
(x, y)d

0, f
2D
(x, y) f ( y, x)
f (x, y)d，f (x, y)

f
(y, x)
(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点 对称的两部分为 D1和D2
0, f (x,y) f (x, y)

D
f
(x,
y)d


2
二重积分、三重积分 、曲线积分、 曲面积分的题型和分值分布
2012 2011 2010 2009 2008 2007 2006 2005 2004
二重积 三重积 第一类曲 第二类 第一类 第二类 总和
分
分
线积分 曲线积 曲面积 曲面积
分
分
分
10 4
14
11
4
15
4
4 10
18
4
4
4
10 22
9
4
13
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先一后二” )

:
z1
( (
x, x,
y) y)

z D
z2
(x,
y)
细长柱体微元的质量为
z z2 (x, y)
z
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
z1( x, y)

z z1(x, y)
该物体的质量为
y
f (x, y, z) d v
xD
dxd y

D
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy
特别,
对
D
:
0 r (

0


2
)
o r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
D
2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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2
2
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第三节 三重积分
第九章
一、三重积分的概念 和性质 二、三重积分的计算
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定义.f (x设, y, z) , (x, y, z) ,
n
lim
0
k
1
f
( k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv

dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如
中值定理.
在有界闭域 上连续, V 为 的
体积, 则存在 ( ,, ) , 使得
f (x, y, z) d v f (,, )V
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D1
f
(x,
y)d，f
(x,
y)

f
(x，y)
1（. 91）设D是平面上以（1,1）（-1,1）（-1，-1）
为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，
则 (xy cos xsin y)dxdy等于（
）
D
(A)2 cos x sin ydxdy D1
(C) (xy cos x sin y)dxdy4
其中D 由
y 4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
y 3x
o D2 1 x
x 1
若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)