04 相似理论与量纲分析
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
第四章 相似理论与量纲分析
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
第四章 相似和量纲分析.
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
第四章 相似原理与量纲分析
Cu = CL
2 L 5/ 2 L
= Cu C A = C C L = C CL CL = = CL 时间比尺： C t = Cu CL
流量比尺： CQ
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
(Re ) p = (Re )m
Lpu p
一般原、模型中的流体性质相同 即
C值用公制和英制就具有不同的结果。
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
§4-6 量纲分析之一 ---- 雷立法
如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各 有关因素（变量）的数目
( y, x1 , x2 ⋯ xn )
α1 α2
并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示 即：
y = Kx1 x 2 ⋯ x n
−1 −3 α1 −1 −1 α2
α3
α1+α2
−3α1−α2 +α3
[T]
−α2
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
由量纲和谐原则得：
[M ]
0 = α1 + α 2
1 = −3α1 − α 2 + α 3
[L ]
[T ]
：
− 1 = −α 2
Vc = Kρ µd
−1 −1
α1 = −1 ⇒ α2 = 1 α 3 = −1
νp
=
Lm um
νm
ν p =νm
Lm = um L p
up
1 Cu = CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 = CL 流量比尺：CQ = Cu C A = C ⋅ CL
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
相似理论和量纲分析
也可写成
k
1
v 2l We 令 We 称为 韦伯（M.Weber)数，它是惯性力与表面张 力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯 数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则l v 2l
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。 牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。 上述导出动力相似准则的方法称为物理法 则分析法，即根据物理法则或物理定律用特 征物理量表示各种力的量级，用这些力的量 级比值构成相似准则数。
FP
F
a
Fg
Fi ma
F p
F
Fg
FP
F
Fg
a
Fi ma F p Fg
动力相似
F
10
以上三种相似是互相联系的。流场的几何相似是流动力 学相似的前提条件，动力相似是决定运动相似的主导因素， 而运动相似则是几何相似和动力相似的表现。 因此，模型与原型流场的几何相似、运动相似和动力相 似是两个流场完全相似的重要特征。由此模型与原型流场的 密度也必互成一定比例，即
21
欧拉数中的压强p也可用压差 p 来代替，
这时 欧拉数
p Eu v 2
p p 2 v v 2
欧拉相似准则
22
非定常性相似准则
对于非定常流动的模型实验，必须保证模型与原 型的流动随时间的变化相似。由当地加速度引起的惯 性力之比可以表示为 V v Fit x t kF k kl3kv kt1 Fit V vx t kl 代入得 1
相似理论和量纲分析
b
两机翼几何相似
3
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相 等，则它们的夹角必相等。
由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应 体积也分别互成一定比例，即
• 面积比尺
kA
A A
l2 l2
kl2
• 体积比尺
kV
V V
l3 l3
kl3
4
正态模型：长、宽、高比尺均一致的模型。在 流体力学模型实验中，一般采用正态模型。 变态模型：分别采用不同的长度比尺、高度比 尺和宽度比尺，如天然河道的模型。
14
模型与原型的流场动力相似，它们的牛顿
数必定相等即 Ne Ne;反之亦然。这便是由
牛顿第二定律引出的牛顿相似准则。 不论是何种性质的力，要保证两种流场的
动力相似，它们都要服从牛顿相似准则，于是， 可得：
一、重力相似准则
二、粘性力相似准则 三、压力相似准则 四、非定常性相似准则 五、弹性力相似准则 六、表面张力相似准则
kv 1/ kl
要求相矛盾，即使采用不同的流体介质也很难实现。 31
相似准则数越多，模型实验的设计越困难，甚至根 本无法进行。
近似的模型实验方法，即在设计模型和组织模型实 验时，在与流动有关的相似准则中考虑那些对流动过程
起主导作用的相似准则（决定性准则），而忽略那些对 流动过程影响较小的相似准则（非决定性准则），达到
力的比值。二流动的表面张力作用相似，它们的韦伯
数必定相等，即 We We ；反之亦然。这便是表 面张力相似准则，又称韦伯相似准则。
26
