广西省防城港市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题含解析

广西省防城港市2019-2020学年数学高二下期末达标测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．一辆汽车按规律s ＝at 2＋1做直线运动，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝( ) A ．
12
B ．
13
C ．2
D ．3
2．4
(2)3x x
-的展开式中各项系数之和为（ ） A ．216- B ．16
C ．1
D ．0
3．求函数2y x =- ）
A ．[0，+∞）
B ．[
17
8
，+∞） C ．[
5
4
，+∞） D ．[
15
8
，+∞） 4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 （ ） A ．12,24,15,9
B ．9,12,12,7
C ．8,15,12,5
D ．8,16,10,6
5．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)(),()f x f x f x '-=为()f x 的导函数，且3()02x f x ⎛
⎫'-< ⎪⎝
⎭，若
12x x <，且123x x +>，则有（ ）
A ．12()()f x f x >
B ．12()()f x f x <
C ．12()()f x f x =
D ．不确定
6．双曲线2
2
19y x -=的渐近线的斜率是( )
A ．19±
B ．13
±
C ．3±
D ．9±
7．设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
8．已知点P 为双曲线2
221x y a
-=上一点，则它的离心率为（）
A ．
2
B ．
3
C D ．9．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；④过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
10．已知随机变量X ~N(2,1)，则P(01)X <<=
参考数据：若X ~N(,),P()0.6826X μσμσμσ-<<+=，
P(22)0.9544,X μσμσ-<<+=P(33)0.9974X μαμα-<<+=
A ．0.0148
B ．0.1359
C ．0.1574
D ．0.3148.
11．已知函数()ln f x x x =，则()f x 在x e =处的切线方程为（ ） A ．0x y -=
B ．10x y --=
C ．20x y e --=
D ．(1)0e x ey e +--=
12．设函数f(x)=cos(x+
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=
6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若对一切实数x ，不等式2
20x a x -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为______． 14．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题: (1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；
(2)若z 是z 的共轭复数,则()
()D z D z =恒成立； (3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；
(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立. 则其中所有的真命题的序号是_____________.
15．已知函数()()
()()02
203x a x f x a x a x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩
在R 上为增函数，则a 的取值范围是______. 16．已知一个总体为：1、3、4、7、x ，且总体平均数是4，则这个总体的方差是______． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知数列1111,
,,,
,112123123n
++++++
+，其前n 项和为n S ；
（1）计算1234,,,S S S S ；
（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
18．若对任意实数,k b 都有函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切，则称函数()f x 为“恒切
函数”，设函数()x
g x ae x pa =--，其中,a p R ∈. （1）讨论函数()g x 的单调性； （2）已知函数()g x 为“恒切函数”， ①求实数p 的取值范围；
②当p 取最大值时，若函数()()x
h x g x e m =-也为“恒切函数”，求证：3016
m ≤<
. 19．（6分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n 名学生，已知这n 名学生的历史成绩均不
低于60分（满分为100分）．现将这n 名学生的历史成绩分为四组：
[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到的频率分布直方图如图所示，其中历史成绩在[90,100]内的有28名学生，将历史成绩在[80,100]内定义为“优秀”，在[60,80)内定义为“良好”．
（Ⅰ）求实数a 的值及样本容量n ；
（Ⅱ）根据历史成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n 名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生的历史成绩均优秀的概率；
（Ⅲ）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关？ 男生 女生 合计 优秀 良好 20 合计
60
参考公式及数据：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.
2()P K k ≥ 0.150
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（6分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，梯形面积为S . （1）当1r =，3
2
CD =
时，求梯形ABCD 的周长(精确到0.001)； （2）记2CD x =，求面积S 以x 为自变量的函数解析式()S f x =，并写出其定义域.
21．（6分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22
(sin sin )sin sin sin A B C A B +=+.
