PDE数值解练习

uu((0x,,
t) = u(1, t) = 0) = sin(πx).
0,
问题1：求出以上抛物型方程的精确解。 问题2：计算T = 0.08时，数值解与精确解之差。并据此讨论网格步长 的选取对解的影响： 1. h = 0.1, τ = 0.005。 2. h = 0.05, τ = 0.0025。 3. h = 0.1, τ = 0.0025。 4. 对h = 0.1，取何τ 值迭代效果最好？
的稳定性条件是：
当0
≤
θ
<
1/2时，λ
≤
1 2(1−2θ)
;
当1/2 ≤ θ ≤ 1时，无条件稳定。
1
数值实验作业（科研报告）
记λ = τ /h2为网格比。使用古典显式格式：
unj +1 = unj + λ(unj+1 − 2unj + unj−1)
求解抛物型方程:
ut = uxx, 0 < x < 1, 0 < t < 1,
0,
uu((x0,,
t) = u(1, t) = 0, t > 0, 0) = f (x), 0 < x < 1
的加权CN格式（λ = τ /h2）
unj +1 − unj = λ[θ(unj++11 − 2unj +1 + unj−+11) + (1 − θ)(unj+1 − 2unj + unj−1)]
2
PDE数值解练习
1、讨论对流方程
∂u ∂u + a = 0, a > 0
∂t ∂x
的差分格式
unj +1 − unj + a unj +1 − unj−+11 = 0
τ
h
的截断误差及稳定性。
2、将题1中的差分格式改为
unj +1 − unj + a unj++11 − unj +1 = 0
τ
h
讨论其截断误差及稳定性。
3、讨论扩散方程 的差分格式
∂u ∂2u ∂t = a ∂x2 , a > 0
3 unj +1 − unj 2τ
−
1 unj − unj −1 2τ
= a unj++11
− 2unj +1 h2
+ unj−+11
的精度及稳定性。
4、用矩阵法证明热传导问题
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
,
Байду номын сангаас
0
<
x
<
1, t
>