具有接种免疫的SIR传染病模型

第１ 期
吴 向群 ，等 ：具有接种免疫的 Ｓ Ｉ Ｒ传染病模 型
２ ９
引理 ２ 铀 给定常系数的 ， ‘ １ 次代数方程 以 ＋ １ 一＋ 。 口 …＋ ２ ａ ＝ 其中： ｏ ０， ． １ △ ＝ 口 ＋ ０， 以 ＞ 作ｚ， 式 ｌ －０ 。
口 ， △： ＝
ｌＩｌ …＝ 兰，至 曼， ：△ 兰ｌ ； △ 兰＝ ， ：

２ ０Ｏ ２８ ． ５ ０ ９ ．０ｌ９
３ ０ ０ ７ ｌ ０ ４ ２ Ｏｏ ２４ ．６ ．７１２ Ｏ ．ｏ Ｏ ０ ８９ ． ｏ
４ ００ ５ １ ０３ ９ ｌ ．７ ．５
２ ００ ０ ６ ５ ．０ ００ ． ３ ０３
００ ．０１ ２ ００ ０４ ．０ ００ ０ ２ ．０ ０
第３ ２卷 第 １ 期
２ １ ０ ２正
高 师 理 科 学 刊
Ｊｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅ ｓ Ｃｏｌｇ ｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｎ ｏＳ Ｔ ｌ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｅ ｔ
Ｖ １ ３ Ｎｏ １ ０． ２ ．
１ 月
Ｊｎ ２ ２ ａ ． ０ｌ
ｍ ｅ ｏ ． Ｃｏ ａ ｅ ｄ ｅｔａ ｉ ｎ ａ ｓ ｃ ｔ ｏ ． ｗｅ ｃ ｎ ｂ ￣ ｒ ｏ ｕ ｄ ￣ｔｎ ｅ ｇｏ ａ ｅ ａ ｉ ｒｏ ｔ ｅ ｈ ｔ ｄ ｍｐ ｒ ｄ ｗｉ ｌ ｃｔ ａ ｓ ｔ ｔ ａ ｍｅ ｄ ｈ ｔ ｒ ｏ ｌ ｔｉ ｉｌ ｈ ａ ｅ ｅ ｎ ｅ ａ ｄ ｔ ｌｂ ｂ ｈ ｖｏ ｆ ｈ ｔ ｈ ｌ
，１ ｜ ．
引理 １ 枷 若特征方程 ｄｔ ｅ Ａ一舾 ） 没有零根或零实部 的根 ， （ ＝０ 则非线性微分方程组 ＝ ｘ＋ （ ） Ａ Ｒ ｘ
ｄｆ
， ｜
的零 解 的稳定性态 与其线性 近似 的方程 组 ：Ａ ｘ的零 解 的稳定 性态一致 ．这就 是说 ，当特 征方程
ｍ
， ｌ
；
者 由于与染病者接触而染病 ，同时染病者恢复后 ，具有终身免疫． 以 在经典的ＳＲ Ｉ传染病模型中，假设条件为 ：
；
假设 １ 在疾病传播期内所考察地 区的总人数 Ⅳ不变 ，既不考虑生死 ，也不考虑迁移．
ｎ 假设２ 每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ， 称为 日 接触率．当病人与健康者有效接触时， ０
ｃ ｏｍｍ ｕ ｉ ａｉ ｎ ｐ ｏｃ ｓ ｕ ｅ ｃ ｎａｙ ｉ ｔ ｏｄ， ｔ ｅ ｐｒ ｅ ｔ ｓ ｍｐ ｏ ｉ ｔｂｌｔ ｙ ｔ ｅ ｅ ｃ ｌａ ｌｙ ｉ ｎ ｃ ｔｏ ｒ ｅｓｂｙ ｎ ｍ ｆ ｆ ａ ｌ ｓｓｍｅ ｉ ｌ ｈ ｈ ｎ ｏｖ ｄ ｉｓａｙ ｔ ｔｃ ｓ ｉ ｙ ｂ ｏｒ ｔ ａ ｎａ ｓｓ ａ ｉ ｈ ｉ
