江苏省南通第一中学高三数学上学期第二次阶段考试卷

江苏省南通第一中学2015—2016学年度第一学期第二次阶段考试卷
高三数学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为
120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答
题卡上。

3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作
答
一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
． 1．已知集合{}05A x x =<<，{}24B x x =≥，则A B =I 2．已知复数z 满足()3425i z -=，则z =
3.若条件:14p x +≤，条件:23q x <<，则q ⌝是p ⌝的 条件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．
4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =
5.已知正四棱锥的底面边长是3
，高为
2
，则这个正四棱锥的侧面积 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52
f ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
7．从抛物线2
4x y =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM =5， 设抛物线的焦点为F ，则三角形MPF 的面积为
8.过点A （-1，10）且被圆2
2
42200x y x y +---=截得的弦长为8的直线方程是
9．如图,21,F F 是椭圆22
1:
1124
x y C +=与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是
10．如图，正方形ABCD 的边长为2，,M N 分别为边,BC CD 上的动点，
且45MAN ∠=o
，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为
11已知函数11 6() 1x x f x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪>⎩，1lnx ，
，方程()f x =ax 恰有两个不同的实根，则实数
a 的范围
12. 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于B A ,两点，且OB OA ⊥(O
为坐标原点)，若椭圆的离心率]2
2
,21[∈e ，则a 的最大值为_________.
13.已知0,0x y >>，且
123
2xy x y
++=，则2x y +的最小值为_________.
14若关于x 的不等式(1)(lnx ax)0(0,)ax -+≥+∞在上恒成立，则实数a 的范围
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15已知函数233
()sin 2cos ()24
f x x x x R =
-+∈ （1）当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值； （2）若0x x =()
0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．
16如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o
60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，点M 在线段EF 上． （1）求证：BC ⊥平面ACEF ；
（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．
M B
A
C
D
E
（第16题图）
F
17 已知海岛 B 在海岛 A 的北偏东45o
的方向上，两岛相距 10 海里．小船 P 从海岛 B 以 2 海里/小时的速度沿直线向海岛 A 移动，同时小船 Q 从海岛 A 出发，沿北偏西15o
方向以4海里/小时的速度移动．
（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；
（2）求小船 P 处于小船 Q 的正东方向时，小船航行的时间．
18如图，已知00(,)M x y 是椭圆C :13
62
2=+y x 上的任一点，从原点O 向圆M ：
()()
22
002x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P 、Q .
（1）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：12k k 为定值； （2）试问2
2
OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
19．已知函数f （x ）=ln （x+1）+ax 2
﹣x ，a ∈R ．（Ⅰ）当1
4
a =
时，求函数y=f （x ）的极值； （Ⅱ）若对任意实数b ∈（1，2），当x ∈（﹣1，b]时，函数f （x ）的最大值为f （b ），
求a 的取值范围．
20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n s ，且a 1＝2，a n a n +1＝2(S n ＋1)。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足122b =-
，*11(n 2,n N )n n n n n
b a a a a --=≥∈+且, 求{}n b 的前n 项和T n （3）数列{}n
c 满足lg c 1=
13
，lg n c =13n n
a - （*
n 2,n N ≥∈且），试问是否存在正整数p,q 其中()1p q <<,使c 1，c p ，c q 成等比数列?若存在求出满足条件所有的数组(p ，q )； 若不存在请说明理由。

Q
P
M
O
x
y
·
江苏省南通第一中学2015—2016学年度第一学期第二次阶段考试卷
高三数学（理）
数学II
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
4．本试卷共1页，解答题（共4题），满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

5．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

6．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答
一律无效。

如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

21B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵
1
2
b
M
c
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
有特征值
1
4
λ=及对应的一个特征向量
1
2
3
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
u r
e.
（1）求矩阵M；（2）写出矩阵M的逆矩阵.
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐
标方程为sin()4
π
ρθ-=.已知点P 在椭圆C ：
22
1169x y +=上，求点P 到直线l 的距离的最大值.
22,.已知M （-1,0），F （1,0），动点P 满足2MP MF FP •=u u u r u u u r u u u r
，过F 的直线交P 的轨迹C 于
A,B 两点，若AB 的垂直平分线经过点Q （0,5），求直线AB 的斜率。

23.无穷数列{}n a 满足*i a N ∈，且*
1(i N )i i a a +≤∈，对于数列{}n a ，
记{}*
min |a (k N )k n b n k =≥∈，其中{}min |a n n k ≥表示集合{}|a n n k ≥中的最小数
（1）若数列{}n a ：1，3，5，7，…,请写出212,,a b b b ；
（2）已知T n =1212......,T (n 1)n n a n n a a a b b b a +++++++=+求证.。