上述的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、斯特劳哈尔数、柯西数、马赫数、韦伯 数等统称为相似准数。
牛顿第二定律所表述的是形式最简单、最 基本的运动微分方程。根据该方程可导出在 各种性质单项力作用下的相似准则。在实际 流动中，作用在流体微团上的力往往不是单 项力，而是多项力，这时牛顿第二定律中的 力代表的便是多项力的合力。
流体力学第4章相似原理和量纲分析
对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的
变化相似。
当地加速度引起的惯性力之比
kF k kl2kv2
1
kF
Fit' Fit
V
'
v
' x
V vx
t ' t
k kl3kv kt1
kl 1 l Sr （斯特劳哈尔
kv kt
vt
数或谐时数）
当地惯性力与迁移惯性力之比
4.3 流动相似的条件
同一类流动，为相同的微分方程组所描述。 • 单值条件相似，即几何条件、边界条件、
时间条件（非定常流）、物性条件（密度、 粘性等）相似。 • 同名相似准则数相等。
几个概念：
单值条件中的各物理量称为定性量，如密度 ，特
征长度 l ，流速 v ，粘度 ，重力加速度 g ；
由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数 Re vl 弗劳德数 Fr v gl
自模化状态：如在有压粘性管流中，当雷诺数大 到一定数值时，继续提高雷诺数，管内流体的 紊乱程度及速度剖面几乎不再变化，沿程能量 损失系数也不再变化，雷诺准则失去判别相似 的作用，这种状态称为自模化状态。
关于自模化区实验 ——
尼古拉兹曲线
设计模型实验只要求流动处于同一自模化区，
log(100)
而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。
目的
为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应该 如何确定？模型实验中的各种测量值应该 如何被换算为实物上的相应值？
如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。
例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘 度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。
量纲分析与相似理论
4
p
D V a4 b4 c4
其中，ai、bi、ci 为待定指数。
34
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT ) 1 b1 (L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
12
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim(H a b gc )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 1] [L]a[ML3 ]b[LT 2 ]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流 体的密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，
用函数关系式表示为：
f (D1,Q, ,, D2 ,p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
25
解题步骤
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q以及动力学量ρ 。
由量纲公式：
量纲指数行列式
dim D1 L1T 0M 0 dim Q L3T 1M 0
dim L3T 0M 1
10 0 3 1 0 1 0 3 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
26
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
32
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 00 1 1 0 1 0 3 0 1 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。 可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
工程流体力学-第4章 量纲分析与相似理论
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
FGp FPp F p FI p FGm FPm F m FI m
几何相似是运动相似和动力相似的前提 动力相似是决定流动相似的主要因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
§4-4 相似准则
流动相似的本质 ：原型和模型被 同一物理方程所 描述。这个物理 方程即相似准则 。
因为声音在流体中传播速度(音速)， a
入柯西数得
Ca v Ma a
Ev
代
§4-4 相似准则
其他相似准则
Ma 称为马赫数，在气流速度接近或超过音速时，要保证
流动相似，还需保证马赫数相等，即
vp vm ap am
或
(Ma) p (Ma) p
§4-5 相似原理应用
模型律的选择
模型律的选择
•从理论上讲， 流动相似应保 证所有作用力 都相似，但难 以实现。
FI
粘性力比尺：
FI
( A ( A
du dy
)
p
du dy
)
m
lv
lv
