江苏省高三数学试题分类之解析几何
江苏省天一中学届高三数学二轮复习解析几何应用题
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解析几何应用题的重要性和发展趋势
未来展望：未来的解析几何应用题将更加注重创新和探究，需要学生具备更强的数学素养和创新能力。
重要性：解析几何应用题是数学中的重要题型，能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
发展趋势：随着科技的进步和数学教育的改革，解析几何应用题将更加注重实际应用和跨学科的综合问题。
特点：解析几何应用题通常涉及较为复杂的几何图形和数量关系，需要学生具备较高的数学建模能力和思维逻辑能力。同时，这类题目通常与实际生活问题密切相关，能够帮助学生理解数学在解决实际问题中的应用。
解析几何应用题的解题思路
理解题意：仔细阅读题目，明确题目要求和条件
建立模型：根据题意，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题
注意事项：注意定值问题的特点和难点，结合题目要求选择合适的解题方法
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读题审题，理解题意
仔细阅读题目，确保理解题意
找出关键信息，明确解题方向
结合图形，将文字信息转化为数学语言
避免因理解错误而导致的解题失误
建立坐标系，确定变量和参数
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运用解析几何知识解决问题
运用知识：运用解析几何的知识，如直线、圆、椭圆、双曲线等，进行计算和分析。
理解问题：仔细阅读题目，明确问题的要求和条件，理解问题的本质。
建立模型：根据问题的描述，选择合适的坐标系，建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
求解问题：通过计算和推理，得出问题的解，并给出合理的解释和结论。
解析几何知识运用：运用解析几何的知识，对数学模型进行分析和求解
结论检验：对求解结果进行检验，确保符合实际情况
解析几何应用题在高考中的地位和作用
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学复习专题之一----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征：(1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现；(2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目；(3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现；(4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解；②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用；③要注意圆锥曲线定义的活用.另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系.., ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.12222222中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C ae b b ax y C e C PQF F Q P l e b a by a x C +=∆∆>=-. ),3 , 2(21的轨迹方程顶点求：当椭圆移动时其下为离心率，且过点轴为准线，以练习：设椭圆恰以P A x .)2( )1( 41)0,4( 02010.2222的方程求双曲线的渐近线方程；求双曲线上，又满足在线段点，且点轴交于两点，和、交于和双曲线，使的直线做斜率为过点相切，近线与圆的中心在原点，它的渐双曲线例G G PCPB PA AB P C y B A G l l P x y x G =⋅-=+-+最大值为多少？，多少时矩形的面积最大，当矩形的长与宽各是若矩形内接于曲线的方程求抛物线顶点轨迹轴为准线且以已知抛物线经过例 )2( ;)1( ),4,3(.3l l y A .)2( )1( )0,6( 8)0(2.42面积的最大值求求抛物线方程的垂直平分线通过定点又线段为焦点，且，、上有两动点设抛物线例AQB Q AB BF AF F B A p px y ∆=+>=。
江苏省高三数学专题专练练习：解析几何苏教版 试题
某某省2010届高三数学专题专练解析几何1．椭圆12222=+by a x （a>b>0）的两焦点为F 1F 2，连接点F1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为2．已知N （3，1），点A 、B 分别在直线y=x 和y =0上，则△ABN 的周长的最小值是。
3．双曲线C 与双曲线221916x y -=有共同的渐进线，且过点(A -，则C 的两条准线间的距离为4．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必经过点5．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点(,1)M m 到焦点的距离为5，则此抛物线的方程为6．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b-=的离心率为7．已知椭圆的焦点是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（写出曲线类型）8．椭圆221123x y +=的焦点是12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1F P 的中点在y 轴上，那么12:PF PF9．过点(0,1)M 且与抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程是10．函数()()1x 1x x 21x f 2≤≤---=的图象为C,则C 与x 轴围成的封闭图形的面积为____________.11．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，抛物线bx y 42=的焦点为M ，若||2||21M F M F =，则此椭圆的离心率为12．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上两点，若三角形ABC 为等边三角形，则m 的取值X 围是。
13．经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点M ，作平行于实轴的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则MQ MP ⋅＝14．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1、B 1，则∠A 1FB 1=。
高三数学复习 解析几何(含答案)
苏州市高三数学 解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________． 【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________． 【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33． 所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ． 【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12． 例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是 ． 【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)． 当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， 所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是 ． 【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一： 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5， 所以OP max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率 ． 【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+． 因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+． 将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±． 当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为 ．