第六讲二维及三维空间的变换概念及其矩阵表示-精品
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20133152013315?几何变换二维变换齐次坐标系和二维变换的矩阵表示二维变换的复合窗口到视口的变换效率问题三维变换的矩阵表示三维变换的复合坐标系的变换二维及三维空间的变换概念矩阵表示三维视图二维三维空间的变换概念及其矩阵表示2013315几何变换本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换其中的平移变换比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其重要
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/11/20
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/11/20
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2019/11/20
二维变换的矩阵表示
平移变换
0, 10
1
绕x旋转
Rx()
0 0
0
cos sin
0
sin cos
0 0. 0
Байду номын сангаас
0 0 0 01
0 0
0 1
综合
r11
M
r21
2019/11/20
r31 0
r12 r22 r32 0
r13 r23 r33 0
tx ty tz 1
这种近似上一个公式要好。
2019/11/20
三维变换的矩阵表示(坐标系)
在齐次坐标系中，二维变换可以用3×3的矩阵表示，假定我们也用 齐次坐标来表示三维空间中的点，那么三维变换便可用4×4的矩阵 表示。因此，我们用(x,y,z,W)而不是(x,y,z)来表示三维空间中的一
点，其中若一个四元组是另一个四元组的非零倍数，则认为它们代 表同一点，并且四元组(0,0,0,0)是不允许的。和二维空间一样，任 意点(x,y,z,W)（W≠0)的标准表示为(x/W,y/W,z/W,1)，将坐标转化 成这种形式被称为齐次化，而W为零的点则称为无穷远点。同样，
沿y轴的 错切矩阵
Shy
其 中 a、b 是 比 例 常 量 。 注 意 ：
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
错切变换（一种仿射变换）
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
沿x轴的错 切变换矩阵
SHx
2019/11/20
窗口到视口的变换
2019/11/20
所期望的结果点坐标由 P =Mwv •[x y 1]T
P 代表了视口内新点坐标,[x,y,1] 代表了窗口内点坐标.
视图变换：就是把用户坐标系表 示的点在视口坐标系表示出来。 将一个空间坐标系的窗口变换到 视口的步骤:
窗口到视口的变换步骤
2019/11/20
窗口的剪切和视口的关系
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
x=xr11+y r12+tx y=xr21+y r22+ty
如果有些硬件的矩阵乘法器具有并行加法器和乘法器，那么无需考虑这一效率问 题。
旋转方程R（）需要进行四次乘法和两次加法，当θ 角非常小时（只有几度）， cosθ 非常接近于1，根据这一点可减少计算量，因此旋转变换公式可近似地表示 成：
2019/11/20
二维变换
平移变换 x=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y
P=P+T
比例变换矩阵
x=sx x y= sy y
旋转变换矩阵
2019/11/20
P=R•P
变换前
一座房子的平移 变换.
变换后
比例变换前
比例变换后
房子的比例变换。两个 方向上的变换比例不同 ，并且房子改变了位置 。
M1 平移变换
M2 平移变换
比例变换
比例变换
旋转变换
旋转变换
比例变换(sx=sy)
旋转变换
因此，在这些情况下，我们不用关心矩阵乘法的顺序。
2019/11/20
习题
0 1234 5678
1
2 3 4 5 6 7 8
0 1 2345678
1
2 3 4 5 6 7 8
2019/11/20
写出综合变换矩阵.
空间坐标系中的输出图元被窗口剪切，保留的部分在视口中显示出来。
许多图形软件包将窗口到视口的变换和窗口中输出图元的剪切结合起来， 上图举例说明了窗口的剪切和视口的关系。
2019/11/20
效率问题
要计算一个向量与一个3×3的矩阵的乘积M·P，则必须做九次乘法和六次加法。 上面左侧公式的最后一行为固定结构，因此实际操作将变为四次乘法和四次加法：
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
1
cos
具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。
0
2019/11/20
刚体变换仿射变换
对于形如：
特殊 正交阵
单位正方体
旋转45度
在x轴方向拉伸
的变换矩阵，若其左上角的主子式是 正交的，那么该矩阵变换保角保长。 也就是说，一个单位的正方形经该矩 阵变换后仍然是一个单位的正方形，
上 图 是 单位正方体先旋转45度，再进行不 均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
dy dz 1
.
