九年级数学 暑假衔接班讲义 第7讲 角的平分线 试题

第7讲、角的平分线
考点讲解：
1. 角的平分线定义：在角的内部，从角的顶点引出的一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线。

2. 角的平分线作图：如图〔1〕，射线OC就是∠AOB的角平分线。

图〔1〕图〔2〕
3. 角的平分线定理：角平分线上的点到角的两边的间隔相等。

如图〔2〕，
∵∠AOC=∠BOC，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM=PN。

4.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边间隔相等的点，在这个角的平分线上。

如图〔2〕，∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴∠AOC=∠BOC。

点，并且这一点到三条边的间隔相等。

〔三角形的内心〕
【典型例题】
例1. 如图〔1〕，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB交OA于点C，PM⊥OB于点M。

求证：PC=2PM
C
M P
B
A
O
图〔1〕 图〔2〕
例2. 如图〔3〕，PA=PB ，∠A+∠B=180°。

求证：点P 在∠AOB 的角平分线上。

A
P
O
M
A
图〔3〕 图〔4〕
例3. 如图〔5〕△ABC 的外角∠CBM 和∠BCN 的角平分线相交于点P 。

求证：点P 在∠MAN 的角平分线上。

N
M
P
C
B
A
N
M
F
E
D
A
B C
P
图〔5〕 图〔6〕
例4. 如图〔7〕，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在斜边AB 上点E 处，求DE 的长。

E
D
B
C
A
图〔7〕
【模拟试题】 一、选择题
1. 如图，点P 在∠AOD 的角平分线上，PC ⊥OA ，PB ⊥OD ，那么图中的全等三角形一共有多少对〔 〕。

A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
2. 到三角形三条边的间隔 相等的点是这个三角形的〔 〕 A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条角平分线的交点
D 、三条边的垂直平分线的交点
3. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DC=5cm ，那么点D 到线段AB 的间隔 为〔 〕
A 、5cm
B 、4cm
C 、3cm
D 、2cm
4. 如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，AD=2cm ，那么DC 的长为〔 〕
P
C
D
B
A
O
D C
B
A
D
C
B
A
A 、 2cm
B 、4cm
C
cm D
、cm
二、填空题
5. 三角形的三条角平分线 ，并且 。

6. 如图，△ABC 中，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，AB=18cm ，BC=12cm ，2ABC cm 36S =∆，
那么线段DE= 。

7. 如图，点P 是△ABC 的内角ABC 和外角ACD 的角平分线的交点，点P 到边
AC 的间隔 为4cm ，那么点P 到边AB 的间隔 是 。

三、解答题
8. 如图，点P 在∠AOB 的角平分线上。

PA=PB ，求证：∠A+∠PBO =180°。

D
B A
O
P
9. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，沿经过点B 的一条直线折叠△ABC ，使点C 恰好落在斜边AB 的中点E 处，求∠A 的度数。

E
D A
B
P
D
C
B
A
E D
C
B
A
10. 如图，要在三条公路AB 、AC 、BC 之间修建一个加油站，要求加油站到三条公路的间隔 相等，加油站应建在什么位置？
C
B
A
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