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为 ． 【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________． 【答案】k ≥34-． 【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立， 只需点位于的中点时存在公共点即可． 点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-． 【考点三】： 圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253． 【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =； 当焦点在y轴上时，e ==253m =． 例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________． 【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45． 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ． 【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53． 【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠． 把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=． 根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ．【答案】152022=+y x ． 【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =． 双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ． 所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=， 则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ． 例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-． 例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=． 联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ． 例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程． 【解析】(1)证明 直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2， 从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方， 故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=， 解得32m =-或0m =（舍）． 所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ． 又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6． 例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 ． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 ． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4． 改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥， 当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。
江苏省高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编14 解析几何
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编14：解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则AB CD 的值为 ▲ ． 【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】00a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________. 【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b+=上斜率为1的弦的中点在直线0b y a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b-=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上. 【答案】22x y0a b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________. 【答案】2x 2﹣2y 2=1 6 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0b y a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________. 【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A) (B)2【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______.【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是________. 【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______.113．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______.【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________. 【答案】225x y -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____17．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.【答案】10 二、解答题18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为x =离心率为3.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线10x +=截得的线段长. 【答案】19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :222x y x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.【答案】解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,有121244y y ky y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+ 22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==,即()2416k +=,2k =±, xyoABCDP即:l0y -0y +=20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离一条准线:2l x =. (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点.①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程. 【答案】解:(1)由题设:22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩,2221b a c ∴=-=,椭圆C 的方程为:2212x y +=(2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,则圆D 的方程:222(1)()124t t x y -+-=+, 直线PQ 的方程:220x ty +-=,PQ ∴=∴=,24t ∴=,2t ∴=±∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=②解法(一):设00(,)P x y ,由①知:2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩,即:2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩, 消去t 得:2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 解法(二):设00(,)P x y ,则直线FP 的斜率为001FP y k x =-, ∵FP ⊥OM ,∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-,∴直线OM 的方程为:001x y x y -=-, 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ⋅=, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为 B.