个人接种预防．
记初始时刻的健康者和病人 的比例分别是 Ｓ（ ＞ ） ｆ ｆ＞ ）（ 。Ｓ ０ 和 ０ ｎ ０ 不妨设移出者的初始值 ｒ＝ ， 。 （ ｏ ０）
軎 一ｆ
则 ＳＲ模型的方程可以写为 Ｉ
＝
。
ｔ ＝ 一 ， ） ｆ ， ｄ ＝一 ｆ （（） 。，ｄ ＝∞ｆ （（） ｆ） 船ｆ ＝０ 由于尘 — ０ ＝ ） ｉ 一 ｆ ＝０ ０ 岫 ， ｒ０ （
高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
２３ 模 型求 解 ．
在方程（ ） ２ 中设 ＝ ， ＝ － ， ＝ ．，（） ． ， （） ０ ８， １ ／ ０３ ｋ ０ ｉ ＝０ ２ ｓ ＝ ． ２ ２ ｏ ０ Ｏ ９
表１
ｔ
ｌ
） （ 的数值计算结果 ，ｓ ） ｔ
（ ｆ ） ｔ
１ 引言及预备知识
建立传染病流行过程的数学模型是人们研究传染病蔓延过程的重要手段 ， 长期以来一直是各 国有关专 家和官员关注的课题．人们 已经建立 了许多传染病模型 ， 这些模型对研究疾病的传播和发展规律具有很重 要的意义 ， 中经典的 ＳＲ模型是应用较为广泛的一种模型．大多数传染病如天花、流感 、肝炎 、麻疹等 其 Ｉ 治愈后均有很强的免疫力 ，所以病愈的人既非健康者 （ 易感者 ） ，也非病人 （ 已感染者 ） 他们已经退出传 ， 染 系 ，而且实际上对于很多流行病，对易感者是要进行预防接种 ， 但经典的 ＳＲ模型并未考虑此种情 Ｉ 况．对此 ，在经典 Ｓ Ｉ Ｒ模型例 的基础上构建了一种具有接种免疫 的 Ｓ Ｉ Ｒ传染病模型 ，通过理论分析证明其 渐近稳定性．与传统的统计方法相比，利用该模型能够更好地了解流行过程 中的一些全屙 ｌ态． 生
初值 ｉ ） ０ ２， ０ ＝ ． 相当于图 ２ （ ＝ ． （） ０ ８ Ｏ ０ ９ 中的Ｐ ｎ点 ， 由图 ２ 可以 看出，随着 ｔ 的增加 ，（ ｉ沿轨线 自右向左运动． Ｓ ） ，
２４ 渐 近稳 定性 分析 ．
５ ＯＯ ６ １ Ｏ２ ２５ ．７ ．７ ３ ００ ０ｌ ０ ．０ ６ ０．７ ０ ２ ７Ｏ ０ １７ ．０ ３ ０ ５ ７ ０．６ ０ １ ８４ Ｏ ３７ ．５ ４ ０ ０ ８ ０ ０ ４２ ．５ ０ １２２ ．２ ４ ０ ５
２２ 模型 构 建 。
由假设 １４可知 ， （ ＋ （ ＋ ．） １ 根据假设条件 ， — ｆ ｆ） ， ＝ ． ） ｆ （ ｆ 每个病人每天可使 ａ（ 个健康者变为病人 ，因 ｓ） ｔ 为病人数为 Ｎ （ ， 以每天共有 ａ （ Ｎ （ 个健康者被感染． ｉ） 所 ｔ ｓ ） ｉ） ｔ ｔ 同时每天共有 ／ ｉ） ． （ 个病人被治愈 ， ｋ ｓ ） ｔ ｔ Ｎ 有 Ｎ （ ｔ
ＡｎＳ Ｒ ｅ ｉ ｅ ｃｍｏ ｅ ｔ ａ ｃｎ ｔ ｎ Ｉ ｐ ｄ ｍｉ ｄ ｌ ｈｖ ｃ ｉ ａｉ ｗｉ ｏ