S(sx, sy, sz )
0 0 0
sy 0 0
1 0 shx
0 0.
sz 0
0 1
0
绕z旋转
Rz ()
sin
0
0
cos
0 0
0 0. 1 0 0 1
SHxy(shx
,
shy
)
0 0
1 0
shy 1
几何变换
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
齐次化的几何解释也存在：三维空间中的每一个点可以看作是从四
维空间的原点出发的一条线，且齐次化的点组成了四维空间中由简 单等式W=1确定的三维子空间。本课中的三维坐标系采用右手系，
如右下图所示，按照习惯定义，右手系下的正向旋转的规定是：当 显示屏上的左手坐标系。 从一个正向轴向原点望去时，则另一个正向轴逆时针旋转90度后与
）。
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ )，那么 这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
正方体旋转45度，然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ )、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ )、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
2019/11/20
矩阵的数据结构：
T(x2,y2) ·R() ·S(sx,sy) ·T(-x1,-y1)
如果M1和M2分别代表一个基本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情 况下有M1·M2=M2·M1呢？或者说，何时M1和M2可交换呢？当然，一般来说矩阵乘 法是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进行交换的：
右手坐标系
2019/11/(2x0y)。正向旋转的定义使本节中的旋转矩阵既可以用于右手坐标
系也可以用于左手坐标系。
三维变换的矩阵表示（公式）
平移
1 0 0 dx 比例
sx 0 0 0
cos sin 0 0
T(dx
,
dy
,
dz
)
0 0
1 0
0 1
0 0 0
在xy方向上错切
第三个正向轴重合，如下表所示
旋转轴
正向旋转的方向
x
y z
y
z x
z
x y
应注意，并不是所有的图形学教科书都沿袭这一约定。
在三维图形学中采用屏幕上的左手系会很方便(如右上图所示)，因 为在左手系下，可以很自然地解释z值越大，点离观察者越远的情
况，但这里我们仍然使用右手系，因为它符合标准的数学约定。请 注意，当从左手系的正向轴向原点望去时，正向旋转是顺时针的
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
2019/11/20
r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
2019/11/20
P=T+P P=SP P=RP
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次
2019/11/20
二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图
二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示
• 几何变换
– 二维变换 – 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 – 二维变换的复合 – 窗口到视口的变换 – 效率问题 – 三维变换的矩阵表示 – 三维变换的复合 – 坐标系的变换
2019/11/20
绕y旋转
Ry()
cos
0
sin
0
0 1 0 0
sin
0
cos
0
0 0. 0 1
三维变换的矩阵表示（平面方程）
单个点的变换已经讨论。线段的变换可以通过对两端点进行变换来实现。如果平面是由三
点定义的，可用同样的方法处理。如果平面由一个平面方程来定义，也需要对平面方程的
旋转变换
比例变换
2019/11/20
两个连续的旋转变换是可叠加的证 明留作习题。
特殊正交阵
（special orthogonal）
左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每
一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几
个特点：
1）每个都是单位向量。
特殊
