“直线的斜率”教学设计

２０２３年９月上半月㊀教学研究
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直线的斜率 教学设计∗
◉福建省莆田第一中学㊀吴天然㊀林㊀敏
◉福建教育学院数学教育研究所㊀林㊀敏㊀㊀㊀㊀
㊀㊀摘要: 直线的斜率 是解析几何的起始课．本节课通过探究平面直角坐标系中不同位置的直线,引导学生探索确定直线的几何要素以及用代数方法刻画直线斜率的过程,最终形成倾斜角的概念并通过几何方法推导过两点直线的斜率公式;在将几何问题代数化的过程中,螺旋式培养学生数形结合等学科核心素养．
关键词:倾斜角;斜率;代数运算;逻辑推理素养
１教学内容分析
本节课是高中数学选择性必修第一册第二章 直
线和圆的方程 的第１课 直线的斜率 ,介绍了直线的倾斜角和斜率的概念,以及过两点的直线的斜率公式．本节是学生学习解析几何的第一课时．本节的学习让学生回忆初中有关直线性质的知识,并在理解平面向量相关知识的基础上,引导学生以坐标的方式来研究直线的相关性质,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法 用代数方法研究几何问题．同时,在教学中进一步培养学生对数形结合与分类讨论思想的应用意识[１]．本课是开篇之精华,具有承上启下的地位,并为后续教学内容 判断两条直线的位置关系及建立直线方程等起到关键性的铺垫作用．
２学情及目标分析
学生在初中已经学习了一次函数及其图象,对于直线的方程有了一定的了解,因此本节课的难点是理解斜率的概念．教师应通过情境贯穿教学,让学生经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟解析几何思想．本节课的教学目标:
(１)掌握直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式(重点)．
(２)理解直线的斜率与它的倾斜角的关系(难点)．３教学过程
３．１情境导入
为了描述现实世界中的运动变化现象,如行星的运动㊁平抛运动等,需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画,从而创立了坐标系,用坐标刻画运动变化,这就是解析几何的创始．
图１我们知道,平面直角坐标
系中,一个 点 可以用 数 来
表示,那么其他的图形如直线㊁
曲线㊁几何体又如何用数量关
系描述?今天我们从比较简单
的图形 直线开始研究．下
面,让我们一起欣赏新世界七大奇迹之 :港珠澳大桥(如图１)．如果将大桥两侧铁索抽象为直线,那么这些过同一点的直线的不同点是什么可以用哪个几何量描述如何描述?
设计意图:通过回顾,明确解析几何学的研究对象,使学生对坐标法形成初步印象,并引出本节的研究内容．学生通过观察港珠澳大桥两侧铁索,并分享观察成果 相对桥面的倾斜程度不同,既能够活跃课堂氛围,又能为新知的导出埋下伏笔,让学生在愉悦的环境中获取新知．
３．２新知探索１
(１)探究任务１:怎样描述直线的倾斜程度?
为了便于使用代数方法研究这些直线,我们先建立平面直角坐标系,如图２㊁图３．
问题１㊀在平面直角坐标系中,过一点能够作多少条直线?给定直线相对于x轴的倾斜方向,又能作多少条直线?
问题２㊀你认为确定一条直线需要几个要素?
问题３㊀既然方向如此重要,那么我们如何准确地描述直线的倾斜度程度呢
图２
㊀㊀
图３
５
１
∗课题信息:本文系福建省教育科学 十四五 规划２０２２年度课题 数学拔尖人才的早期发现与培育机制研究 (课题编号:F J J K Z X２２Ｇ５６４)的研究成果．
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教学研究
２０２３年９月上半月
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师生活动:
活动１:学生动手在坐标系中画一组直线,观察结果．活动２:学生分享自己的观察成果．①过一点能够
作无数条直线,即一个点不能确定直线;给定倾斜方向可作无数条直线,即只给定倾斜方向也不能确定直线．②确定直线的几何要素 两点,或直线上的一点和直线的方向．③通过观察图形,可以用一个角度来描述直线的倾斜程度,我们把描述倾斜程度的角称为倾斜角．
(２
)新知学习:直线的倾斜角．当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x
轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线
l 的倾斜角．关键点:①x 轴正向;②直线l 向上方向．
试一试:请在图４中标出下列直线的倾斜角．
图４
问题４㊀当直线l 与x 轴重合或平行时,倾斜角又该怎样定义?倾斜角的范围应该是什么?
