高考数学一轮复习 单元质量评估4 理 新人教A版

单元质量评估四(第四章)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．1 C ．－9
D ．－1
解析：设a ＝λb ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
3＝x λ
1＝－3λ
，解得x ＝－9.故选C.
答案：C
2．若非零不共线向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，则下列结论正确的个数是( ) ①向量a 、b 的夹角恒为锐角； ②2|b |2
>a·b ； ③|2b |>|a －2b |； ④|2a |<|2a －b |. A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：因为非零向量a 、b 满足|a －b |＝|b |，所以由向量a 、b 、a －b 组成的三角形是等腰三角形，且向量a 是底边，所以向量a 、b 的夹角恒为锐角，①正确；
②：2|b |2
>a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉⇒2|b |>|a |cos 〈a ，b 〉，而|b |＋|a －b |＝2|b |>|a |>|a |cos 〈a ，b 〉，所以②正确；
③：|2b |>|a －2b |⇒4|b |2
>|a －2b |2
＝|a |2
－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＋4|b |2
⇒4|a |·|b |cos
〈a ，b 〉>|a |2
⇒4·|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，而2|b |cos 〈a ，b 〉＝|a |，所以4|b |cos 〈a ，b 〉>|a |，
③正确；
④：|2a |<|2a －b |⇒4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |，而4|a |cos 〈a ，b 〉<|b |不一定成立，所以④不正确．故选C.
答案：C
3．已知向量a 、b 的夹角为60°，|a |＝3，|b |＝2，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值是( )
A.32
23 B.2342 C.2942
D.4229
解析：∵(3a ＋5b )⊥(m a －b ) ∴(3a ＋5b )·(m a －b )＝0， 即3m a 2
－5b 2
＋(5m －3)a ·b ＝0，
∴27m －20＋(5m －3)×3×2cos60°＝0，解得m ＝29
42.
答案：C
4．(2011·广东六校联考)如右图，在平行四边形ABCD 中，O
是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )
A.AC →＝AB →＋AD →
B.BD →＝AD →－AB →
C.AO →＝12AB →＋12
AD →
D.AE →＝53
AB →＋AD →
解析：排除法．如题图，AC →＝AB →＋AD →
，故A 正确． 而BD →＝AD →－AB →
，故B 正确． AO →
＝12AC →＝12(AD →＋AB →)＝12AB →＋12
AD →
，故C 正确，所以选D.
答案：D
5．(2010·绵阳二诊)在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量
AM →
在向量BC →
方向上的投影是( )
A ．1
B ．－1 C.35
5
D ．－355
解析：依题意得AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝－6，|BC →|＝42＋22
＝
25，向量AM →在向量BC →
方向上的投影等于AM →·BC →
|BC →|
＝－625＝－355.选D.
答案：D
6．(2010·广州测试)已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )
A ．1 B. 3 C ．3 D ．9
解析：|a ＋b |＝
x ＋
2
＋
x ＋3
2
＝5＋2sin x ＋23cos x ≤5＋22
＋3
2
＝3.
答案：C
7．(2010·福建质检)i 为虚数单位，若a 1－i ＝1＋i
i
，则a 的值为( )
A ．i
B ．－i
C ．－2i
D ．2i
解析：由a 1－i ＝1＋i i 得a ＝1＋i i (1－i)＝2
i
＝－2i.
答案：C
8．(2011·皖南八校联考)若z ＝y ＋3i
1＋x i
(x ，y ∈R ，i 为虚数单位)是实数，则实数xy 的值
为( )
A ．3
B ．－3
C ．0
D. 3
解析：∵z ＝y ＋3i
1＋x i
＝
y ＋
－x ＋x －x
＝
y ＋3x ＋
－xy
1＋x
2
为实数，∴
3－xy
1＋x
2＝0，∴xy ＝3，故选A.