2）每两个向量之间相互垂直（它们的点积为零
正交阵
x'=x-ysinθ ,
y'=xsinθ +y
然而，该式只是x'和y'的近似值，每计算一次，都会产生误差积累。如果我们反
复无限次地使用该公式，会使其结果完全变成误差，使得旋转图象看起来就象随
意画的线段集合。
另一种更好的近似方法是在上面式子的第二个公式中用x'代替x：
x'=x-ysinθ ,
y'=x'sinθ + y = (x - y sinθ )sinθ + y= x sinθ + y(1 – sin2θ )
现在考虑绕任意一点P1旋转物体的问题。 1）将P1点平移到原点； 2）旋转； 3）平移还原P1点。
2019/11/20
二维变换的复合(例二）
关于任意 点P1比例 变换一个 物体。
2019/11/20
二维变换的复合（小结）
假设我们想要使图中的房子以任意点P1为中心进行旋转、平移和缩放（比例）变换 。这时具体步骤与上述类似：先将点P1平移到原点，待完成比例变换和旋转变换后 再将房子从坐标原点平移到新的位置P2，因此记录变换的数据结构可以是包含比例 变换因子、旋转角、平移量和变换顺序的数据结构，或者只是简单地记录复合变换
过除以W）而得到形式为(x,y,1)的
坐标，因此，齐次化的点就形成
平面
了(x,y,W)空间中的一个平面,由等
式W=1定义。图中示出了这种联 系，注意：无穷远点没表示在该 平面中。
XYW齐次坐标系，其中示有W=1的平面和投影 到该平面上的点P（X，Y，W）
2019/11/20
二维变换的矩阵表示
平移变换
0, 10
1
绕x旋转
Rx()
0 0
0
cos sin
0
sin cos
0 0. 0
Байду номын сангаас
0 0 0 01
0 0
0 1
综合
r11
M
r21
2019/11/20
r31 0
r12 r22 r32 0
r13 r23 r33 0
tx ty tz 1
这种近似上一个公式要好。
2019/11/20
三维变换的矩阵表示(坐标系)
在齐次坐标系中，二维变换可以用3×3的矩阵表示，假定我们也用 齐次坐标来表示三维空间中的点，那么三维变换便可用4×4的矩阵 表示。因此，我们用(x,y,z,W)而不是(x,y,z)来表示三维空间中的一
点，其中若一个四元组是另一个四元组的非零倍数，则认为它们代 表同一点，并且四元组(0,0,0,0)是不允许的。和二维空间一样，任 意点(x,y,z,W)（W≠0)的标准表示为(x/W,y/W,z/W,1)，将坐标转化 成这种形式被称为齐次化，而W为零的点则称为无穷远点。同样，
沿y轴的 错切矩阵
Shy
其 中 a、b 是 比 例 常 量 。 注 意 ：
SHx[x y 1]T=[x+ay y 1] T，表示在 x方向上的比例变化是y的函数。
SHy[x y 1]T=[x bx+y 1] T表示在y 方向上的比例变化是x的函数。
二维变换的复合(例一）
(x1,y1)
(x1,y1)
错切变换（一种仿射变换）
单位正方体
方体在x方向上错切
正方体在y方向上错切
对单位正方体进行简单的错切变换， 每一种变换情况，斜边的长度都超过了1。
二维的错切变换分为两种：沿x轴的错切变换和沿y轴的错切变换。上图 示出了沿两个轴错切一个单位正方体的效果。
沿x轴的错 切变换矩阵
SHx
2019/11/20
窗口到视口的变换
2019/11/20
所期望的结果点坐标由 P =Mwv •[x y 1]T
P 代表了视口内新点坐标,[x,y,1] 代表了窗口内点坐标.
视图变换：就是把用户坐标系表 示的点在视口坐标系表示出来。 将一个空间坐标系的窗口变换到 视口的步骤:
窗口到视口的变换步骤
2019/11/20
窗口的剪切和视口的关系
射变换，只保留线段之间的平行关系，不 保持长度和角度不变。
既不会变成单位边长的菱形，也不会变成非单位边长的正方形。这种变换也被称
为刚体变换，因为进行变换的物体不会有任何变形。任意顺序的旋转、平移变换
都等同于这种形式的矩阵。
一系列任意的旋转、平移和比例变换的结果又是如何呢？这些变换称为仿射变换
，它们能够保持直线平行性，但不角和不保长。如上图所示，其中先将一个单位
x=xr11+y r12+tx y=xr21+y r22+ty
如果有些硬件的矩阵乘法器具有并行加法器和乘法器，那么无需考虑这一效率问 题。
旋转方程R（）需要进行四次乘法和两次加法，当θ 角非常小时（只有几度）， cosθ 非常接近于1，根据这一点可减少计算量，因此旋转变换公式可近似地表示 成：
2019/11/20
二维变换
平移变换 x=x+dx , dx = x-x y=y+dy , dy= y-y
P=P+T
比例变换矩阵
x=sx x y= sy y
旋转变换矩阵
2019/11/20
P=R•P
变换前
一座房子的平移 变换.