§4-4 相似准则
惯性力比尺： FI
(Va) p (Va)m
l3a
l 2v2
a v2 l
雷诺准则方程
vl 1
or
(vl
)
p
(vl
)
m
即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re 必vl须相等。
相似准则
准则推导依据
动力相似是
决定流动相 似的主要因 素
§4-4 相似准则
弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似， 则据动力相似要求有
第四章量纲分析和相似理论
pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠
内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
x LαTβMγ
（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1，则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re， d
l d
v2 2g
令
f1
Re，，则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模 型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。
4 量纲分析和相似理论
导出量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 3、量纲公式: dimq= Lα Tβ Mγ 几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0
4、无量纲数（纯数，如相似准数）：量纲一的量 α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点：1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； 2）具有客观性； 3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。
n个物理量
充要条件
Π定理 方 法 选m个独立 基本量 量纲分析方法等 m个独立 基本量
组成n-m个 独立Π数
n-m个导出量
π定理的解题步骤：
1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个 物理量及其关系式f(x1,x2, ……xn)=0 2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量 纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三个作基本变量， 而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。 3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基本物理量 组成的π表达式 4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出各π项的 指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数。π参数分子分母可以相互交 换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。 5）写出描述现象的关系式 或显解一个π参数，如： 或求得一个因变量的表达式。
工程单位制
大小 单位制 国际单位制
物理量 基本量纲 类别 量纲 导出量纲
英
制
量纲幂次式
常用量
速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩
dim v LT
1
dim g LT 2
量纲分析和相似理论
µ ρVd
这两个独立的无量纲数的关系是
FD ρVd ) = f( 2 2 ρV d µ
流动相似原理
原型：天然水流和实际建筑物等。 原型：天然水流和实际建筑物等。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。 几何相似：即是要求模型和原型所对应线段之比等于一常数。
相似准则
常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比， 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数） 组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相 似流动中应该是相等的。 似流动中应该是相等的。
流动相似原理
雷诺准则——粘性力是主要的力 粘性力是主要的力 雷诺准则
[解]
本问题的物理量共有5个 本问题的物理量共有 个：FD、d 、V 、ρ 、µ ，即n=5，基本量 ， 个独立无量量纲。 纲M、L、T，即m=3，故应该有 个独立无量量纲。则有： [V ] = [ LT −1 ] 、 、 ， ，故应该有2个独立无量量纲 则有：
为循环量， 组合成无量纲数π 选ρ、V、d为循环量，与余下的 D、µ组合成无量纲数 1、π2。 、 、 为循环量 与余下的F 组合成无量纲数
Fp Fm = λ F ——力的比尺 力的比尺
流动相似原理
流动相似的含义： 流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
第四章 量纲分析与相似理论
[ML-1T-1]/([ LT-1]a1[L]b1[ML-3]c1) T:a1-1=0 M:-c1+1 =0
