湖南省湘阴县第一中学高三数学上学期第三次月考试题理

湘阴一中2015年高三年级第三次月考
数 学 试卷（理科）
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1．集合{}{}
2
6,30A x N x B x R x x =∈=∈->≤，则A B =I （ ）
A ．{}3,4,5
B ．{}4,5,6
C ．{}36x x <≤
D ．{}36x x <≤
2．下列命题中，真命题是 （ ）
A ．0x R ∃∈，使得00x
e ≤ B ．2
2
sin 3(π,)sin x x k k Z x
+
≠∈≥ C ．函数2
()2x f x x =-有一个零点 D ．1,1a b >>是1ab >的充分不必要条件
3．已知1sin ,(,)322ππθθ=
∈-，则3
sin()sin()2
πθπθ--的值是（ ） A ．
922 B ．922- C ．9
1- D ．91 4．已知向量(1,0)a =， (0,1)b =，若ma b +与2a b -平行，则m 等于（ ） Ａ． 2-
Ｂ．2
Ｃ．12
-
Ｄ．12
5.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且1()02
f =，则满足14
(log )0f x <的
x 的集合为( )
A (－∞，12)∪(2，＋∞) B(12，1)∪(1,2) C(12，1)∪(2，＋∞) D(0，1
2)∪(2，＋∞)
6.点P 从（1，0）出发，沿单位圆2
2
1x y +=逆时针方向运动23
π
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )
A. 12⎛-
⎝⎭ B. 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛- ⎝⎭ D. 12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
7.右图是y=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<
2π)在区间[-6π,6
5π
]上的图象为了得到y=sin2x 的图象，只需要将此图象（ ）
A.向左平移
3π
个单位 B.向右平移
3π
个单位 C.向左平移6
π
个单位
D.向右平移6
π
个单位
P
8.如图，AB 是半圆O 的直径，P 是半圆AB 上的任意一点，M 、N 是AB 上关于O 点对称的两点，若|AB|=6，|MN|=4，则PM ·=（ ）
A.3
B.5
C.7
D.13
9.已知21()ln(1),()()2
x f x x g x m =+=-，若12[0,3],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得12()()f x g x ≥则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1(,]4-∞
B ．1[,)4+∞
C ．1[,)2
+∞
D ．1(,]2
-∞-
10.已知数列{}n a 中满足115a =，
12n n
a a n
+-=，则n a n 的最小值为( )
A.254
B.7
C.6
D.27
4
11. 函数|1|
,
1()21,1x a x f x x -ì=ïï=íï+?ïî
,
若关于x 的方程22()(25)()50f x a f x a -++=有 五个不同的实数解, 则a 的取值范围是( ) A. (2,)+? B.[2,)+? C. 55(2,)
(,)22+∞ D. 55
[2,)(,)22
+?U 12．设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f ´(x)，f ´(x)在区间(a,b)上的导函数为f ″(x)，如果在区间(a,b)上恒有f ″(x)<0，则称函数f(x)是区间(a,b)上的“凸函数”，若f(x)=
12
1x 4-61mx 3-23x 2
，当|m|≤2时是区间(a,b)上的凸函数，则b -a 的最大值为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.如图所示，在正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为 14.已知1
sin ,123πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭则7cos 12πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值等于
15已知函数2
1
()(,g x a x x e
e
=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是
16.定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x 满足：(1)()f x f x +=-，且在[1,0]-上是增函数，下面关于()f x 的判断；①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称；③()f x 在
[0,1]上是增函数；④()f x 在[1,2]上是减函数；⑤(2)(0)f f =
其中正确的判断是 (把你认为正确的判断的序号填上). 三.解答题(本大题共6道题，共70分) 17、（本题满分10分）
（1）已知1
tan()42
πα+=；求sin cos sin cos αα
αα-+的值。

(2) 求
5sin
sin
12
12π
π
⋅的值。

18. （本题满分10分）
已知(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==-，设函数1(),2f x a b x R =-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设ABC
∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积．
19．（本题满分12分）
已知函数52)(2
+-=ax x x f （1>a ）．
（1）若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；
（2）若对任意的1x ，2x [
]1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f 求实数a 的取值范围．
20．（本题满分12分）
某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位600
(30)x x
+-元（试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤）。

（1）请将生产每单位试剂的平均费用()P x 表示为x 的函数关系()P x 的最小值； （2）如果产品全部卖出，据测算销售额()Q x （元）关于产量x （单位）的函数关系式为
()3
1124030
Q x x x =-
，试问：当产量为多少生产这批试剂的利润最高？ 21.(本题满分12分)数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，25
6a =．
（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，
数列{}n a 的通项公式；
（2设21
n
n a b n n =
+-，数列{}n b 的前n 项和n T ．求满足的最小正整数n.
22（本题满分14分）
2006
2016
n T >
已知A 、B 、C 是直线l 上不同的三点，O 是l 外一点，向量OC OB OA ，，满足：
.]y )x 32[ln()1x 2
3
(2=⋅-+-⋅+-记)(x f y =．
（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式：
（Ⅱ）若对任意],3
1
61[，∈x 不等式｜a －ln x ｜－ln[f '(x )－3x ]＞0恒成立，求实数a 的取值范围：
（Ⅲ）关于x 的方程f (x )＝2x ＋b 在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．
湘阴一中2015年高三年级第三次月考
数 学 答题卷（理科）
时量：120分钟 总分：150分 命题人：钟秋兰 审核人：李艳果
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13． 14．
15． 16．
三．解答题：本大题共6小题，其中17、18题10分，19、20、21题12分，22题14分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本题满分10分）
18. （本题满分10分）19．（本题满分12分）
20．（本题满分12分）21．（本题满分12分）
22．（本题满分14分）
湘阴一中2015年高三年级第三次月考
数学试卷（理科）
时量：120分钟总分：150分命题人：钟秋兰审核人：李艳果
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