变换后
比例变换前
比例变换后
房子的比例变换。两个 方向上的变换比例不同 ，并且房子改变了位置 。
M1 平移变换
M2 平移变换
比例变换
比例变换
旋转变换
旋转变换
比例变换(sx=sy)
旋转变换
因此，在这些情况下，我们不用关心矩阵乘法的顺序。
2019/11/20
习题
0 1234 5678
1
2 3 4 5 6 7 8
0 1 2345678
1
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2019/11/20
写出综合变换矩阵.
空间坐标系中的输出图元被窗口剪切，保留的部分在视口中显示出来。
许多图形软件包将窗口到视口的变换和窗口中输出图元的剪切结合起来， 上图举例说明了窗口的剪切和视口的关系。
2019/11/20
效率问题
要计算一个向量与一个3×3的矩阵的乘积M·P，则必须做九次乘法和六次加法。 上面左侧公式的最后一行为固定结构，因此实际操作将变为四次乘法和四次加法：
坐标不唯一。要求齐次坐标中至少有一个不为零， 即(0,0,0)是不允许的。如果坐标W不为零，那么我 们可以用它作为除数：由(x,y,W)得到(x/W,y/W,1)， 它们代表同一点。一般来说，当W不为零时，我们 采用W为1的坐标，并将x/W和y/W称为齐次点 (x,y,W)的笛卡儿坐标。而W=0的点被称为无穷远点 ，在这里我们不讨论此类点。
1
cos
具有这些特性的矩阵称为特殊正交阵。
0
2019/11/20
刚体变换仿射变换
对于形如：
特殊 正交阵
单位正方体
旋转45度
在x轴方向拉伸
的变换矩阵，若其左上角的主子式是 正交的，那么该矩阵变换保角保长。 也就是说，一个单位的正方形经该矩 阵变换后仍然是一个单位的正方形，
上 图 是 单位正方体先旋转45度，再进行不 均匀的比例变换，结果是单位立方体的仿
齐次坐标几何意义
三元组一般用来表示三维空间中
的点，但是此处是用来表示二维
空间的点。这两种表示之间具有
以下联系：如果取所有代表同一
点的三元组，即所有形式为
(tx,ty,W)的三元组（其中t≠0），
便可得到三维空间中的一条直线，
因此，每一个齐次点就代表了三
维空间中的一条直线。又由于我
们可以将一点的坐标齐次化（通
dy dz 1
.
S(sx, sy, sz )
0 0 0
sy 0 0
1 0 shx
0 0.
sz 0
0 1
0
绕z旋转
Rz ()
sin
0
0
cos
0 0
0 0. 1 0 0 1
SHxy(shx
,
shy
)
0 0
1 0
shy 1
几何变换
本讲介绍计算机图形学经常用到的基本的二维和三维几何变换，其 中的平移变换、比例变换和旋转变换对很多图形应用程序来说极其 重要。 许多应用程序或图形子程序软件包需要用到各种变换，例如：一个 城市规划程序，利用平移变换将表示建筑物和树木的图符移到合适 的位置，利用旋转变换确定图符的朝向，以及利用比例变换确定图 符的大小。一般来说，很多应用程序在绘图时都要用到几何变换来 改变物体（也称为图符或模板）的位置、方向和大小。本讲还介绍 如何应用三维变换(旋转变换、平移变换和比例变换)作为创建三维 物体的二维显示过程的一部分。
齐次化的几何解释也存在：三维空间中的每一个点可以看作是从四
维空间的原点出发的一条线，且齐次化的点组成了四维空间中由简 单等式W=1确定的三维子空间。本课中的三维坐标系采用右手系，
如右下图所示，按照习惯定义，右手系下的正向旋转的规定是：当 显示屏上的左手坐标系。 从一个正向轴向原点望去时，则另一个正向轴逆时针旋转90度后与
）。
3）如果将每个向量所指的方向旋转R(θ )，那么 这些方向量便可位于正x轴、y轴方向上，
即:
前两个特点也适用于该2×2子矩阵的两个列向量，并且列向量所对应的两个
方向量就是沿x轴和y轴正方向的向量(i,j,k)经矩阵R变换后而得到的.