市园林局计划在ABM ∆内进行绿化,设ABM ∆的面积为S(单位:2m )(1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.【答案】22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=.(Ⅰ)求椭圆离心率;O国 泰 路B M l AN(Ⅱ)设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b AF 22||=,13||||21：：=,∴ab AF 213||=∴a a b 242=,∴222b a =,∴22c b =,故22=e . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为22222b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=, 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=,F AF 222λ=,bx b y y 020223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则bbb 23,112+==λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ∆的面积为12,点O 到直线PD 的距离为65,求椭圆的方程;(Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.图(1) 图(2)【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,∵PCD ∆的面积为12,∴122122a b ⨯⨯=,即6ab =.①此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab-+=.∴点O 到PD 的距离d =65. ② 由①②解得3,2a b ==∴所求椭圆方程为22194x y += (Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x,由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+,00(,2)DP x a y b =++ (说明:也可通过求直线方程做) 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+, ∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+,即002()2b x a AE y b⋅+=+由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-,00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-, ∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+,即002()2b a x FB y b⋅-=+又2200221x y a b +=,∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++∴2EF AE FB =⋅,即有AE ,EF ,FB 成等比数列24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、， （Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，P∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。
专题07 平面解析几何-江苏省2022届高三上学期期中考试数学试题分类汇编
江苏省2022届高三数学上学期期中分类汇编专题07 平面解析几何一、单选题1．（2021·江苏连云港·高三期中）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为140°，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．sin50︒B ．cos50︒C ．1sin 50︒D ．1cos50︒2．（2021·江苏南通·高三期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，O 到直线1PF 3，则椭圆的离心率是（ ） A 21B 31C 51- D 61- 3．（2021·江苏·金陵中学高三期中）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左，右焦点，点P 在C 上，若123F PF π∠=，且||2OP a =(O 为坐标原点)，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．2y x =± C ．3y x =±D ．2y x =±4．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：20bx y +-=，且12l l ⊥，则111a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．23D ．455．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交x 轴于点Q ，若3PF FQ →→=，则点P 到准线l 的距离为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题6．（2021·江苏连云港·高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线2y x =的焦点，点()()1122,,,A x y B x y 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=，则（ ）A ．126x x =B ．直线AB 过点(2,0)C ．ABO 的面积最小值是D ．ABO 与AFO 面积之和的最小值是37．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）已知曲线C ：22142x y mm+=-+，则（ ）A ．2m =时，则C 的焦点是(1F ，(20,FB ．当6m =时，则C 的渐近线方程为2y x =± C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆8．（2021·江苏南通·高三期中）已知曲线2212:1,,9x y C F F m+=分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若3m =-，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π B ．若曲线C 的离心率2e =，则27m =-C ．若3m =，则曲线C 上不存在点P ，使得122F PF π∠=D ．若3,m P =为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为9．（2021·江苏徐州·高三期中）已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（ ）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆MC ．3b a -的最大值为12D ．22a b +210．（2021·江苏·金陵中学高三期中）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224x y +=.其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（ ）A ．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；B ．当32a =-时，直线2y ax a =+与白色部分有公共点；C ．黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点(),x y ，则x y +21；D ．若点()0,1P ，MN 为圆224x y +=过点P 的直径，线段AB 是圆224x y +=所有过点P 的弦中最短的弦，则()AM BN AB -⋅的值为12.三、填空题11．