初三数学中考复习和圆有关的角题型归纳导学案

与圆有关的角题型归纳
与圆有关的角有圆心角、圆周角、弦切角、扇形的圆心角等，近年的中考试题对于圆中角的考查通常也是围绕上述角展开的，下面以近两年中考试题为例来谈谈与圆有关的角常见题型及解法，供同学们参考. 一、求回心角
例 1 (2017年海南)如图1，点,,A B C 在⊙O 上，//AC OB .若25BAO ∠=︒，则
BOC ∠等于( ).
A. 25º
B. 50º
C. 60º
D. 80º 解析:∵OA OB =，25BAO ∠=︒， ∴25B ∠=︒. ∵//AC OB ，
∴25B CAB ∠=∠=︒.
∴250BOC CAB ∠=∠=︒. 故选B.
例2 (2018年广州)如图2，AB 是⊙O 的弦，OC AB ⊥，OC 交⊙O 于点C ，连接
,,OA OB BC .若20ABC ∠=︒，则AOB ∠等于( ).
A. 40º
B. 50º
C. 70º D .80º
解析:如图3，连接AC ，延长AO 交圆于点D ，连接CD ，则20D ABC ∠=∠=︒.
由圆周角定理可知，240AOC D ∠=∠=︒. 所以280AOB AOC ∠=∠=︒， 故选D.
说明:本题也可以如图4所示那样作辅助线，解题过程略. 二、求回周角
例3 (2017年哈尔滨)如图5，在⊙O 中，弦,AB CD 相交于点P ，若42A ∠=︒，
77APD ∠=︒，则B ∠等于( ).
A. 42º
B. 35º
C. 34º
D.44º 解析:∵42D A ∠=∠=︒，
∴774235B APD D ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故选B.
说明:本题还可以先在PAC ∆中求出C ∠，再利用B C ∠=∠得解，解题过程略.
例4 (2018年泰安)如图6，直线BM 与⊙O 相切于点B ，若140MBA ∠=︒，则A C B ∠等于( ).
A. 40º
B. 50º
C. 60º
D.70º
解析:如图7，连接,OA OB ，则OB BM ⊥，即90OBM ∠=︒. ∵140MBA ∠=︒，
∴1409050OAB OBA MBA OBM =∠-∠-∠=︒-︒=︒， ∴180218025080AOB OAB ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒， ∴11
804022
ACB AOB ∠=
∠=⨯︒=︒. 故选A.
三、求与切线有关的角
例5 (2017年自贡)如图8，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC .若40P ∠=︒，则B ∠等于( ).
A. 20º
B. 25º
C. 30º
D.40º 解析:∵PA 切⊙O 于点A ， ∴90PAB ∠=︒. ∵40P ∠=︒， ∴50POA ∠=︒. ∵OC OB =， ∴1
252
B BCO POA ∠=∠=
∠=︒. 故选B.
四、求扇形的圆心角
例6 (2017年哈尔滨)若扇形的弧长为4π，半径为8，则此扇形的圆心角为 .
解析:设扇形的圆心角为n ︒.
由题意，得
8
4180
n ππ=g ， 解得90n =.
所以扇形的圆心角为90º. 故填90º.
例7 (2017年齐齐哈尔)若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是( ).
A .120º B.180º C .240º D.300º
解析:设圆锥底面圆的半径为r ，侧面展开图扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n ︒.
由题意，得2S r π=底面，2l r π=底面周长，2
33S S r π==扇形底面， l l =扇形弧长底面周长
2r π=.
由12S lR =
扇形，得21
232
r R r ππ⨯⨯=. 所以3R r =.
由180n R l π=扇形弧长，得32180
n r
r ππ⨯=.
解得120n =.
故选A.
五、作辅助圆求角
例8 (2017年青岛)如图9，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为对角线AC 的中点，连接,,BE ED BD .若58BAD ∠=︒，则EBD ∠= .
解析:由90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 为对角线AC 的中点，，点,,,A B C D 四点共圆，点E 是圆心，AC 是直径.
如图10，∵58BAD ∠=︒， ∴2116BED BAD ∠=∠=︒. ∵ED EB =，
∴1
(180)322
EBD BED ∠=︒-∠=︒. 故填32.
例9 (2017年黔东南州)如图11，在正方形ABCD 中，点E 为AB 的中点，若FE AB ⊥，2AF AE =，FC 交BD 于点O ，则DOC ∠等于( ).
A. 60º
B. 67.5º
C. 75º
D. 54º
解析:如图12，连接,DF BF .
∵FE AB ⊥，AE EB =， ∴FA FB =. ∵2AF AE =， ∴AF AB FB ==.
∴AFB ∆是等边三角形， ∴60FAB ∠=︒.
∵AF AD AB ==，
∴点A 是DBF ∆外接圆的圆心，
1
302
FDB FAB ∠=∠=︒.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD BC =，90DAB ABC ∠=∠=︒，45ADB DBC ∠=∠=︒. ∴FAD FBC ∠=∠. ∴FAD FBC ∆≅∆.
∴15ADF FCB ∠=∠=︒.
∴451560DOC OBC OCB ∠=∠+∠=︒+︒=︒.
故选A.
六、与圆中的角有关的综合问题
例10 (2017年贵港)如图13，点,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，点B 是劣弧AC 的中点，点M 是半径OD 上任意一点.若40BDC ∠=︒，则AMB ∠不可能等于( ).
A. 45º
B. 60º
C. 75º
D. 85º 解析:如图14，连接,OA OB .
∵点B 是劣弧AC 的中点， ∴280AOB BDC ∠=∠=︒.
又∵点M 是半径OD 上任意一点， ∴80AMB AOB ∠≤∠=︒. ∴不符合条件的只有85º. 故选D.
例11 (2017年天津)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，50ABT ∠=︒，BT 交⊙O 于点C ，点E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D . (1)如图15，求T ∠和CDB ∠的度数.
(2)如图16，当BE BC =时，CDO ∠的度数.
解析:(1)如图17，连接AC .
∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线， ∴AT AB ⊥，即90TAB ∠=︒. ∵50ABT ∠=︒，
∴9040T ABT ∠=︒-∠=︒. ∵90ACB ∠=︒，
∴90905040CAB ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒. ∴40CDB CAB ∠=∠=︒. (2)如图18，连接AD .
∵在BCE ∆中，BE BC =，50EBC ∠=︒，
∴1
(180)652
BCE BEC EBC ∠=∠=︒-∠=︒， ∴65BAD BCD ∠=∠=︒. ∵OA OD =，
∴65ODA OAD ∠=∠=︒. ∵50ADC ABC ∠=∠=︒，
∴655015CDO ODA ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒.。