传染病模型

模型4（SlR模型）
模型构成和求解
若 i 0 ，则
dr i 0
dt
r 无限增大
所以 i 0，最终病人人数为0
由 di is i
dt
s 0
1
，i(t)先增加再减少逐步趋于0
s0
1
，i(t)单调减少至0
返回
s(t)+i(t)+r(t)=1
dr
dt di
dt
i, si
i,
ds dt
si
i(0) i0 , s(0) s0
模型4（SlR模型）
模型构成和求解
ds
dt
si
0
s(t) 0
s 存在
dr
i
0
dt
r(t) 1
r 存在
s(t) i(t) r(t) 1
i 存在
最终 各类 人群 比例 趋于 稳定
模型3 （SlS模型）
模型构成及求解
di i(1 i) i
dt
di i[i (1 )]
dt
记：
称为接触数
模型3 （SlS模型）
模型构成及求解
1
病人比例逐渐 增大，极限为
1 1
1
病人总数越来 越少，最终趋 于0.
模型3 （SlS模型）
模型构成及求解
返回
模型4（SIR模型）
r(t) —— 病愈免疫的移除者占人口总数
符号
的比例
约定
/ —— 传染期接触数
模型 假设
总人口不变，人群分为健康者、病人和病 愈免疫的移除者
模型4（Sபைடு நூலகம்R模型）
模型构成和求解
每个病人每天感染λs(t)个健康 者，同时有μNi(t)个病人被治愈
每天新增病人数： λNsi-μNi 每天健康人减少数：λNsi
0
模型2
模型构成及求解
模型2
模型结论
最后所有人都变成了病人。 没有考虑病人可以被治愈。
返回
模型3（SIS模型）
符号 约定
—— 每天被治愈的病人占病人总
数的比例
模型 假设
每天被治愈的病人占病人总数的比例为常 数
模型3（SlS模型）
模型构成和求解
每个病人每天感染λs(t)个健康 者，同时有μNi(t)个病人被治愈
每天新增病人数： λNsi-μNi
s(t)+i(t)=1
di i(1 i) i,
dt i(0) i0
解得：
i(t)
(
)e(
)t
i
0
模型3 （SlS模型）
模型构成及求解
模型3 （SlS模型）
模型构成及求解
根据各常数取值不同，出现两种情况： 1、病人比例逐渐增加，但增加速度逐 渐变慢，最终病人总数趋于稳定。 2、病人比例逐渐减少，最终趋于0。
模型 假设
1、总人口不变，人群分为健康者和病人 2、病人与健康者有效接触时将健康者感 染为病人
模型2（Sl模型）
模型构成和求解
每个病人每天感染λs(t)个健康者 每天新增病人数： λNs(t)i(t) s(t)+i(t)=1
di dt
i(1
i),i(0)
i0
解得：
i(t)
1
1 ( 1 1)et
i
dx x,
dt
x(0) x 0
解得：
x(t) x0et
模型1
模型构成及求解
模型1
模型结论
病人数量会以极快的速度增加。 这个模型是错误的。 在病人有效接触的人群中，有病人 也有健康人，只有健康人才会被传染为 病人，而病人不会被再次传染。
返回
模型2（Sl模型）
符号 约定
N —— 总人口数 s(t)—— 时刻t健康者在总人口中的比例 i(t)—— 时刻t病人在总人口中的比例
返回
符号 约定
模型 假设
模型1
t —— 时间 x(t)—— 时刻t的病人数
—— 每天每个病人有效接触
的人数
1、x(t)连续、可微 2、每天每个病人有效接触的人数为 常数
模型1
模型构成及求解
考虑 t 到 t t 病人人数的增加，有：
x(t t) x(t) x(t)t
设t=0时有 x0个病人，即得：
数学模型
主讲教师：刘剑
传染病模型
1
问题提出
2
模型1
3
模型2(SI模型)
4
模型3(SIS模型)
5
模型4(SIR模型)
问题提出
❖ 传染病是人类健康的重要敌人。建立传染病的数学模 型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化 规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有 关专家关注的课题。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点， 弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里仅从一般 的传播机理建立几种模型。