因此，当已知旋转变换的结果时，这些特点便
0
sin
为如何构造旋转变换矩阵提供了两种有效的方法。
正方体旋转45度，然后进行不均匀的比例变换。很明显，正方体的角度和长度都
发生了变化，但那些原来平行的线仍保持平行，再继续进行旋转、比例和平移变
换也不会改变线的平行性，R(θ )、S(sx,sy)和T(dx,dy)都是仿射变换。 R(θ )、 T(dx,dy)也是刚体变换保长保角。
2019/11/20
矩阵的数据结构：
T(x2,y2) ·R() ·S(sx,sy) ·T(-x1,-y1)
如果M1和M2分别代表一个基本的平移变换、比例变换或旋转变换，那么在什么情 况下有M1·M2=M2·M1呢？或者说，何时M1和M2可交换呢？当然，一般来说矩阵乘 法是不可交换的，但是，在下面的特殊情况下，是可以进行交换的：
右手坐标系
2019/11/(2x0y)。正向旋转的定义使本节中的旋转矩阵既可以用于右手坐标
系也可以用于左手坐标系。
三维变换的矩阵表示（公式）
平移
1 0 0 dx 比例
sx 0 0 0
cos sin 0 0
T(dx
,
dy
,
dz
)
0 0
1 0
0 1
0 0 0
在xy方向上错切
第三个正向轴重合，如下表所示
旋转轴
正向旋转的方向
x
y z
y
z x
z
x y
应注意，并不是所有的图形学教科书都沿袭这一约定。
在三维图形学中采用屏幕上的左手系会很方便(如右上图所示)，因 为在左手系下，可以很自然地解释z值越大，点离观察者越远的情
况，但这里我们仍然使用右手系，因为它符合标准的数学约定。请 注意，当从左手系的正向轴向原点望去时，正向旋转是顺时针的
旋转之前
旋转之后
房子的旋转变 换，旋转的同 时也改变了位 置。
旋转矩阵的推导
小结
2019/11/20
r
正向旋转
r
其中:
齐次坐标系和二维变换的矩阵表示
齐次坐标表示
平移矩阵 平移变换
2019/11/20
P=T+P P=SP P=RP
希望能用一种一致的方法来表示这三种变换。
将（x,y)附加第三个坐标，于是每个点的坐标都用 一个三元组(x,y,W)来表示，称为点（x，y)的齐次 坐标。在齐次坐标系中，我们认为两组齐次坐标 (x,y,W)和(x,y,W)代表同一点当且仅当(x,y,W)与 (x,y,W)互为倍数，因此(2,3,6)和(4,6,12)是用不同 的三元组坐标表示的同一点。也就是说每个点齐次
2019/11/20
二维及三维空间的变换概念、矩阵表示、三维视图
二维、三维空间的变换概念及其矩阵表示
• 几何变换
– 二维变换 – 齐次坐标系和二维变换的矩阵表示 – 二维变换的复合 – 窗口到视口的变换 – 效率问题 – 三维变换的矩阵表示 – 三维变换的复合 – 坐标系的变换
2019/11/20
绕y旋转
Ry()
cos
0
sin
0
0 1 0 0
sin
0
cos
0
0 0. 0 1
三维变换的矩阵表示（平面方程）
单个点的变换已经讨论。线段的变换可以通过对两端点进行变换来实现。如果平面是由三
点定义的，可用同样的方法处理。如果平面由一个平面方程来定义，也需要对平面方程的
旋转变换
比例变换
2019/11/20
两个连续的旋转变换是可叠加的证 明留作习题。
特殊正交阵
（special orthogonal）
左上角有个2×2的子矩阵，我们可以将其中的每
一行看作是一个行向量。这两个行向量有以下几
个特点：
1）每个都是单位向量。
特殊
2）每两个向量之间相互垂直（它们的点积为零
正交阵
x'=x-ysinθ ,
y'=xsinθ +y
然而，该式只是x'和y'的近似值，每计算一次，都会产生误差积累。如果我们反
复无限次地使用该公式，会使其结果完全变成误差，使得旋转图象看起来就象随
意画的线段集合。
另一种更好的近似方法是在上面式子的第二个公式中用x'代替x：
x'=x-ysinθ ,
y'=x'sinθ + y = (x - y sinθ )sinθ + y= x sinθ + y(1 – sin2θ )