高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理 新人教A版选修2-3

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解析 答案
规律与方法
1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数 问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与 项结合时要注意合理性和简捷性.
B.－20
C.20
√D.40
解析 答案
(2)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋ f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝__1_2_0_. 解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.
(4)二项式系数之和： C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n ，所用方法
是 赋值法 .
题型探究
类型一 二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1) (1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中x的系数是
A.－4
√B.－3
C.3
D.4
解析 答案
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝__－__1_. 解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2 的系数为 C25＋aC15， 则10＋5a＝5，解得a＝－1.
解析 答案
3.已知 x>0，则(1＋x)101＋1x10 的展开式中的常数项为
A.1 C.C120
B.(C110)2
√D.C1200
解析 (1＋x)101＋1x10＝1＋x1＋1x10＝x＋1x＋210＝ x＋ 1x20. 设其展开式的通项为 Tk＋1，则 Tk＋1＝Ck20x10－k，当 k＝10 时，为常数项.
跟踪训练4
已知
2x－
1
n
x
展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开
式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大
的项的值为1 120，求x.
解答
达标检测
1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为
A.30
B.20
√C.15
D.10
解析 因为(1＋x)6 的展开式的第(k＋1)项为 Tk＋1＝Ck6xk，x(1＋x)6 的展开
解析 答案
反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘，求和即得.
跟踪训练 1 (1)x＋ax2x－1x5 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开 式的常数项为
A.－40
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：Cmn ＝Cnn－m ；
(2)性质：Ckn＋1 ＝ Ckn－1＋Ckn ；
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的 一 取得最大值，即
n
C
2 n
最大；当n是奇数时，中间的 两
相等，且项同时取得最大值，即
n 1 n 1
项
C n2 =C n 2 最大；
因为n为正奇数，
所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
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5.设 (23 x－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8， N三数成等比数列，则展开式中第四项为_－__1_6_0_x__.
解析 当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n， 由题意，得M·N＝64，∴2n＝64，∴n＝6. ∴第四项 T4＝C36·(23 x)3·(－1)3＝－160x.
解析 答案
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是Biblioteka Baidu期一，今天是第1天，那么第810天是星期
√A.一
B.二
C.三
D.四
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理 将数变形求余数.
因为 810＝(7＋1)10＝710＋C110×79＋…＋C910×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，
式中含 x3 的项为 C26x3＝15x3，所以系数为 15.
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2.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最
大的项是
√A.第6项
C.第5、6项
B.第5项 D.第6、7项
解析 ∵C3n＝C7n，∴n＝3＋7＝10，
∴展开式中系数最大的项是第6项.
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称为二项式定理
二项式系数
C (k＝0,1，…，n) k
n _______________________________________________
通项
二项式定理的 特例
Tk＋1＝ Cknan－kbk (k＝0,1，…n) (1＋x)n＝C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn
3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关 联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 (或者前面)一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入. 5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.
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故选 D.
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4.当 n 为正奇数时，7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋Cnn－1·7 被 9 除所得的余数是
A.0
B.2
√C.7
D.8
解析 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1 ＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋Cnn－1·9(－1)n－1＋(－1)n－1.
所以第810天相当于第1天，故为星期一.
解析 答案
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数 (或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展 开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 017＋a能被13整除，则a＝__1__. 解析 ∵512 017＋a＝(52－1)2 017＋a ＝C02 017522 017－C12 017522 016＋C22 017522 015－…＋C22 001167521－1＋a， 能被13整除，0≤a<13. 故－1＋a能被13整除，故a＝1.
解析 答案
命题角度2 三项展开式问题
例2
2x＋1x＋
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25 的展开式中的常数项是____2____.
解析 答案
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化 为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合， 项与项结合时，要注意合理性和简捷性.
跟踪训练2 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为__3_0__. 解析 方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30. 方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一 个取x即可， 所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30.
第一章 计数原理
习题课 二项式定理
学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
1.二项式定理及其相关概念
公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn ， 二项式定理
解析 答案
类型二 二项式系数的综合应用 例 4 已知12＋2xn. (1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展 开式中二项式系数最大的项的系数；
解答
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大 的项.
解答
反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式 的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方 法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.