L:-a1-b1+3c1-1=0
由此a1=1，b1=1，c1=1。类似有：
Your company slogan
π2= △ /(υa2Db2ρc2 )
π3=g/(υa3Db3ρc3）
都可用3个基本量纲的指数乘积形式表示。
Your company slogan
3、导出量纲公式： 1） 当 a = 0，
dimq=[M a L b Tc ]
b ≠ 0， c = 0 时： 为几何学量纲。
2） 当 a = 0，
b ≠ 0， c ≠ 0 时：
为运动学量纲。
3） 当 a ≠ 0， b ≠ 0， c ≠ 0 时：
a3=2， b3=-1， c3=0
2
D
可得： a2=0， b2=1， c2=0
1
Re D （4）整理方程式： gD 3 2
解得：
常用沿程损失公式形式为：
——称沿程阻力系数，具体由实验决定。
Your company slogan
【例3】：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差△p与下列变量有 关：管径d,ρ ,υ ,l,μ ,管壁粗糙度△，试求△p的表达式。 解：（1）找出有关物理量 F（d,ρ,υ,l,μ,△,△p）=0
【例1】：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的重度γ， 流 量Q，扬程 H 。求水泵输入功率N 的表达式。
解：
1) 其指数关系式： N k 1 Q2 H 3
2) 量纲表达式： [M L2T -3] = [M L-2T -2]α1 [L3T -1]α2 [L]α3
相似量纲分析
在流体力学范围内，各种变量可用五个基本量纲来表示：长度[L]、时间[T]、 质量[M]、温度[]和热量[H]。
常用物理量的量纲
物理量 量 纲 物理量 量 纲
面积A
体积V 速度u，v，c 加速度a 转速n 热量QH 比热cp，cv 密度 能量E 气体常数R
L2
L3 LT-1 LT-2 T-1 H HM-1--1 ML-3 ML2T-2 L2--1T-2
无论其中什么变量 x1、 x2 、 …，只要构成一个函数关系式，则此关系式中各 项的量纲必须相同，这就是物理方程中量纲的齐次性。例如静水压强分布规律 的表达式
p p0 gh
上式两端各项的物理量的量纲都是 [ML-1T-2] 。若把基本度量单位扩大或缩小 相应的倍数，则导出单位亦随之扩大或缩小另一个倍数，然而在函数关系式不 变。量纲分析法就是利用量纲的齐次性。
1 2 3 1
于是函数式为
n n N f (1,1,1 , xi iyi zi ,... xk k ) y z y z n1 n2 n3 n1 n2 n3 n1 n2 k n3 k
x
f ( 4 , 5 ..., i , k )
【例9】 管中流动由于沿程摩擦而造成的压强差p与管路直径d、管中平均速度v、 流体密度、流体粘度、管路长度l以及管壁的粗糙度有关，试求水管中流动的 沿程水头损失。
F
K
p
Kl 2 ( FK ) K l2 2 ( FK ) K l
F
g
( Fg ) gV g l3 ( Fg ) g V
F
c
v (F ) l 2 2 c l v ( Fc ) l 3v v l
量纲分析与相似理论
理量组合成一个无量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。
1
x4
x a1 1
x b1 2
x c1 3
2
x5
x a2 1
x b2 2
x c2 3
（4-14）
有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速度比例尺，就可由它
们确定所有动力学量的比例尺。
•几何相似是运动相似和动力相似 的前提； •动力相似是决定流动相似的主要 因素； •运动相似是几何相似和动力相似 的表现。
§4-4 流动相似的准则
定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。
模型采用同oxing流体，则将导致 Cl 1 ，失去了模型试验的价值。
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
④ 据因次齐次性求各 Π项的指数 ai，bi，ci
⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式
F (1, 2,, nm ) 0
§4-3 流动相似的基本概念
表征
流动
按性 质分
过程
的物
理量
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
由式 (4-10) 得:
CF 1 C Cl2Cv2
（4-15）
Ne称为牛顿数，
或:
F' F
'l'2 v'2 l 2v2
（4-16）
它是作用力与惯 性力的比值。
第四章 相似原理和量纲分析
• 条件与实物相同。 • • 如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比
例数 • 不同，则这种模型称为变态模型。变态模型梁的相似条
件由式(f) • 确定。但必须使模型梁满足初等弯曲理论对梁所作的基本假设,即 • 梁长少等于梁高的五倍 (lm5。hm)
• 第三定理：系统的单值条件相似，则系统为相似。 • 根据相似原理可以确定： • 在试验中应当测量包含在相似判据中的所有的物理量； • 应当按照包含在相似判据式中的各物理量间的关系去处
理试验结果。 • 应当将处理后的试验结果转换到原型上去。
4
4－3 由关系方程建立相似条件
对于弹性体来说，在不考虑体积力和惯性力的情况下：
例：对于第一现象 F1 m1a1
对于第二现象 F2 m2a2
F2 CFFl
m2 Cmm1
a2 Ca1
∴F
CmCa CF