Ｗ Ｕ Ｘｉ ｎ － ｕ ａ ｇ ｑ ｎ． Ｌ Ｕ ａ － Ｉ Ｘｉｏ ｍｏ
（ ｅａｔｅｔｆ ｔｅ ａｉ ，Ｑ ａｚｏ ｏｍ ｌ ｉｅ ｉ ，Ｑ ａｚｏ ２０ ，Ｃ ｉ ） Ｄ ｐｒ ｎ ｏＭａ ｍ ｔ ｓ ｕｎｈｕＮ ｒ ａＵｎ ｒｔ ｍ ｈ ｃ ｖ ｓｙ ｕｎｈｕ３ ００ ｈ ａ ６ ｎ
ｄｔ ） ０ ｅ Ａ一 （ ＝ 的根均具有负实部时，方程组 ＝Ａ ＋Ｒ ｘ 的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正 （）
ｄｆ
实部的根时 ，其零解是不稳定 的．
收稿 日期 ：２ １＿ ８ ２ ０ ｌ０ —０ 作者简介：吴向群 （ ９４ ，男 ，福建泉州人 ，副教授，硕士，从事图论及应用研究．Ｅ ｍ ｉ ｕｉｎｑ ｎ ｚ ． ｕ ｎ １７－） － ａ ：ｗ ｘ ｇｕ＠ｑｔ ｅ ． ｌ ａ ｃｄ ｃ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓ ｃ ：Ｃｏ ｓ ｕ ｔ ｄ ａ Ｓ Ｒ ｐ ｄ ｍｉ ｄ ｌ ＾ ｔ ａ ｄｎ ｆ ｎ ｂ ｓｄ ｏ ｈ ｌ ｓ ａ Ｓ Ｒ ｄ １ ｒ ｓａ ｃ ｅ Ｓ ｒ ｎ ｔ ｃｅ Ｉ ｅ ｉ ｅ ｃｍｏ ｅ 、 ｉ １ ｃ ａ ｏ ａｅ ｎ ｔ ｅ ｃａ ｉ ｌ Ｉ ｍｏ ｅ ． ｅ ｅ ｒ ｈ ｄ ｉ ｒ ，Ｉｖ ｉ ｓ ｃ ｔ
法对 其传播 过程 进行研 究 ，通过理 论分 析证 明其 渐近稳 定性 ．与传 统的统 计方 法相 比 ，利 用该模
型能够更好地 了解流行过程中的一些全局性态． 关键 词 ：接 种 免疫 ；传 染病 ；无病 平衡 点 ；全局 渐近 稳 定性
中图分 类号 ：０ ７ １５ 文献 标识码 ：Ａ ｄ ｉ ０３ ６￣ｉ ｎ１０ －８ １ ０２０ ． ９ ｏ：１． ９ ．ｓ． ７ ９３ ． １．１ ０ ９ ｓ ０ ２ ０
詈 ｒ （ ０
模型 （ ）的结果是 ，当 Ｓ ＞ 时 ，传染病蔓延 ；当Ｓ １ 。 。 时 ，传染病不会蔓延． 具有接种免疫的ＳＲ Ｉ模型与经典的ＳＲ Ｉ 模型 （ ） １ 除满足假设条件１ ３ ～ 相同外，增加的条件为：
假设４ 健康人因预防接种而减少发病 的人数与健康人数成为正比，比例系数为 ｋ，即为预防系数 ．
显 然 （， ） 方 程 组 （ ００ 为 ２）的 平 衡 点 ，即无 病 平 衡 点 ． 令
Ｙ ＝ｆ （ ｆ 『 １ ｊ ，）（＿ ，２） Ｓ ＝ ，其表达式为
使健康者受感染变为病人．
假设３ 每天被治愈的病人数 占病人总数的比例为常数 ， 称为 日治愈率． 显然 ∥ 是传染病的平均传 ０
染期 ，传染期接触数为 ＝ ～． 经典的ＳＲ Ｉ传染病模型为
０ ０
一 。
以
＝
ｆ ，ｆ ） ｆ 一 （ ＝０ ０
（） １
