2015内蒙古呼和浩特中考数学解析试卷(夏建平)

2015年内蒙古呼和浩特中考数学试卷
（满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

） 1.（2015内蒙古呼和浩特，1，3分）以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ）
A.－3℃
B.15℃
C.－10℃
D.－1℃ 【答案】C
2.（2015内蒙古呼和浩特，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ． B. C. D. 【答案】A
3.（2015内蒙古呼和浩特，3，3分）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 120° 【答案】C
4.（2015内蒙古呼和浩特，4，3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 1
6 【答案】A
5.（2015内蒙古呼和浩特，5，3分）如果两个变量x 、y 之间的函数关系如图所示，则函数值y 的取值范围是（ ）
A. －3≤y ≤3
B. 0≤y ≤2
C. 1≤y ≤3
D. 0≤y ≤3 【答案】D
6.（2015内蒙古呼和浩特，6，3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A. 224m m m +=
B. 22211
( )m m m m
+=+
C. 2224(3)6mn m n =
D. 2222m
m n mn n
÷= 【答案】D
7.（2015内蒙古呼和浩特，7，3分）如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为（ ）
A. 12
B. 9
8 C. 2 D. 4 【答案】C
8.（2015内蒙古呼和浩特，8，3分）以下是某手机店1～4月份的两个统计图，分析统计图，对3、4月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（ ）
A. 4月份三星手机销售额为65万元
B. 4月份三星手机销售额比3月份有所上升
C. 4月份三星手机销售额比3月份有所下降
D. 3月份与4月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额 【答案】B
9.（2015内蒙古呼和浩特，9，3分）如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为（ ）
A. 236π
B. 136π
C. 132π
D. 120π 【答案】B
10.（2015内蒙古呼和浩特，10，3分）函数x
x
x y 22+=的图象为（ ）
A. B. C. D
【答案】D
各月手机销售总额统计图
三星手机销售额占该手机店 当月手机销售总额的百分比统计图
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11.（2015内蒙古呼和浩特，11，3分）某企业去年为国家缴纳税金达到4100000元，用科
学记数法表示为__________元. 【答案】4.1×106
12.（2015内蒙古呼和浩特，12，3分）分解因式：x 3－x =__________. 【答案】x (x +1)(x －1).
13.（2015内蒙古呼和浩特，13，3分）如图，四边形 ABCD 是菱形， E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是__________.
G
H
F
A C B
D
E
【答案】
2
1
14.（2015内蒙古呼和浩特，14，3分）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为__________. 【答案】12π.
15.（2015内蒙古呼和浩特，15，3分）若实数a 、b 满足(4a +4b ) (4a +4b －2)－8=0，则a +b=__________. 【答案】－
2
1
或1
16.（2015内蒙古呼和浩特，16，3分）以下四个命题:①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补.②边数相等的两个正多边形一定相似.③等腰三角形ABC 中， D 是底边BC 上一点，E 是一腰AC 上的一点，若∠BAD =60°且AD =AE ，则∠EDC =30°.④任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点.其中正确命题的序号为__________. 【答案】②③④
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（2015内蒙古呼和浩特，17，10分）
(1) （2015内蒙古呼和浩特，17（1），5分）计算
3-11
()3
-+24
解：(1）原式=3－6－3+26=6.
(2) （2015内蒙古呼和浩特，17（2），5分）先化简，再求值：22
32237
()5102a b a b ab a b
+÷，其中a =2
5，b =－21
解：
(2原式=32232()5107a b ab ab +⨯=3232223257107a b a b ab ab ⨯+⨯=22433535
a b a b +
=2
5a b . 当a =25，b =－21
时，原式=－8
1.
18.（2015内蒙古呼和浩特，18，6分）如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE =CF . (1)求证：△BOE ≌△DOF ;
(2)若BD =EF ，连接DE 、BF ，判断四边形EBFD 的形状，无需说明理由.
A
D B
C
F
E O
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO=DO ,AO=OC ∵AE=CF
∴AO －AE=OC －CF 即：OE=OF
在△BOE 和△DOF 中，
OB OD
BOE DOF OE OF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BOE ≌△DOF （SAS ）； （2）矩形.
理由：∵△BOE ≌△DOF ，∴BE=DF ，∠BEO=∠DFO ，∴BE ∥DF ，∴四边形EBFD 为平行四边形.∵BD =EF ，∴平行四边形EBFD 为矩形.
19.（2015内蒙古呼和浩特，19，6分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋高楼顶部B 的仰角为30°，看这栋高楼底部C 的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD 为120m .求这栋高楼的高度. （结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）
解：在Rt △ABD 中，∠BAD=30°，
∵tan 30°=
BD
AD
， ∴BD = AD·tan 30°=120×3
3 = 403；
在Rt △ACD 中，∠CAD=65°， ∵tan 65°=
CD
AD
， ∴CD =120·tan 65° ，
∴BC =BD +CD =403+120·tan 65° . 答：这栋高楼的高度为（403+120·tan65°）米
20.（2015内蒙古呼和浩特，20，6分）若关于x 、y 的二元一次方程组23224
x y m x y +=-+⎧⎨
+=⎩的解满足x + y >－3
2
，求出满足条件的m 的所有正整数值.
解：23224x y m x y +=-+⎧⎨
+=⎩①②
①+②得：3(x +y )=－3m +6，∴x +y =－m +2. ∵x +y >－3
2
∴－m +2>－3
2
∴m <72
∵m 为正整数 ∴m =1、2或3.
21.（2015内蒙古呼和浩特，21，7分）某玉米种子的价格为a 元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折.某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象.以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A 的坐标为（2，10）.请你结合表格和图象：
(1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x ，并写出表中a 、b 的值； (2)求出当x>2时，y 关于x 的函数解析式；
(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买了4.165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额.