（1）求C ；
（2）若2,3a c ==，求ABC ∆的面积. 22．（8分）已知函数()()ln 1,f x x a x a R =+-∈. （1）已知函数()f x 只有一个零点，求a 的取值范围；
（2）若存在()00x ∈+∞,，使得()022f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
如果物体按s=s(t)的规律运动，那么物体在时刻t 的瞬时速度()v t s ='(t)，由此可得出答案． 【详解】
由s ＝at 2＋1得v(t)＝s′＝2at ， 故v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a ＝3. 【点睛】
本题主要考察导数的物理意义．属于基础题 2．C
【解析】 【分析】
令1x =，由此求得二项式4
(2)3x x
-的展开式中各项系数之和. 【详解】
令1x =，得各项系数之和为4
423(1)11⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
． 故选：C 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式各项系数之和的求法，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】
=t ，t ≥0，则x ＝t 2+1，y ＝2t 2﹣t+2，由此再利用配方法能求出函数y ＝
2x
【详解】
=t ，t ≥0，
则x ＝t 2+1， ∴y ＝2t 2﹣t+2＝2（t 14-）21515
88
+
≥， 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的值域的求法，是基础题，解题时要注意换元法的合理运用． 4．D 【解析】
试题分析：由题意，得抽样比为
40180020=，所以高级职称抽取的人数为1
160820
⨯=，中级职称抽取的人数为13201620⨯=，初级职称抽取的人数为12001020⨯=，其余人员抽取的人数为1120620
⨯=，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D ． 考点：分层抽样．
【方法点睛】分层抽样满足“
每层中抽取的个体数量样本容量
＝本层的总个体数量总体数量
”，即“1212n n n
N N N
===
或1212:::::
:n n n N N N =”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个
时，就可以求出第三个．
5．A 【解析】 【分析】 【详解】
函数()f x 满足()()3f x f x -=，可得3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 由()302x f x ⎛
⎫⎪⎭'-
< ⎝，易知，当3
2
x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 由123x x +>，12x x <，则23
2
x >. 当13
2x >
,则()()12f x f x >. 当132x <,则13
32
x ->,21
3x x >-，()()123f x f x ->，即()()12f x f x >. 故选A. 6．C 【解析】 【分析】
直接利用渐近线公式得到答案. 【详解】
双曲线2
2
19
y x -=渐近线方程为：33y x k =±⇒=±
答案为C 【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 7．C 【解析】 【分析】
由ln 2
ln 2
ln 3
a b =<=及3
11log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】
∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2
ln 2ln 3
a b =
<=，即a b <．
又
33
11
log 2log ,22
a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a
b << 故选C. 【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题. 8．B 【解析】 【分析】
将点P 带入求出a 的值，再利用公式c e a ==计算离心率。

【详解】 将点P 带入得
212
31a
-=，解得23a =
所以3
c e a == 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，属于基础题。

9．B 【解析】 【分析】
说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当α与β相交时，是否在平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断. 【详解】
①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B. 【点睛】
本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程. 10．B 【解析】 【分析】
根据正态分布函数的对称性去分析计算相应概率. 【详解】
因为()~2,1X N 即2,1μσ==，所以()()130.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=，
()(22)040.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=，
又()()112130.34132P X P X <<=
<<=，()()1
02040.47722
P X P X <<=<<=，
且()()()0102120.1359P X P X P X <<=<<-<<=， 故选：B. 【点睛】
本题考查正态分布的概率计算，难度较易.正态分布的概率计算一般都要用到正态分布函数的对称性，根据对称性，可将不易求解的概率转化为易求解的概率. 11．C 【解析】
分析：求导得到()f x 在x e =处的切线斜率，利用点斜式可得()f x 在x e =处的切线方程.
详解：已知函数()ln f x x x =，则()1ln ,f x x =+' 则()1ln 2,f e e =='+ 即()f x 在x e =处的切线斜率为2，又()ln ,f e e e e == 则()f x 在x e =处的切线方程为()2,y e x e -=- 即20x y e --=. 故选C.
点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题. 12．D 【解析】
f(x)的最小正周期为2π，易知A 正确；
f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B 正确； ∵f(x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++
⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上不单调，故D 错误．
故选D.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．(
-∞ 【解析】 【分析】
当0x =时，不等式显然成立；当0x ≠时，不等式2
20x a x -+≥恒成立等价于222
x a x x x
+≤=+恒成立，运用基本不等式可得2
x x
+的最小值，从而可得a 的范围． 【详解】
当0x =时，不等式2
20x a x -+≥显然成立；
当0x ≠时，不等式2
20x a x -+≥恒等价于22
x a x
+≤恒成立，
由222x y x x x +==+≥=
当且仅当x =
所以a ≤(
.-∞ 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、分类讨论思想和分离参数的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立
（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 14．（2），（4） 【解析】 【分析】
由新定义逐一核对四个命题得答案． 【详解】
解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误； 对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-，
则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确； 对于（3），若()()
()1212,z z z D D z C =∈，
则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z =
()12,z z C ∈，但12z z ≠；
对于（4），设123,
,z a bi z c di z e fi =+=+=+，
则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，
()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-， ()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，
由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-， 得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确． ∴正确的命题是（2）（4）．
故答案为（2），（4）． 【点睛】
本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题．
15．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
由分段函数在R 上为增函数,则012023a a a a
⎧⎪>⎪
->⎨⎪⎪≥⎩
,进而求解即可.