（2021·江苏连云港·高三期中）已知抛物线223y x x =+-与坐标轴交于A ，B ，C 三点，则ABC 外接圆的标准方程为___________.12．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O 5M 到该抛物线焦点的距离为______.13．（2021·江苏南通·高三期中）若双曲线()222103x y a a-=>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.14．（2021·江苏徐州·高三期中）已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F P 为C 上一点，若(2,0)A -，则PA PF的最大值为________．15．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F ，点是双曲线右支上一点，且212 PF F F =，则三角形12PF F 的面积等于____四、解答题16．（2021·江苏连云港·高三期中）已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线x +2y -4=0有且只有一个公共点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点P （0，-2）的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，当坐标原点O 位于以AB 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.17．（2021·江苏·南京市中华中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线C 1以椭圆C 2：2243x y +=1长轴的两个端点为焦点，以C 2的焦点为顶点．(1)求C 1的标准方程；(2)过（0，1）的直线l 与C 1的右支相切，且与C 2交于点M ，N ，求 OMN 的面积． 18．（2021·江苏南通·高三期中）已知过点P (－2，0)的直线l 与抛物线Γ：22(0)y px p =>相切于点T (x 0，2)． (1)求p ，x 0； (2)设直线m ：1(0)2y x t t =+≠与Γ相交于点A ，B ，射线P A ，PB 与Γ的另一个交点分别为C ，D ，问：直线CD 是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．19．（2021·江苏南通·高三期中）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线C ：22x py =（p >0）的焦点为F ，抛物线C 上不同两点M ，N 同时满足下列三个条件中的两个：①|FM |+|FN |=|MN |；②|OM |=|ON |=|MN |=③直线MN 的方程为y =6p .请分析说明两点M ，N 满足的是哪两个条件？并求抛物线C 的标准方程.20．（2021·江苏南通·高三期中）如图，抛物线21:2C y px =（0p >）的焦点为椭圆222:143x y C +=的的右焦点，A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点.过A 的直线l 交抛物线1C 于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交椭圆2C 于E ，F 两点.(1)求抛物线1C 的方程，并证明O 点在以EF 为直径的圆的内部； (2)记OEF ，OCD 的面积分别为1S ，2S ，若21113S S =，求直线l 的方程. 21．（2021·江苏徐州·高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ．右焦点为F ；点(2,3)P 在双曲线C 上，直线l 与双曲线C 交于,M N 两点．且当直线MA 的斜率为1时，MF AF =． (1)求双曲线C 的方程；(2)若OM ON ⊥，求O 到直线l 的距离．22．（2021·江苏·金陵中学高三期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上，且122AF AF →→⋅=-. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ，问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.23．（2021·江苏·南京市第一中学高三期中）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点. (1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为23l 的方程.参考答案：1．C【解析】由题意，tan140tan 40b a -=︒=-︒，tan 40ba∴=︒，所以11cos 40sin 50c a ====︒︒. 故选：C 2．B【解析】如图所示，连接2PF ，因为圆222x y c +=，可得21PF PF ⊥，过点O 作1OM PF ⊥，可得2//OM PF ，且222PF OM ===，由椭圆的定义，可得122PF PF a +=，所以1222PF a PF a =-=在直角12PF F ∆中，可得2221212PF PF F F +=，即222(2))4a c +=，整理得2220c a -+=，两侧同除2a ，可得220e -+=，解得1e =或1e =，又因为01e <<，所以椭圆的离心率为1e =. 故选：B3．A【解析】不妨设点P 在C 的右支上，设12,PF m PF n ==，由双曲线的定义可知：2m n a -=， 因为||2OP a =，所以222221212121211()()4224OP PF PF OP PF PF OP PF PF PF PF =+⇒=+⇒⋅=++⋅，即222221162()342a m n mn m n mn mn a =++⋅=-+⇒=，由余弦定理可知：22222221212121212cos 4()2222F F PF PF PF PF F PF c m n mn mn c a =+-⋅⋅∠⇒=-+-⋅⇒=，而222c a b =+，所以22a b a b =⇒=，因此C 的渐近线方程为y x =±， 故选：A4．D【解析】因为12l l ⊥，所以40b a +-=，所以4a b +=，15a b ++=， 所以()11111111215151a a b a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11422515a a b b ⎛+≥+⋅= +⎝， 当且仅当114ba ab a b +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩即32a =，52b =时取等号，111a b ++的最小值为45， 故选：D 5．B【解析】解：如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，由题知()0,1F ，即1OF =因为3PF FQ →→=，所以14OF P FQ PQN→→==所以4PN =，所以点P 到准线l 的距离为15PN +=. 故选：B6．BCD【解析】设AB ：x my n =+，2x my ny x=+⎧⎨=⎩，消x 可得20y my n --=.12y y n =-，得2221212x x y y n ==，2OA OB ⋅=，∴22n n -=，则2n =或1-∵120y y <，∴0n >，∴2n =，124x x =，故A 错； AB ：2x my =+过()2,0，故B 对；设定点()2,0P ，12112222ABOAOPBOPSSSy y =+=⋅⋅+⋅⋅12112y y y y =-=+≥1y =C 对； 又121121111248ABO AFOSSy y y y y y +=-+⋅⋅=-+，不妨设10y>，又1(,0)4F ，1211219388ABO AFO S S y y y y y +=-+=-≥=△△，当且仅当1298y y =-时，取等号，故D 对. 故选：BCD. 7．ABD【解析】当2m =时，曲线C ：22124x y +=，是焦点在y 轴上的椭圆，且2422c =-=，所以交点坐标为(1F ，(20,F ，A 正确；当6m =时，曲线C ：22182-=y x ，是焦点在在y 轴上的双曲线，则C 的渐近线为2y x =±，B 正确；当C 表示双曲线时，要满足：()()420m m -+<，解得：4m >或2m <-，C 错误；当42m m -=+，即1m =时，223x y +=，表示圆，D 正确 故选：ABD 8．