2019年福建省宁德市福鼎求新中学高三数学文月考试题含解析

2019年福建省宁德市福鼎求新中学高三数学文月考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数上既是奇函数又是增函数，则函数
的图象是
参考答案：
C
略
2. 函数的定义域为，．满足，且在区间
上单调递增，若满足，则实数的取值范围是（）
A．[1,] B．(0，] C．[﹚
∪(] D．
参考答案：
D
略
3. 某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）
=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表
A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元
参考答案：
A
【考点】函数的值．
【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．
【解答】解：由题意得：C=4，
将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：
，解得，
∴f（x）=，
故x=20时：f（20）=11.5，
故选：A．
4. 已知等比数列的前项和为则的值为
A． B．
C． D．
参考答案：
A
5. 若关于x的方程有解，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．）
参考答案：
C
6. 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”?“升级题型”?“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答．已知某位参赛者答对每道题的概率均为
，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式能求出该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率．
【详解】解：某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创新题型”三类题型，
每类题型均指定一道题让参赛者回答．某位参赛者答对每道题的概率均为，且各次答对与否相互独立，
则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：
．
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
7. 已知关于的方程的解集为，则中所有元素的和可能是
（）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
参考答案：
B
8. 已知复数z满足（z﹣1）i=|i+1|，则z=（）
A．﹣2﹣i B．2﹣i C．1﹣i D．﹣1﹣i
参考答案：
C
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z满足（z﹣1）i=|i+1|，则﹣i?（z﹣1）i=﹣i?|i+1|，则z﹣1=﹣i，
∴z=1﹣i，
故选：C．
9. 在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(－2,1) B．(0,2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
参考答案：
A
10. 已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i
参考答案：
A
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，使z＝y－2x的值取得最小的点为A(x0，y0)，则 (O为坐标原点)的取值范围是________．
参考答案：
[0,6]
作出可行域Ω为如图四边形OBCD区域，作直线l0：y－2x＝0，平移l0，当平移到经过点
【答案】
【解析】
12. 不等式log a x﹣ln2x＜4（a＞0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为．
参考答案：
（0，1）∪（，+∞）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】不等式转化为＜（lnx）2+4，令t=lnx，得到＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式log a x﹣ln2x＜4，
∴＜（lnx）2+4，
令t=lnx，
∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），
∴＜t2+4在t∈（0，ln100）恒成立，
0＜a＜1时，lna＜0，显然成立，
a＞1时，lna＞0，
故lna＞，
令g（t）=，t∈（0，ln100），
则g′（t）=，
令g′（t）＞0，解得：0＜t＜2，
令g′（t）＜0，解得：t＞2，
故g（t）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故g（t）≤g（2）=，
故lna＞，解得：a＞，
综上，a∈（0，1）∪（，+∞），
故答案为：（0，1）∪（，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．
13. 设函数，则不等式的解集为__ ___.
参考答案：
(2,3)
14. 右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小
为 .
参考答案：
15. 设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．
参考答案：
②④
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将（0，0）代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确．
【解答】解：根据题意得：圆心（k﹣1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k﹣1，3k），半径为k2，
圆k+1：圆心（k﹣1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为（k+1）2，
两圆的圆心距d==，
两圆的半径之差R﹣r=（k+1）2﹣k2=2k+，
任取k=1或2时，（R﹣r＞d），C k含于C k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k2=2k4，即10k2﹣2k+1=2k4（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④
【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．
16. (几何证明选讲选做题)如图，为圆的两条割线，若，
，，，则等于．
参考答案：
6
17. 已知函数的值域为，则的范围是______
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的
参数方程为：，曲线C2的极坐标方程为：ρ2（1+sin2θ）=8，
（1）写出C1和C2的普通方程；
（2）若C1与C2交于两点A，B，求|AB|的值．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）将曲线C2的极坐标方程ρ2（1+sin2θ）=8，利用互化公式可得直角坐标方
程．将曲线C1的方程，消去t化为普通方程．
（2）若C1与C2交于两点A，B，可设A（x1，y1）B（x2，y2），联立方程组消去y，可得3x2﹣12x+10=0，利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）将曲线C2的极坐标方程ρ2（1+sin2θ）=8，化为直角坐标方程
x2+2y2=8；
将曲线C1的方程，消去t化为普通方程：y=x﹣3．
（2）若C1与C2交于两点A，B，可设A（x1，y1）B（x2，y2），
联立方程组，消去y，可得x2+2（x﹣3）2=8，
整理得3x2﹣12x+10=0，∴，
则．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；
（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出
【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，
所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，
解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．
所以，
又，
所以．
（2）在△ABC中，因为，由余弦定理
所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，
又b2+c2=a﹣bc+2，
所以a2=a+2，
所以a=2，
又因为，
由正弦定理
得，
所以．
20. 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为
（），直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）若，直线l与x轴的交点为M，N是圆C上一动点，求的最小值；（2）若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，求a的值.
参考答案：
（1）当时，圆的极坐标方程为，可化为，
化为直角坐标方程为，即.
直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为.
因为圆心与点的距离为，
所以的最小值为.
（2）由可得，
所以圆的普通方程为.
因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，
所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的倍，
所以.
解得，又，所以
试题立意：本小题考查直线和圆的极坐标方程，参数方程以及直角坐标方程，圆中的垂径定理和勾股定理.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
21. 已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，f（x）的最小值为2，求a的值．
参考答案：
【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，即可求f（x）的最小正周期；（2）当时，2x+∈[，]，利用f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）函数
=，…
∴f（x）的最小正周期为π；
（2）当时，2x+∈[，]，
∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，∴a=2．
22. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲
已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若，且
求证: .
参考答案：
(1) ，.
当m＜1时，，不等式的解集为，不符题意.
当时，
①当时，得，.
②当时，得，即恒成立.
③当时，得，.
综上的解集为.
由题意得，
. ……………………………5分
(2) ,,
,,
由(1)知
,…………………………10分。