m1a1
CmCa 1 成为相似条件。 CF
3
• 第二定理：以量纲分析为基础，把参与物理现象的各物 理量参数，通过量纲分析组成无量纲组。这些无量纲量 就是该物理现象的相似判据。量纲分析的普遍定理是π 定理。
第四章 相似原理和量纲分析
4-1 相似和量纲
力长学度上相所似用：C l的几l个lm 基力本相相似似：量C 如f ：FFm
C
时间相似：
t
t tm
• 物理量是通过描述自然规律的方程式而相互联系的。为引入
量纲的概念，通常把某些量作为互相独立的。即把的它们当
作基本量，而其他量则根据这些量来定义，后者成为导出量。
• 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中 含有r个量是无量纲独立的，则独立的纯数有n－r个。
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第四章 相似理论与量纲分析在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。
工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。
实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。
借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。
而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。
因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。
第一节 相似理论为了能够使模型流动（以下标“m ”表示）表现出原型流动（以下标“p ”表示）的主要现象和物理本质，并能从模型流动上预测原型流动的结果，必须使模型流动与原型流动保持力学的相似关系，所谓力学相似是指模型流动和原型流动在对应部位上的对应物理量都应该有一定的比例关系，具体说包括下列三个方面的内容。
一、几何相似几何相似指原型与模型之间保持几何形状和几何尺寸的相似，也就是原型和模型的对应边长保持一定的比例关系，对应角相等。
设原型的线性长度为p l ，模型的线性长度为ml ，两者的比值用l λ表示，称为尺度比例系数mP l l l =λ（4-1）而面积比例系数和体积比例系数可分别表示为2l mP A A A λλ==3l mP V V V λλ==（4-2）二、运动相似运动相似是指原型流动与模型流动的流线几何相似，而且对应点上的速度成比例，或者说，两个流动的速度场是几何相似的。
设时间比例系数为t λmp t t t =λ则速度比例系数v λ可以写为tl mp v v v λλλ==（4-3）运动相似是建立在几何相似基础上的，在尺度比例系数一定的情况下，运动相似只要确定时间比例系数t λ就可以了，所以运动相似也称为时间相似，几何相似也称为空间相似。
这样，其他一些运动学物理量的比例系数均可表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合，例如，加速度比例系数a λ和角速度比例系数ωλ可以表示为2-=t l a λλλ 1-=t λλω（4-4）运动粘度系数、流量都具有运动学的量纲，因此运动粘度比例系数υλ、流量比例系数qλ可以分别表示为12-==t l mp λλυυλυ13-==t l mp q q q λλλ（4-5）三、动力相似动力相似是指原型流动和模型流动中对应点上作用着同名的力，各同名力的方向相同且具有同一比例。
设F λ为力比例系数mp F F F =λ（4-6）力比例系数也可写成2223))((v l t l l a m F λλλλλλλλλλρρ===-（4-7）同样，可以写出其它力学量的比例系数，如力矩M 、功率P 、压强p 、动力粘度μ的比例系数可分别表示为23)()(v l mp M Fl Fl λλλλρ==321v l t M P λλλλλλρ==-2v AF mp p p p λλλλλρ===v l mp λλλμμλρμ==（4-8）上述公式表明，要使模型流动和原型流动相似，需要这两个流动在几何相似和运动相似的条件下受力相似，后者又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准数都相等。
四、相似准则描写流体运动和受力关系的是流体运动微分方程（动力学方程）。
两个相似流动必须满足同一运动微分方程（N-S 方程）。
现分别写出模型流动和原型流动的不可压缩流体的运动微分方程标量形式第一式xpp ppp xp pxp zppxp yppxp xppxp v x p f z v v y v v x v v t v ∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ1xm m mmm xm mxm zmmxm ymmxm xmmxm v x p f z v v y v v x v v t v ∆+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂υρ1（4-9）所有同类物理量均具有同一比例系数，因此有mf p m p p xmxp m p m t p zm v zp yxm v yp xm v xp m l p m l p m l p f f p p t t v v v v v v z z y y x x λλυλυρλρλλλλλλλυρ===========;;;;;;由对模型的和原型的两运动微分方程以及同类物理量有同一比例的关系并经对比可写出下式22lv lp g lv tv λλλλλλλλλλλυρ====（1）（2） （3） （4） （5）上述5项分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、质量力、法向表面力-压力、切向表面力-摩擦力，因此上式就表示模型流动与原型流动的力多边形相似。