解： (1) 购买量是函数中的自变量x ， a =5，ｂ=14；
(2) 当x ≤2时，设y 与x 的函数解析式为y =tx ，∵它的图象过点A （2，10），∴10=2t ，∴t=5，从而y=5x ；
当x >2时，设y 与x 的函数解析式为：y = kx +b ∵y = kx +b 经过点（2，10） 又x =3时，y =14
∴210314
k b k b +=⎧⎨
+=⎩ ，解得42k b =⎧⎨=⎩ ∴当x >2时，y 与x 的函数解析式为：y = 4x +2. (3)当y = 8. 8＜10时，代入y=5x ，得x =
8.8
5
=1.76； 当x = 4.165＞2时，代入y = 4x +2，得y = 4×4.165+2 =18.66.
∴甲农户的购买量为1.76千克，乙农户的付款金额为18.66元.
22.（2015内蒙古呼和浩特，22，9分）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉
(1)由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁;
(2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁.
解：(1)乙的平均成绩：
4
83
828073+++=79.5.
∵80.25 >79.5，∴应选派甲; (2)甲的平均成绩：10
4
73385178285⨯+⨯+⨯+⨯= 79.5，
乙的平均成绩：
104
83382180273⨯+⨯+⨯+⨯= 80.4.
∵79.5<80.4，∴应选派乙
23.（2015内蒙古呼和浩特，23，7分）如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，
AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = k
x
的图象的一支经过AO 的中点C ，且
与AB 交于点D.
（1）求反比例函数解析式;
（2）若函数y = 3x 与y = k
x
的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的
面积的比
.
解：(1) ∵A 点的坐标为(8，y )，AB ⊥x 轴，
∴OB =8
∵Rt △OBA 中，sin ∠OAB = 4
5,
∴OA =8×5
4
=10，AB =22OB OA -=6.
∵C 是OA 的中点，且在第一象限 ∴C(4,3) ， ∴反比例函数的解析式为y = x
12
. (2)如图，连接BC.
1212322,1266y x y x x x y y =⎧==-⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨
⎨===-⎪⎪⎪⎩⎩⎩
解方程组得
∵M 是直线与双曲线另一支的交点， ∴M （－2，－6）, ∴S △OMB =
21
·OB·|－6| =2
1×8×6 =24
∵D 在双曲线y =x
12
上，且D 点横坐标为8 ∴D (8，
23)，即BD =2
3
∴S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+2
1·DB ·4=12+3=15
∴S △OMB S 四边形OCDB = 5
8
.
24.（2015内蒙古呼和浩特，24，9分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠P AC =∠ABC (1) 求证：P A 是⊙O 的切线；
(2) 连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为BC ⌒的中点，且∠DCF =∠P ，求证：
PD BD =ED FD =AD
CD
.
证明：(1) 连接CM.
∵∠P AC =∠ABC ,∠M =∠ABC ， ∴∠P AC =∠M. ∵AM 为直径， ∴∠ACM=90°，
∴△ACM 中，∠M +∠MAC =90°. ∴∠P AC +∠MAC =90°， 即∠MAP =90°. ∴MA ⊥AP ，
∴P A 是⊙O 的切线. (2) 连接AE
∵M 为BC ⌒中点，AM 为⊙O 的直径 ∴AM ⊥BC ∵AM ⊥AP ∴AP ∥BC
∴△ADP ∽△CDB
∴PD BD =AD CD
. ∵AP //BC
∴∠P =∠CBD ∵∠CBD =∠CAE ∴∠P =∠CAE ∵∠P =∠DCF ∴∠DCF =∠CAE ∵∠ADE =∠CDF ∴△ADE ∽△CDF ∴ED FD =AD CD
. ∴
PD BD =ED FD =AD
CD
.
25.（2015内蒙古呼和浩特，25，12分）已知：抛物线y = x 2+(2m －1)x + m 2－1经过坐标原
点，且当x < 0时，y 随x 的增大而减小.
(1)求抛物线的解析式，并写出y < 0时，对应x 的取值范围;
(2)设点A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于点B ， DC ⊥x 轴于点C. ①当BC =1时，直接写出矩形ABCD 的周长;
②设动点A 的坐标为 (a ，b )，将矩形ABCD 的周长L 表示为a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标;如果不存在，请说明理由.
解： (1)∵抛物线经过坐标原点(0,0)
全面有效 学习载体
∴m 2－1=0
∴m = ±1
∴y = x 2+x 或y = x 2－3x .
∵x <0时，y 随x 的增大而减小，
∴ y = x 2－3x .
由图象知：y <0时，0<x <3.
(2)①当BC =1时,由抛物线的对称性知点B 的横坐标为1，从而点A 的纵坐标为－2．∴AB=2，所以矩形的周长为2×（1+2）=6；
②∵点A 的坐标为（a ，b ），
∴当点A 在对称轴左侧时，如图1，矩形ABCD 的一边BC =3－2a ，另一边AB =3a －a 2.
周长L =－2a 2+2a +6 ,其中 0＜a ＜32
. 当点A 在对称轴右侧时, 如图,2，矩形的一边BC =3－(6－2a )=2a －3, 另一边AB =3a －a 2，
周长L =－2a 2+10a －6，其中32
＜a ＜3. ∴当0＜a ＜32时，L =－2(a －12)2+132∴当a = 12时，L 最大= 132，A 点坐标为(12,－54
)； 当32＜a ＜3时，L =－2(a －52)2+ 132∴当a = 52时，L 最大= 132，A 点坐标为(52,－54) .
图1 图2。