【详解】
因为()f x 在R 上为增函数,
所以01202
3a a a a
⎧
⎪>⎪->⎨⎪⎪≥⎩
,解得312a <≤,
故答案为:31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【点睛】
本题考查已知分段函数单调性求参数范围,考查指数函数的单调性的应用. 16．4 【解析】 【分析】
利用总体平均数为4求出实数x 的值，然后利用方差公式可求出总体的方差. 【详解】
由于该总体的平均数为4，则
134745
x
++++=，解得5x =.
因此，这个总体的方差为
()()()()()2
2
2
2
2
143444745445
-+-+-+-+-=.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）438
1,,,325；（2）21
n n
S n =+，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件，计算出1234,,,S S S S 的值；（2）由（1）猜想21
n n
S n =+，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明. 【详解】
（1）计算12141,1123
S S ==+=+， 341331232S =+=++，4318212345
S =+=+++，
（2）猜想21
n n
S n =+.
证明：①当1n =时，左边11S ==，右边21
111
⨯==+，猜想成立. ②假设(
)*
n k k N =∈猜想成立.
即111121*********
k k
S k k =+
++⋯+=++++++⋯++成立，
那么当1n k =+时，
()()
11
22
1231
112k k k S S k k k k k +=+
=
++++
++++++， 而()()()()()()()2
212122
1121211
k k k k k k k k k +++==+++++++， 故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②可知，对于*n N ∈，猜想都成立. 【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题. 18．（1）见解析；（2）3
016
m ≤< 【解析】
分析：（1）求出()'f x ，分两种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）①设切点为()00,x y ，求出
()001x p e x =-，设()()1x m x e x =-，根据函数的单调性求出()()max 01m x m ⎡⎤==⎣⎦故实数p 的取值范
围为(]
,1-∞；②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e -==，()()
1x x
h x e x e m =---，
()()
'22x x h x e x e =--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得()0'0h x =，()00h x =，
由()0'0h x =得()
00
0220x
x e x e
--=，00220x e x --=，设()22x n x e x =--，，根据函数的单调性证
明即可.
详解：（1）()'1x
g x ae =-.当0a ≤时，()'0g x =恒成立，函数()g x 在R 上单调递减；
当0a >时，()'0g x =得ln x a =-，由()'0g x >得ln x a >-，由()'0g x <得ln x a <-， 得函数()g x 在(),ln a -∞-上单调递减，在()ln ,a -+∞上递增.
（2）①若函数()f x 为“恒切函数”，则函数()y f x kx b =++的图象与直线y kx b =+相切， 设切点为()00,x y ，则()0'f x k k +=且()000f x kx b kx b ++=+，即()0'0f x =，()00f x =.
因为函数()g x 为“恒切函数”，所以存在0x ，使得()0'0g x =，()00g x =，即00
00
10
x x ae x pa ae ⎧--=⎨-=⎩，得00x a e -=>，()0
01x p e
x =-，设()()1x m x e x =-.
则()'x
m x xe =-，()'0m x <，得0x >，()'0m x >得0x <，
故()m x 在(),0-∞上单调递增，在()0,+∞上单调递减，从而()()max 01m x m ⎡⎤==⎣⎦ 故实数p 的取值范围为(]
,1-∞.
②当p 取最大值时，1p =，00x =，01x a e -==，()()
1x x
h x e x e m =---，
()()
'22x x h x e x e =--，因为函数()h x 也为“恒切函数”，故存在0x ，使得()0'0h x =，()00h x =，
由()0'0h x =得()
00
0220x
x e x e
--=，00220x e x --=，设()22x n x e x =--，
则()'21x
n x e =-，()'0n x >得ln2x >-，()'0n x <得ln2x <-，
故()n x 在(),ln2-∞-上单调递减，在()ln2,-+∞上单调递增，
1.在单调递增区间()ln2,-+∞上，()00n =，故00x =，由()00h x =，得0m =；
2. 在单调递增区间(),ln2-∞-上，()2
220n e
--=>，
()312
2311122200
2222n e --⎛⎫-=-≈⨯-=< ⎪⎝⎭
，又()n x 的图象在(),ln2-∞-上不间断，
故在区间32,2⎛
⎫--
⎪
⎝⎭上存在唯一的0x ，使得0
220x e -=，故0022
x x e +=. 此时由()00h x =，得
()
()()002000000022
111112122
444x x x x m e x e x x x x ++⎛⎫=--=--=-+=-++ ⎪⎝⎭，
函数()()2
11144r x x =-
++在32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，()20r -=，33216r ⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
，故3016m <<. 综上所述，3
016
m ≤<