将上式中的位变惯性力⎥⎦⎤⎢⎣⎡l v λλ2除全式，可得vl vp vg l tv l λλλλλλλλλλλλυρ====221（1） （2） （3） （4） （4-10）上式中的（1）、（2）、（3）、（4）项表示模型流动和原型流动在动力相似时各比例系数之间有一个约束，并非各比例系数的数值可以随便取值。
对其进一步分析可以得到以下各相似准则（相似准数）：（一）斯特劳哈（Strouhal ）相似准数 vt l S r =这是由式(4-10)第一项得出的，由此1=tv l λλλ（4-11）mp m p mp t t v v l l =（4-12）令vtl S r =，动力相似中要求rp rm S S =斯特劳哈相似准数是一个无量纲的量，它是由l ，v ，t 这三个物理量以上述形式组合的一个物理量。
它代表了时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流动运动随时间变化的情况，也称为非定常相似准数。
（二）弗劳德（Froude ）相似准数 gl v F r 2=这是由式(4-10)第二项得出的，由此12=lg vλλλ（4-13）mp m p m p l l g g vv =22（4-14）令glvF r 2=，动力相似中要求rp rm F F =弗劳德相似准数是一个无量纲的量，它是由v ，g ，l 这三个物理量以上述形式组合的一个物理量。
它代表了流动中惯性力和重力之比，反映了流体中重力作用的影响程度，也称为重力相似准数。
（三）欧拉（Euler ）相似准数 2v p E u ρ=这是由式(4-10)第三项得出的，由此12=vp λλλρ（4-15）22mpm p mp v v p p ρρ=（4-16）令2vpE u ρ=，动力相似中要求up um E E =欧拉相似准数是一个无量纲的量，它是由p ，ρv ，这三个物理量以上述形式组合的一个物理量。
它代表了流动中所受的压力和惯性力之比，也称为压力相似准数。
（四）雷诺（Reynolds ）相似准数 μρυ/vl vl R e ==这是由式(4-10)第四项得出的，由此1==μρυλλλλλλλlv l v（4-17）ppp p ppp mmm m mmm l v l v l v l v μρυμρυ===（4-18）令μρυvl vlR e ==，动力相似中要求ep em R R =雷诺相似准数是一个无量纲的量，它是由v ，l ，υ，这三个物理量，或者是v ，l ，ρ，μ组合的一个物理量。
它代表了流动中的惯性力和所受的粘性力之比，也称为粘性力相似准数。
（五）马赫（Mach ）相似准数 c v M a =除上述几个相似准数以外，我们可以从其他流动方程中推得另外一些相似准数。
如我们用c 表示声速——微小扰动在流体中的传播速度，则对可压缩流动，由ρd dp c=2及式(4-8)得1=cv λλ（4-19）令cv Ma=，动力相似中要求apamMM=即模型流动的马赫数的数值应该和原型流动的马赫数数值相等。
马赫相似准数也是一个无量纲量，是v ，c 这两个物理量以上述形式组合的一个综合物理量。
它代表流动中的压缩程度，也称为弹性力相似准数。
1<aM为亚音速流动；1>aM为超音速流动。
一般说，马赫数小于0.15可以作为不可压缩流动处理。
还可以推出很多相似准数。
动力相似若用相似准数来表示，则有rprm S S =，rprm F F =，rprm E E =，epem R R =，apamMM=…因此，动力相似也就意味着模型流动和原型流动中，各同名相似准数均应相等。
但从各相似准数的表达式可以看出，并不是所有相似准数之间都是相容的。
例如如果考虑原型和模型的重力和粘性力同时满足相似，也就是说保证原型和模型的弗劳得相似准数和雷诺相似准数一一对应相等，由式(4-13)、(4-17)分别得到g l v λλλ=（4-23）lv λλλυ=（4-24）一般1=g λ，则式（4-23）变为l v λλ=（4-25）由式（4-24）可得l l l v λλλλλυ⋅==也就是说，要实现两流动相似，原型和模型的流速比例系数v λ应为l λ，而流体运动粘度比例系数必须满足23l λλυ=，通常后一条件难以实现。
即使模型与原型采用同一种介质，即1=υλ，则1=l λ，即模型尺寸与原型尺寸完全一致，模型实验研究就失去了意义。
因此，模型流动和原型流动之间达到完全的动力相似实际上是达不到的。
所以流体力学中寻求的是主要动力相似，而不是完全的动力相似。
如何选择主要动力相似？这主要根据所研究流体的流动的性质来决定。
如水利工程中的明渠流以及江、河、溪流，都是以水位落差形式表现的重力来支配流动的，对于这些以重力起支配作用的流动，应该以弗劳德相似准数做为决定性相似准数。
有不少流动需要求流动中的粘性力，或者求流动中的水力阻力或水头损失，如管道流动、流体机械中的流动、液压技术中的流动等，此时应当以满足雷诺相似准数为主，e R 就是决定性相似准数。
对于非定常流动，如流体在旋转叶轮叶片间的流道中的流动，应当以满足斯特劳哈相似准数为主，Sr 就是决定性相似参数。
对于可压缩流动，应当以满足马赫相似准数，Ma 就是决定性相似准数。
对于Eu 这个相似准数，它代表了流场的速度和压力关系，由流动的基本方程，在满足流动相似的条件下，其压力场也相似。
因此在其他相似准数作为决定性相似准数相等时，欧拉相似准数能够同时满足。
例题 一个物体浸没在油中（s Pa m kg ⋅==0258.0,/8643μρ）以s m v p /72.13=的速度水平运动，为了研究这一运动过程，一个尺度比例系数为8：1的放大模型浸没在15℃的水中进行模型实验。