ｅ ｄｅ ｃｐ ｏ ｅｓｂ ｓｎｇ ｏ ｔ ｅ Ｓ Ｒ ｐｉ ｅ ｃ ｍｏ ｅ 、 Ｉ ｖ ｃ ｉ ａ ｏ ｐｉ ｍｉ ｒ ｃ ｓ ｙ ｕ ｉ ｆ ｈ Ｉ ｅ ｄ ｍ ｄ ｌ ｔｌ ａ ｃｎ ｔ ｎ． ｉ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｃｎ ｔ ｎ； ｅ ｉ ｅ ｃ ｄｓ ａｅ — ｅ ｑ ｉｂ ｉ ｍ ； ｇ ｏ ａ ｙ ａｙ ｔ ｔ ａ ｉ ｔ ｙ ｗｏ ｄ ｔ ｖ ｃ ｉ ｉ ａ ｏ ｐ ｄ ｍｉ ； ｉ ｓ — ｒ ｅｅ ｕ ｌ ｒ ｅ ｆ ｉ ｕ ｌ ｂ ｌ ｓ ｍｐ ｏ ｃｓ ｂ ｌ ｌ ｉ ｔ ｉ ｙ
然后减少 ，ｔ ∞时 ，ｉ ０；ｓ ） （ 则单调减少 ，ｔ ０ 时，Ｓ ０ ｔ （ ３ ．
Ｏ Ｏ０２ ０ ９ ００ ． ００ ．８
０Ｏ ４ ８ ０ ０ ．４ ．９５２
００ ５６ ． ３ ０ ７ Ｏ６ ．８ １ ００ ６ １ ０ ０ ４ ９ ０ ．３ ． ７ １ ００１ ０ ０ ４ ８ ５ ． ０ｌ ． ２
不含有 ， ） 所 以仅需考虑 ． ， （ ｆ
— 船ｆ ｓ Ｓ０ ：Ｓ ｄ ：一 —ｋ， （） 。 —＝一 一 ‘ Ｉ ） ｆ 船ｚ 一 Ｕ＝
ｄ ｓ
（） ２ — ∞ｆ ，．） ｌ ｄ ： ＋Ｕ，Ｉ — ０ｌ Ｓ ｔ ：ｆ ｆ ＝ ＋ （ ＝０ 一 Ｕ ０
由方程 （ ） 以求 出ｓ ） （ 的解析解 ，可考虑数值计算． ２ 难 （ ，ｆ） ｔ ｆ
２１ 模型 原 理 ．
在本文中，将人群分为易感染者 （ ｕｃｐ ｂ ） Ｓ ｓ ｔ ｌ 、感染者 （ｎ ｃ ｖ ） ｅ ｉｅ Ｉ ｅｔｅ 和移出者 （ ｅ ｏｅ ）３ ，分别 ｆ ｉ Ｒ ｍ ｖｄ 类 简称健康者 、病人和移 出者．时刻 ｔ ３ 这 类人在总人数 Ⅳ中占的比例分别记作 ｓ ） （ ，ｒ ） （ ，ｉ） （ ．假设易感 ｔ ｆ ｔ
文章 编号 ：１０ ～ ８ １（ ０ ２ １０ ２— ４ ０７ ９ ３ ２ １ ）０ －０ ８ ０
具有接种免疫 的 ＳＲ传染病模型 Ｉ
吴 向群 ，柳 小脉
（ 泉州师范学院 数学系 ，福建 泉州 ３ ２０ ６００）
摘要 ： 在经典 ＳＲ模型的基础上构建 了一种具有接种免疫的 Ｓ Ｉ Ｉ Ｒ传 染病模型 ， 利用数值分析的方
９
ｆ） （ ｆ
（ ｒ ）
ｓ） （ ｔ
用 Ｍ ＴＡ Ａ Ｌ Ｂ软件编程 ， 输出简明计算结果 （ 见表 １ ， ） 得到 ｉ） （ （， ｆ ｔ ） 图形 （ 见图 １ ）和ｆ 相轨线 （ — 见图 ２ ． ） 由表 １ 、图 １ 以看出，ｆ） 可 （ 由初值增长至约 ｔ ５ ｆ ＝ 时达到最大值 ，
＝，ａ ａ其ｊ ． 中０ Ａ ： 川 ＝
（ 对一切 ｆ ｎ） 那么方程 以 ＋ １ ＋ ＞ ． 。 ａ …＋ ｎ ＋ａ ＝０ ａ－ ｉ 的一切根均有负实部的充分必要条件是不等式 ａ ＞ ，△ ＞ １ ０ ２ ０，△ ＞ ，…， ＞ ３ ０ △ ０，ａ ＞ 同时成立． ０
２ 具有接种免疫 的 ＳＲ模型 Ｉ