答案：A
9．(2011·惠州调研)在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：因为π
2<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z ＝
cos3＋isin3对应的点位于第二象限．
答案：B
10．(2010·安徽联考)已知点P 为△ABC 所在平面上的一点，且AP →＝13AB →＋tAC →
，其中t 为
实数．若点P 落在△ABC 的内部，则t 的取值范围是( )
A ．0<t <1
4 B ．
0<t <13
C ．0<t <1
2
D ．
0<t <23
解析：如右图，E 、F 分别为AB 、BC 的三等分点， 由AP →＝13
AB →＋tAC →
可知，
P 点落在EF 上，而EF →＝23
AC →
，
∴点P 在E 点时，t ＝0， 点P 在F 点时，t ＝2
3
.
而P 在△ABC 的内部，∴0<t <2
3.
答案：D
11．(2011·皖南八校联考)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，若O 为△ABC 内部的一点，且满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则AO →·BC →
＝( )
A.12
B.25
C.13
D.14
解析：由题易知O 为△ABC 的重心，取BC 的中点D ， ∴AO →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，
∴AO →·BC →＝13(AB →＋AC →)(AC →－AB →
)
＝13(AC →2－AB →2)＝13. 答案：C
12．(2010·重庆一诊)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”，若向量a 、b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )
A ．a ⊥b
B ．a ⊥(a －b )
C ．b ⊥(a －b )
D ．(a ＋b )⊥(a －b )
解析：依题意得|a －t b |≥|a －b |， 即(a －t b )2
≥(a －b )2
，
亦即t 2
－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立， 因此有Δ＝(2a·b )2
－4(2a·b －1)≤0， 即(a·b －1)2
≤0，故a·b －1＝0，
即a·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C. 答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．(2010·南京调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为__________
解析：因为z 1·z 2＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 答案：－1
14．在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则△PBC 与△ABC 的面积之比是________．
解析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋PC →
－AB →
＝0，即PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，得PA →＋PA →＋PC →＝0，即2PA →＝CP →
，所以点P 是CA 边上的第二个
三等分点，故
S △PBC S △ABC ＝2
3
. 答案：2:3
15．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤AB →·AC →≤6，设AB →和AC →
的夹角为θ，则θ的取值范围是________．
解析：由题意可知：12|AB →||AC →
|sin θ＝3，
∴|AB →||AC →
|＝6sin θ
.
∴AB →·AC →＝|AB →||AC →
|·cos θ＝6cos θsin θ.
∵0≤AB →·AC →
≤6,0<θ<π，
∴0≤6cos θsin θ≤6，∴0≤cos θ≤sin θ，∴θ∈[π4，π2]．
答案：[π4，π2
]
16．(2011·广东茂名一模)O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，若λ＝12
时，PA →·(PB →＋PC →
)的值为________．
解析：由已知得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →
)， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)，
当λ＝12时，得AP →＝12(AB →＋AC →
)，
∴2AP →＝AB →＋AC →
，
即AP →－AB →＝AC →－AP →，∴BP →＝PC →， ∴PB →＋PC →＝PB →＋BP →
＝0，
∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →
·0＝0，故填0.
答案：0
三、解答题(本大题共6个小题，共计70分，写出必要的文字说明、计算步骤，只写最后结果不得分)
17．(10分)如果方程(1＋i)x 2
－2(a ＋i)x ＋5－3i ＝0(a ∈R )有实数解，求a 的值． 解：原方程整理为(x 2
－2ax ＋5)＋(x 2
－2x －3)i ＝0， 设方程的实根为x 0，代入方程得 (x 2
0－2ax 0＋5)＋(x 2
0－2x 0－3)i ＝0.
由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
0－2ax 0＋5＝0，①
x 2
0－2x 0－3＝0， ②
由②得x 0＝3或－1，代入①得a ＝7
3或－3.
∴a ＝7
3
或－3.
18．(12分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)， (1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角θ的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .
解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线．
又a·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5，
∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－152＝－2
10
.
(2)∵a·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a·c |a |＝－72
＝－7
2 2. (3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2
，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ
1
＝－
23
7
λ
2＝37
.
19．(12分)(2011·合肥模拟)已知m ＝(cos x,2sin x )，n ＝(2cos x ，－sin x )，f (x )＝m·n . (1)求f (－20093
π)的值；
(2)当x ∈[0，π2]时，求g (x )＝1
2f (x )＋sin2x 的最大值和最小值．
解：(1)∵f (x )＝m·n ＝2cos 2
x －2sin 2
x ＝2cos2x ， ∴f (－20093π)＝2cos[2×(－2009
3π)]
＝2cos 40183π＝2cos(1338π＋π＋π
3)
＝2cos(π＋π3)＝－2cos π
3＝－1.
(2)由(1)得
g (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π
4
)．
∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π4∈[π4，5π
4]，
∴当x ＝π
8时，g (x )max ＝2；
当x ＝π
2
时，g (x )min ＝－1.
20．(12分)设A 、B 为圆x 2
＋y 2
＝1上两点，O 为坐标原点(A 、O 、B 不共线)． (1)求证：OA →＋OB →与OA →－OB →
垂直；
(2)若单位圆交x 轴正半轴于C 点，且∠COA ＝π4，∠COB ＝θ，θ∈(－π4，π4)，OA →·OB
→
＝4
5
，求cos θ. (1)证明：由题意知|OA →|＝|OB →
|＝1， ∴(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2 ＝|OA →|2－|OB →|2
＝1－1＝0， ∴OA →＋OB →与OA →－OB →
垂直．
(2)解：OA →＝(cos π4，sin π4)，OB →
＝(cos θ，sin θ)，
∴OA →·OB →
＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝cos(θ－π4)，
∵OA →·OB →＝4
5，∴cos(θ－π4)＝45，
∵－π4<θ<π
4
，
∴－π2<θ－π
4<0，
∴sin(θ－π
4
)＝－
1－cos
2
θ－
π4＝－35
，
∴cos θ＝cos[(θ－π4)＋π
4
]
＝cos(θ－π4)cos π4－sin(θ－π4)sin π
4
＝45×22－(－35)×22＝72
10
. 21．(12分)(2011·苏州市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2
，sin 3A 2
)，n ＝(cos A 2
，sin A
2
)，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2
＋n 2
＋2m·n ＝3， 则1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A
2)＝3，
∴cos A ＝1
2，
∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×3
2，
即
32sin B ＋12cos B ＝3
2
， ∴sin(B ＋π6)＝32，∴0<B <2π3，
∴
π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3
， 故B ＝π6或π2，当B ＝π6时，C ＝π2，
当B ＝π2时，C ＝π6.
故△ABC 是直角三角形．
22．(12分)已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)，令f (k )＝a·b . (1)求f (k )＝a·b (用k 表示)；
(2)当k >0时，f (k )≥x 2
－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，求实数x 的取值范围．
解：(1)由题设得|a |2
＝|b |2
＝1，对|k a ＋b |＝3|a －k b |两边平方得k 2a 2
＋2k a·b ＋b 2
＝3(a 2
－2k a·b ＋k 2b 2
)，
整理易得f (k )＝a·b ＝k 2＋1
4k
(k >0)．
(2)f (k )＝k 2＋14k ＝k 4＋14k ≥1
2
，当且仅当k ＝1时取等号．
欲使f (k )≥x 2
－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立，等价于12≥x 2－2tx －12，即g (t )＝2xt
－x 2
＋1≥0在[－1,1]上恒成立，而g (t )在[－1,1]上为单调函数或常函数，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
g
＝2x －x 2
＋1≥0g
－
＝－2x －x 2
＋1≥0
解得1－2≤x ≤2－1.
故实数x 的取值范围是[1－2，2－1]．。