规定:当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为０ʎ．直线倾斜角的范围:０ʎɤα＜１８０ʎ．师生活动:
活动３:通过探究,学生口述 直线倾斜角 的概念,教师给予点评并完善概念,同时强调概念的关键点．
活动４:教师通过几何画板演示直线从与x 轴平
行或重合时开始绕一个点旋转的过程,让学生观察直线倾斜角的变化范围．
教师强调:在平面直角坐标系中,任意一条直线都有一个确定的倾斜角,只要直线的倾斜程度相同,其倾斜角必定相等;我们从 形 的角度用倾斜角刻画了平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．
设计意图:除 两点确定一条直线 外,引导学生意识到 一点 和 一个方向 也可以确定一条直线,方向是直线的一个重要几何要素;让学生观察过同一点的不同位置的直线,并强调以直角坐标系为参照系探究区分不同位置直线的方法,引导学生感受在平面直角坐标系中利用倾斜角刻画直线方向的合理性;让学生体会数学建模过程,在这个过程中,运用几何画板动态展示倾斜角的变化．让学生从 形 上感受直线倾
斜程度的变化[２]
．
３．３新知探索２
(１
)探究任务２:能否将倾斜角转化成一个代数量来描述直线的倾斜程度?问题５㊀除了直线的倾斜角,是否还有别的方法来刻画直线的倾斜程度?
你能例举生活中与倾斜程度有关的场景吗?我
们是用什么量来刻画它们的倾斜程度的
问题６㊀初中对坡度是如何定义的
问题７㊀根据 倾斜角 的定义,得到 坡度 本质是 倾斜角α的正切值 ．除此以外,我们还可以用哪些量来刻画直线的倾斜程度?
师生活动:
活动１:教师启发学生举出生活中的实际例子,比
如楼梯㊁斜坡㊁小朋友玩的滑梯等
．
图５
生活中,我们用 坡角 与 坡度 刻画斜坡的倾斜程度,如图５,坡度k ＝上升高度水平距离＝D B
A D
,即坡度k ＝
坡角α的正切值．
坡度k ＞０表示这段道路是上坡,k ＝０表示是平
路,k ＜０表示是下坡,|k |越大说明坡越陡．
(２
)新知学习:直线的斜率．一条直线的倾斜角α(αʂ９０ʎ)的正切值k 叫做这条直线的斜率,记为k ＝t a n α．
口答:已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率k ．①α＝０ʎ;②α＝３０ʎ;③α＝４５ʎ;④α＝１３５ʎ．问题８㊀结合正切函数的图象与性质,思考:①当
０ʎɤα＜９０ʎ时,斜率与倾斜角的关系如何?②当α＝９０ʎ时,直线是否有斜率?③当９０ʎ＜α＜１８０ʎ时,斜率与倾斜角的关系如何?
师生活动:
活动１:类比得到直线 斜率 的概念．活动２:几何画板演示倾斜角与斜率的变化关系,师生共同归纳结论如下．
①当α＝０ʎ时,k ＝０;当０ʎ＜α＜９０ʎ时,k ＞０;
当α＝９０ʎ时,斜率k 不存在;当９０ʎ＜α＜１８０ʎ时,k ＜０．
②当０ʎ＜α＜９０ʎ时,α增大,k 也增大;当９０ʎ＜α＜１８０ʎ时,α增大,k 也增大．强调:倾斜角为９０ʎ的直线没有斜率．
设计意图:告知目标,明确思维的方向,将几何要素代数化．由坡度引入倾斜角的正切值反映倾斜程度,并运用几何画板动态展示倾斜角与斜率的变化关系,既生成了斜率的概念,又体现出选择正切值描述直线
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２０２３年９月上半月㊀
教学研究
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倾斜程度是与数学的内在逻辑一致的．
３．４新知探索３
(１)探究任务３:给定直线上两点,能不能求出直线的斜率
直线上的任意两点确定这条直线,所以这两点的坐标和直线的斜率一定有内在的联系．下面我们利用向量来研究它们之间的联系．
问题９㊀①已知直线l 过点P １(０,０),P ２(３,１)
,直线l 的斜率与这两点的坐标有什么关系?