. 点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
19．（Ⅰ）0.028a =，100n =；（Ⅱ）3
10
；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据频率之和为1即可求出a 的值，由历史成绩在[]
90,100内的有28名学生即可求出n 的值； （Ⅱ）根据分层抽样具有按比例的性质得出良好的有2人，优秀有3人，通过列举法求解概率； （Ⅲ）补充22⨯列联表，算出2K ，对比表格得出结论 【详解】
（Ⅰ）由题可得()100.0160.0240.0321a ⨯+++=，解得0.028a =， 又历史成绩在[]
90,100内的有28名学生，所以
28
0.02810n
=⨯，解得100n =． （Ⅱ）由题可得，这100名学生中历史成绩良好的有()1000.0160.0241040⨯+⨯=名，
所以抽取的5名学生中历史成绩良好的有40
52100
⨯
=名，历史成绩优秀的有523-=名， 记历史成绩优秀的3名学生为a ，b ，c ，历史成绩良好的2名学生为m ，n ，
从这5名学生中随机抽取2名，有ab ，ac ，am ，an ，bc ，bm ，bn ，cm ，cn ，mn ，共10种情况，其中这2名学生的历史成绩均优秀的有ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以这2名学生的历史成绩均优秀的概率为310
P =． （Ⅲ）补充完整的22⨯列联表如下表所示：
则2K 的观测值()2
10020202040 2.778 3.84140604060
k ⨯⨯-⨯=
≈<⨯⨯⨯，
所以没有95%的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关． 【点睛】
本题属于常规概率统计问题，属于每年必考题型，主要涉及知识点有：
频率分布直方图：频率分布直方图中每个小矩形的面积为相应区间的频率，所以小正方形的面积之和为1； 分层抽样：按比例；系统抽样：等距离； 列联表：会列列联表，即判断两者是否有关联．
20．（1）周长是7 6.1932
+≈；
（2）(2S r x =+()0,x r ∈. 【解析】
分析：（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为222214y x r r +=，由题1r =，32CD =，则34c x =代入椭圆方程得c y =，
可求CB =
ABCD 的周长.
（2）由题可得c x x =， 2c y =()S f x =，进而得到定义域.
详解：
（1）以下底AB 所在直线为x 轴，等腰梯形所在的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，
可得椭圆方程为22
2214y x r r
+=，
1r =，32
CD =
，
∴34c x =
代入椭圆方程得2
c y =，
∴CB ==，
所以梯形ABCD 6.193≈； （2）得c x x =，
∴2c y =
(
)(
122222S r x r x =+=+
定义域()0,x r ∈.
点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目． 21．（1）23C π=（2
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得cos C ，从而求得C ； （2）由(1)及2,3a c ==代入可解得b ，再由in 1
2
s S ab C =求得面积． 【详解】
解：（1）由2
2
(sin sin )sin sin sin A B C A B +=+及正弦定理得：
22()a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，
由余弦定理得：1cos 2
C =-， ∵0C π<<， ∴23
C π=
（2）由222a b c ab +-=-，及2,3a c ==， 得2492b b +-=-， ∴2250b b +-=
∴1b =-+∴ABC ∆
的面积为1sin 22
ab C =
. 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式，解题关键是由正弦定理把已知角的关系转化为边的关系．
22．（1）1a =或0a ≤；（2）(],1-∞ 【解析】 【分析】
(1)先求导，再对a 分类讨论，研究函数的图像，求得a 的取值范围.(2)先转化得到0
2ln 1x a x +≤
+，再构造
函数()()2ln 01x
g x x x
+=>+，再利用导数求函数g(x)的最大值得a 的取值范围. 【详解】
（1）()1
f x a x
'=
-，定义域为()0,+∞ ① 若0a ≤则()0f x '>，()f x 在()0,+∞上为增函数 因为()10f =，有一个零点，所以0a ≤符合题意； ② 若0a > 令()0f x '=，得1x a =
，此时10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减 ()f x 的极大值为1f a ⎛⎫
⎪⎝⎭，因为()f x 只有一个零点，所以10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
即11ln
10a a a ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，所以1a = 综上所述1a =或0a ≤.
（2）因为()00,x ∃∈+∞，使得()022f x a ≥-，所以0
2ln 1x a x +≤
+
令()()2ln 01x
g x x x
+=>+，即
()a g x ≤最大值，因为()()
21
ln 11x x g x x --=+ 设()1ln 1h x x x =
--，()211
0h x x x
'=--<，所以()h x 在()0+∞，
单调递减，又()10h = 故函数()g x 在()0,1单调递增，()1,+∞单调递减，()g x 的最大值为()1g ，()11a g ≤= 故答案为：(]
,1-∞. 【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)第2问的解题关键有两点，其一是分离参数转化为0
2ln 1x a x +≤
+，其二是构造函数
()()2ln 01x
g x x x
+=
>+，再利用导数求函数g(x)的最大值得a 的取值范围.。