13． 1
6
14．
13
-
15． 2
[1,2]e - 16． (1)(2)（5） 三
.解答题(本大题共6道题，共70分)
17、（本题满分10分）
（1）-2 （2）1
4
18. （本题满分10分）已知(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==-，设函数1(),2
f x a b x R =-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =，()0f C =，若
sin 2sin B A =，求ABC ∆的面积． 解：（Ⅰ）由题意得1cos 21()2sin(2)1226
x f x x x π+=--=--……3分
则()f x 的最小值是－2，
最小正周期是22
T ππ==； 5分
（Ⅱ）()sin(2)1
06f C C π=--=，则sin(2)16
C π-=，0C π<<Q 022C π∴<<
112666C πππ∴-<-<262C ππ∴-=3
C π∴=，
sin 2sin B A =Q ，由正弦定理，得12
a b =，① …………8分
由余弦定理，得2
2
2
2cos 3
c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②
由①②解得1,2a b ==． 故1sin 2ABC S ab C ∆==
19．（本题满分12分）
已知函数52)(2
+-=ax x x f （1>a ）．
（1）若)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，求实数a 的值；
（2）若对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围．
解： （1）∵2
25)()(a a x x f -+-=（1>a ）,
∴)(x f 在[]a ,
1上是减函数，又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩⎨⎧==1
)()1(a f a
f ，
即⎩
⎨⎧=+-=+-1525212
2a a a a ， 解得 2=a ．（5分） （2）若2≥a ，又[]1,1+∈=a a x ，且，1)1(-≤-+a a a
∴a f x f 26)1()(max -==，2min 5)()(a a f x f -==．
∵对任意的1x ，2x []1,
1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ，
∴4)()(min max ≤-x f x f ， 即 4)5()26(2≤---a a ，解得 31≤≤-a ， 又2≥a ， ∴32≤≤a ．
若12,a <<2max ()(1)6,f x f a a =+=-2min 5)()(a a f x f -==，
4)()(min max ≤-x f x f 显然成立， 综上13a <≤。

（12分）
20．解析：（1）因为试剂的总产量为x 单位，50200x ≤≤，由则题意知原原料费为50x 元，职工的工资总额为750020x +元，后续保养的平均费用是每单位600
(30)x x
+
-元 所以单位试剂的平均费用为()25075002030600
x x x x P x x +++-+=
()8100
40,50200x x x
=+
+≤≤，由均值不等
式
8100180x x +
≥= 当且仅当8100
x x
=
即90x =（单位）时等号成立， 所以()P x 的最小值为220元 …………………6分 （2）设生产这批试剂的利润为()f x ，则()()()f x Q x xP x =-
()33218100112404012008100502003030x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
=--++=--+-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()2
121200,010
f x x x f x ''=-
-+=得100,120x x ==-（舍） 当()50,100x ∈时，()0f x '>，当()100,200x ∈时，()0f x '<，
所以当100x =时，()min 205700
3
f x =。

…………………12分 21.(本题满分12分)数列{}n a 的前n 项和2n n S an b =+，若112a =，25
6
a =．
（1）求数列{}n a 的前n 项和n
S ，
数列{}n a 的通项公式
20062016
n T >
（2设2
1
n
n a b n n =+-，数列{}n b 的前n 项和n T ．求满足最小正整数
由于
2006
2016n T >
故201n =
22、（本题满分14分）(2),3323
)(x x
x f ++=' ∴原不等式为.0)323ln(
|ln |>+--x x a 得,323ln ln x x a +-<或,323
ln ln x
x a ++>①……4分
设,323ln 323ln ln )(,332ln 323ln
ln )(2
x
x
x x x h x x x x x g +=++=+=+-= 依题意知a ＜g (x )或a ＞h (x )在x ∈]3
1
,61[上恒成立，
,03262)62(31323)('2
2>++=+⋅+=
x x x
x x x x g
,0)
32(2
)32(33)32(3332)('2
>+=+⋅-+⋅+=
x x x x x x x x h ∴g (x )与h (x )在]31
,61[上都是增函数，要使不等式①成立，
当且仅当)61(g a <或),31(h a >∴)365ln(<a ，或3
1
ln >a ．……8分
(3)方程f (x )＝2x ＋b 即为,223)32ln(2
b x x x +=++
20062016
n T >
- 11 - 变形为.223)32ln(2b x x x =-+
+ 令
23()ln(23)2,01]2x x x x x =++-∈（，， ∴⋅++-=+-=-++=x
x x x x x x x 32)13)(13(321923323)('2……10分
'(x ) (x )
12分
显然(x )在（0，1］上的极小值也即为它的最小值213ln -
． 现在比较ln2与2
15ln -的大小； .2ln 215ln 03
425ln 21425ln 2125ln 2ln 215ln >-∴>⨯>==--，e e ∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使1ln3ln 2.2
b -<< 即实数b 的取值范围为1ln3ln 2.2
b -<<……14分。