认识三角形(基础)知识讲解及练习

认识三角形（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；
2. 理解并能够证明三角形内角和定理；
3. 掌握并会把三角形按角分类；
4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系；
5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题． 【要点梳理】
要点一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类
【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类：
⎧⎪
⎧⎨
⎨⎪
⎩⎩
直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形 要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
要点四、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．
（3）证明线段之间的不等关系．
要点五、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段
名称
三角形的高三角形的中线三角形的角平分线
文字语言从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶
点和它对边中点的线
段．
三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的顶点与交点之间的线
段．
图形语言
作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接
AD．
作∠BAC的平分线AD，交
BC于点D．
标示图形
符号语言1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的
高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边
上的中线．
3．BD＝DC＝
1
2
BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC
于点D．
3．∠1＝∠2＝
1
2
∠BAC．
推理语言因为AD是△ABC的高，所以
AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC＝
1
2
BC．
因为AD平分∠BAC，所以
∠1＝∠2＝
1
2
∠BAC．
用途举例1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—与角的平分线不同．
重要特征三角形的三条高(或它们的
延长线)交于一点．
一个三角形有三条中
线，它们交于三角形内
一个三角形有三条角平分
线，它们交于三角形内一
一点．点．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．证明：三角形的内角和为180°.
【答案与解析】
解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.
证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．
又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），
所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．
证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），
所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．
因为DE∥AB（已作）．
所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．
所以∠A=∠2（等量代换）．
又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．
【总结升华】理解并掌握三角形内角和的证明方法，有助于帮助我们更深刻的去记忆三角形
的内角和是180°.
2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．
【答案与解析】
解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，
知∠C＝100°．
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝50°．
∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．
【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．
【高清课堂：与三角形有关的角例1、】
举一反三：
【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.
【答案】
解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A
设∠A=x
则∠C=∠ABC=2x
x+2x+2x=180°
解得：x=36°
∴∠C=2x=72°
在△BDC中， BD是AC边上的高，
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=180°－90°-72°=18°
类型二、三角形的分类
3.一个三角形的三个内角分别是95°、30°、45°，这个三角形是（）
A 锐角三角形
B 钝角三角形
C 直角三角形
【答案与解析】解：因为这个三角形的其中一个内角是95°，95°是钝角，所以这个三角形是钝角三角形，故选：B.
【总结升华】主要考察了三角形的分类方法.
举一反三
【变式】一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形
A 锐角
B 直角
C 钝角 D无法判断
【答案】C
【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.
类型三、三角形的三边关系
4.（滕州市期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）
①7cm，5cm，11cm ②4cm，3cm，7cm ③5cm，10cm，4cm ④2cm，3cm，1cm．
A.①
B.②
C.③
D.④
【思路点拨】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【答案】A.
【解析】解：①∵7+5＞11，∴能围成三角形，②∵3+4=7，∴不能围成三角形，③∵4+5＜10，∴不能围成三角形，④∵1+2=3，∴不能围成三角形．能围成三角形的是①，故选A．【总结升华】本题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【高清课堂：与三角形有关的线段例1】
举一反三：
【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.
(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.
【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.
类型四、三角形中重要线段
5.（普宁市期末）下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）
A．B．C．D．
【思路点拨】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC 的高．
【答案】D；
【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．
【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部．
举一反三：
【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．
【答案】
解：所画三角形的高如图所示．
6.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．
【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD 的周长大3．
【答案与解析】
解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
答：AC的长为5cm．
【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD＝BD是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．
举一反三：
【变式】（西昌市期末）下列说法中错误的是（）
A.三角形三条角平分线都在三角形的内部
B.三角形三条中线都在三角形的内部
C.三角形三条高都在三角形的内部
D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部
【答案】C.
【巩固练习】
一、选择题
1．一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是( )
2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．任何一个三角形至少有（）个锐角
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4．已知三角形两边长分别为 4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )
A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm
5．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( )
A．5m B．15m C．20m D．28m
6．（成安县期末）下列说法正确的是（）
①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形三条高都在三角形的内部．
A．①②③ B．①②C．②③D．①③
7．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
8．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能
9．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( )
A．40° B．80° C．60° D．120°
二、填空题
10．（2015春•潜江校级期中）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长_______________.
11．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________cm．
12. （2016•大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=．
13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．
14.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；
(2) 若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．
三、解答题
15．（2015春•太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?
17.如图所示，已知AD，AE分别是ΔABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则ΔABD与ΔACD的周长之差为多少，ΔABD与ΔACD的面积有什么关系.
18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D；
2. 【答案】C；
【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD．
3. 【答案】B；
4. 【答案】B；
【解析】根据三角形的三边关系进行判定．
5. 【答案】D；
【解析】由三角形三边关系定理可知．只有C选项中3+4＞5．故选C (2)画图分析，不难判断出选C．(3)因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故16-12＜AB ＜16+12 即4＜AB＜28故选D．
6.【答案】B；
【解析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上作答．
7.【答案】C；
【解析】解：180°×
=
=75°
即∠C等于75°．
故选：C．
8.【答案】C；
【解析】两个三角形等底同高，面积相等
9．【答案】B；
【解析】根据三角形内角和180°，以及已知条件可以计算得出∠B的度数为120°
二、填空题
10.【答案】18cm．
【解析】解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=81，
解得：x=9，
则三角形的三边长分别为：18cm ，27cm ，36cm ， 所以，最长边比最短边长：36﹣18=18（cm ）． 故答案是：18cm ．
11.【答案】5 cm 或7 cm ； 12．【答案】110°
【解析】∵D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC ， ∠BCD=∠ACD=∠ACB ，∴∠ABC +∠ACB=180°﹣40°=140°，∴∠DBC +∠DCB=70°， ∴∠BDC=180°﹣70°=110°．
13．【答案】15cm 2，30cm 2
；
【解析】△ABC 的面积是△ABE 面积的2倍 ． 14.【答案】（1）30°，60°，90°；直角（2）钝角 三、解答题
15.【解析】解：根据三角形的三边关系得：
9﹣2＜BC ＜9+2， 即7＜BC ＜11， ∵BC 为偶数， ∴AC=8或10，
∴△ABC 的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21．
16.【解析】
解：AD 、AF 分别是△ABC ，△ABE 的角平分线．BE 、DE 分别是△ABC ，△ADC 的中线，
AG 是△ABC ，△ABD ，△ACD ，△ABG ，△ACG ，△ADG 的高．
17.【解析】
解： (1)ΔABD 与ΔACD 的周长之差＝(AB ＋BD ＋AD)－(AD ＋CD ＋AC)，而BD ＝CD.所以上式＝AB －AC ＝5－3＝2.
(2)S ΔABD ＝
21BD ·AE ，S ΔACD ＝2
1
CD ·AE 。

而BD ＝CD ，所以S ΔABD ＝S ΔACD
18.【解析】 解：如图。