推理与直接间接证明数学归纳法早练专题练习(三)带答案新教材高中数学

高中数学专题复习
《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、选择题
1．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b⊆/平面α，直线a
≠
⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误2．下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（）；（2）
2
2
3
+，
3
3
8
+，
4
4
15
+，
5
5
24
+，（）．
第II卷（非选择题）请点击修改第I I卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n
n y x +能被y x +整除”的第二步是
__________. 4．观察下列等式：
231111222⨯=-⨯，22
31411
112223232
⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 233
3141511
112223234242⨯+⨯+⨯=-
⨯⨯⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n ∈*N ，
23141
21
122232
(1)2n n n n +⨯+⨯++
⨯=⨯⨯+ ▲ ．()1112n
n -
+⋅ 5．已知扇形O AB ，点P 为弧A B 上异于A ，B 的任意一点，当P 为弧A B 的中点时，S △O A P +S △O B P
的值最大．现有半径为R 的半圆O ，在圆弧M N 上依次取点
（异于M ，N ），则
的最大值为 2n
﹣1
R 2s in
．（5分）
6． 在平面上,若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4； 类似地，在空间，若两个正方体的棱长的比为1：2，则它们的体积比 为 ▲ .
7．命题：如图若点P,Q 是线段AB 的三等分点，则OP OQ OA OB +=+，
把此命题推广，设点1232008,,,....A A A A 是AB 的汇编等分点，
则122008....OA OA OA +++= ▲ （
OA OB +）
8．若数列{}*
()n a n N ∈是等差数列，则有数列12n
n a a a b n
++
+=
也是等差数
列。

类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有n d = ▲ 也是等比数列。

9．有n 名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p <q ）(其中q-p =k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p ,q ）,则编号为k +1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q ,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。

10．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按 如图所示的规则练习数数，数到汇编时对应的指头是
▲ .(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、
食指、中指、无名指、小指).
评卷人
得分
三、解答题
11
．
观
察
下
面
运
算
结
果
：
223939
416
24
,24
,3
,3,1
1
2
22
23
3
3
+=⨯
=+=⨯=+=，，
525525
554444
+=⨯=，，…，
根据这些运算结果，归纳出一个关于正整数n 的等式，这个等式为________________ 12．已知11
1()1()23
f n n N n
*=+
+++
∈，()2(11)()g n n n N *
=+-∈. （1）当n =1,2,3时，分别比较()f n 与()g n 的大小（直接给出结论）； （2）由(1)猜想()f n 与()g n 的大小关系，并证明你的结论.
13．证明：5,3,2不能为同一等差数列的三项.
14．已知多项式5431111()52330
f n n n n n =++-. (Ⅰ)求(1)f -及(2)f 的值；
(Ⅱ)试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．A
2．21，
35
66
第II 卷（非选择题）
请点击修改第I I 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
3．假使n =2k-1时正确，再推n =2k +1正确（k ∈N*） 4．
5．数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．
解答：
解：=，设∠M OP1=θ1，
∠P 1OP2=θ2，…，．则．∵0＜θi ＜π，∴s i 解
析： 数列的求和．
专
题： 等差数列与等比数列．
分
析： 利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．
解
答：
解：
=
，
设∠M OP 1=θ1，∠P 1O P 2=θ2，…，．则
．
∵0＜θi ＜π，∴sin θi ＞0， 猜想
的最大值为
．
即
⇔sin θ1+s in θ2+…+
≤
（）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，由扇形OA B，点P为弧A B上异于A，B的任意一点，当P为弧A B的中点时，S△O A P+S△O B P的值最大，可知成立．
（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即s inθ1+s inθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）
则当n=k+1时，左边=即s inθ1+s inθ2+…+++…+
∵，当且仅当θi=θi+1时取等号．
∴左边++…+
==右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等
号．
即不等式对于∀n∈N*都成立．
故答案为．
熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键．
点
评：
6．1:8
7．
8．
9．（14，19）
10．食指．
评卷人
得分
三、解答题
11．
12．解：（1）当1n =时， (1)1f =, (1)2(21)g =- ,(1)(1)f g > ,
当2n =时，1
(2)1
2
f =+,(2)2(31)
g =-,(2)(2)f g >， 当3n =时，11(3)123
f =+
+,(3)2g =, (3)(3)f g > .--------------3分 (2)猜想：()()f n g n > (n N *
∈）,即11
1
12(11)()23
n n N n
*++++
>+-∈.------4分
下面用数学归纳法证明：①当n =1时，上面已证. --------------5分 ②假设当n =k 时，猜想成立，即111
12(11)23
k k
+
+++
>+- 则当n =k +1时，11111
(1)12(11)2311
f k k k k k +=+
+++
+>+-+++ 1
2121
k k =++
-+-----10分 而
(1)2(21)222
g k k k +=+-=+-，
下
面
转
化
为
证
明
：
1
21
22
1
k k k ++>++ 只要证：2(1)1232(2)(1)k k k k ++=+>++，需证：2
(23)4(
2)(1)k k k +>++， 即证：22
41294128k k k k ++>++，此式显然成立.所以，当n=k+1时猜想也成立.
综上可知：对n N *
∈，猜想都成立， -----15分 即11
1
12(11)()23
n n N n
*+
+++
>+-∈成立. -----16分 13．证明：假设
2、3、5为同一等差数列的三项，则存在整数m,n 满足
3=2+m d ① 5=2+n d ②
①⨯n-②⨯m 得：3n-5m =2(n -m) 两边平方得： 3n 2+5m 2-
215mn =2(n-m)2
左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确。

即 2、3、5不能为同一等差数列的三项
14
．
(
Ⅰ
)
(1)f -=0,(2)f =16. …………………………………………………………1分
(Ⅱ) 对一切整数n ，()f n 一定是整数.
(1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n =1时，(1)1f =,结论成立.
②假设当n =k （k ≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431
111
()52330
f k k k k k =++-是整数，则当n =k +1时，54
31111(1)(1)(1)(1)(1)52330
f k k k k k +=
+++++-+ 051423324504132214
55555544444
52C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+
031223
33331(1)330
C k C k C k C k ++++-+
=432()4641f k k k k k +++++
根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴(1)f k +是整数，从而当当n =k+1时，结论也成立. 由
①
、
②
可
知
对
对
一
切
正
整
数
n
，
()f n 是整
数. ……………………………………………7分 (2
）
当
n=0
时
，
(0f =是整
数.……………………………………………………………8分
(3)当n 为负整数时，令n = -m ，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数， 所以5431111
()()()()()()52330
f n f m m m m m
=-=
-+-+--- 5431111
52330
m m m m =-+-+=4()f m m -+是整数.
f n一定是整综上，对一切整数n，()数.……………………………………………………10分。