②已知直线l 经过点P １(－１,１),P ２(２,０),直线h 的斜率与这两点的坐标有什么关系
③一般地,已知直线l 经过点P １(x １,y １)
,P ２(x ２,y ２)
(x １ʂx ２),直线的斜率与这两点的坐标有什么关系?
问题１０㊀当直线P １P ２与x 轴平行或重合时,问题９中的结论还成立吗?
问题１１㊀已知直线上两点P １(x １,y １)
,P ２(x ２,y ２)(x １ʂx ２),运用公式计算直线P １P ２的斜率时,与点P １,P ２的顺序有关吗?
师生活动:
教师提出问题９,引导学生体会向量法的优势．学
生通过独立思考,将问题推广到一般情形,并自主探究解答．
当直线不垂直于x 轴,已知直线上任意两个不同
点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)(x １ʂx ２),则向量P １P ２ң＝
(x ２－x １,y ２－y １),将向量P １P ２ң平移至O P ң,那么,向量P １P ２
ң与O P ң有相同的倾斜角,由正切函数的定义可得k ＝t a n α＝y ２－y １
x ２－x １
．
当直线P １P ２与x 轴平行或重合时,直线P １P ２的倾斜角为０ʎ,此时仍有k ＝t a n α＝
y ２－y １
x ２－x １
成立．当直线P １P ２与y 轴平行或重合时,直线P １P ２的倾斜角为９０ʎ
,此时结论不成立．(２
)新知学习:直线的斜率公式．经过两点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)
(x １ʂx ２)的直线的斜率公式为k ＝t a n α＝y ２－y １
x ２－x １
．
设计意图:教学中适时回顾向量的有关知识,通过引导,促成学生独立思考并建模,以加强逻辑推理和代数运算等素养的培养．通过对特殊问题一般化的抽象,得到斜率的计算公式,并发现它正是我们所寻求的刻画直线方向的代数表达,且能直接参与代数运算,实现用代数方法处理几何问题的目的,让学生体会从特殊到一般的认知规律．
３．５典例剖析
例题㊀已知点A (３,２),B (－４,１),C (０,－１)
,求直线A B ,B C 的斜率,并判断它们的倾斜角是锐角还是钝角．
变式１㊀已知点A (３,２),B (－４,１),D (３,１),求直线A D ,B D 的斜率和倾斜角．
变式２㊀若点A (３,２),B (－４,１),E (m ,－２)
,且A ,B ,E 三点共线,则m ＝．变式３㊀直线的斜率为k ,倾斜角为θ,若
π
４
＜θ＜３π
４
,则k 的范围是．设计意图:巩固所学知识,有助于保持学生自主学习的热情和信心．利用变式题,进一步强化斜率公式的应用,同时掌握公式的使用条件．通过数形结合,让学生熟悉倾斜角和斜率的关系．
３．６归纳总结
本节课学习了哪些知识和思想方法
(１
)学习内容的回顾:倾斜角ң斜率ң倾斜角与斜率的关系,如图６．
图６
(２
)学习过程的回顾(知识的构建过程):形(直线的倾斜程度)↔数(
斜率)发现问题ң直线的倾斜程度应该如何描述㊀㊀㊀㊀ˌ
研究问题ң确定影响倾斜程度的条件
倾斜角．㊀㊀㊀㊀ˌ
解决问题ң通过斜率描述．
(３
)体现的数学思想方法:特殊到一般,分类思想,数形结合思想．
设计意图:小结的目的是为了让学生回顾概念的形成过程㊁公式的探究过程,并从整体上把握倾斜程度㊁倾斜角㊁斜率之间的关系;师生共同构建数学知识体系,感受和体验数学的重要思想和方法．
参考文献:
[１]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７
年版)[S ]．北京:人民教育出版社,２０１８．[２]张居敏． 直线的斜率 教学设计研究[J ]．
中学数学月刊,２０１８(４):３７Ｇ３８．Z
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