ABD【解析】对于A 选项，当3m =-时，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y =，故渐近线的倾斜角分别为5,66ππ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π，故A 选项正确； 对于B 选项，离心率2e =，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，3,2a e ==，故6c =，所以2236927m c a -=-=-=，所以27m =-，故B 选项正确；对于C 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为(M ，则222122461cos 02183a a c F MF a +--∠===-<，故12F MF ∠为钝角，所以线C 上存在点P ，使得122F PF π∠=，故C 选项错误；对于D 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，P为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为11222S c b =⨯⨯=⨯⨯=max 故D 选项正确. 故选：ABD9．AC【解析】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r = 易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确； 点M 到直线0x y +=的距离为22d ==222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错； 由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=， 22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-D 错误．故选：AC ． 10．ACD【解析】对于A ，设黑色部分区域的面积为1S ，整个圆的面积为S ，由对称性可知，112S S =， 所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112S P S ==，故A 正确； 对于B ，当32a =-时，直线的方程为332y x =--，即3260x y ++=，圆心()0,0到直线3260x y ++=22613232<+， 下方白色小圆的方程为()2211x y ++=，圆心为()0,1-，半径为1， 圆心()0,1-到直线3260x y ++=的距离为2211332d ==>+，如下图所示：由图可知，直线332y x =--与与白色部分无公共点，故B 错误；对于C ，黑色阴影部分小圆的方程为()2211x y +-=，设z x y =+，如下图所示：当直线z x y =+与圆()2211x y +-=相切时，z 取得最大值， 且圆()2211x y +-=的圆心坐标为()0,1，半径为11=，解得1z =由图可知，0z >，故max 1z ，故C 正确；对于D ，由于MN 是圆224x y +=中过点()0,1P 的直径，则M 、N 为圆224x y +=与y 轴的两个交点，可设()0,2M 、()0,2N -，当AB y ⊥轴时，AB 取最小值，则直线AB 的方程为1y =，可设点()A、)B ，所以()3,1AM =，()3BN =--，()23,0AB=，()2AM BN -=，所以()12AM BN AB -⋅=，故D 正确. 故选：ACD11．22(1)(1)5x y +++=【解析】令0y =，则2230x x +-=，解得121,3x x ==-，即(1,0)A ，(3,0)B -； 令0x =，得=3y -，即(0,3)C -，设圆：220x y Dx Ey F ++++=，所以1093093+0D F D F E F ++=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，∴223D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.所以圆的方程为222230x y x y +++-=. 故答案为：22(1)(1)5x y +++= 12．2【解析】解：设点2(4y M ，)y ，5MO =222(0)(0)54y y ∴-+-=，24y ∴=或216y =-（舍去），214y x ∴==，M ∴到抛物线24y x =的准线=1x -的距离1(1)2d =--=，点M 到该抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线24y x =的准线的距离，∴点M 到该抛物线焦点的距离为：2．故答案为：2.13．2【解析】22213x y a -=3＋ay ＝0，被圆(x －2)2＋y 2＝4所截弦长为2，322333a=+，a ＝1.所以双曲线的实轴长为2.故答案为：2 142【解析】由题可得(2,0)A -为准线2x =-与x 轴交点，过P 作PB 与准线垂直，垂足为B ，由抛物线定义可得PB PF =, 则11sin cos PA PA PF PB PAB PAF===∠∠， 则当cos PAF ∠最小时，即PAF ∠最大时，PA PF取得最大值，由图可知当直线AP 与抛物线相切时，PAF ∠最大，设直线AP 方程为2x my =-，代入抛物线得28160y my -+=，则由()284160m ∆=--⨯=，解得1m =±，由于抛物线的对称性，取1m =即可得， 此时45PAF ∠=︒，所以PA PF22.15．48 【解析】略16．(1)22143x y +=；(2)1122⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【解析】 (1) 根据题意，12c e a ==，而222a b c =+，则2a c =，b =， 所以椭圆方程为2222143x y c c+=，2223412x y c +=，()22222224034241203412x y y y c x y c+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩ 22164848120y y c ⇒-+-=，()22Δ4864481201c c =--=⇒=，所以2a =，b =C 方程为：22143x y +=. (2)设直线l 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()2222223444123412y kx x k x kx x y =-⎧⇒+-+=⎨+=⎩，即()2341640k x kx +-+=， ()221Δ256163402k k k =-+>⇒>或12k <-，且1221221634434k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,因为O 在以AB为直径的圆外，所以()()121212120220OA OB x x y y x x kx kx →→⋅>⇒+=+-->，则()()212121240k x xk x x +-++>，于是()22241612403434kk k kk+-⋅+>++，即223231216k k <⇒-<<综上：l 斜率k 的取值范围为23112322⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.17．(1)2213y x -=66【解析】（1）解：由题意得双曲线a ＝1，c ＝2， 则b ²＝c ²﹣a ²＝3，所以C 1的标准方程为：2213y x -=；（2）设过（0，1）的直线l 的方程为y ＝kx +1， 联立22113y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得（3﹣k ²）x ²﹣2kx ﹣4＝0，因为直线与双曲线相切， 所以Δ＝4k ²+16（3﹣k ²）＝0， 解得k ＝±2，因为直线l 与双曲线右支相切， 所以l 方程为：y ＝﹣2x +1，联立2221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得19x ²﹣16x ﹣8＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 21619=，x 1x 2819=-， 则|MN |21k +x 1﹣x 2|21k +21212126()45x x x x +-= 又原点O 到直线l 的距离d 5= 所以 OMN 的面积S 12=d •|MN |112666525==． 18．(1)1p =，02x = (2)直线CD 经过定点(0,1)【解析】(1)由题意可设切线l 的方程为：(2)y k x =+，联立22(2)y px y k x ⎧=⎨=+⎩，化为：2222(42)40k x k p x k +-+=，则∆224(42)160k p k =--=，化为：24p k =， 又022k x =+，042px =，解得：12k =，1p =，02x =．(2)设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2122y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化为：2440y y t -+=，∆16160t =->，解得1t <． 124y y ∴+=，124y y t =，射线PB 的方程为：22(2)2y y x x =++，(2)x -，射线PA 的方程为：11(2)2y y x x =++，(2)x-，联立2112(2)2y x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪+⎩，化为：2111(24)40y y x y y -++=， 14C y y ∴⋅=，14C y y ∴=，218C x y ∴=，可得218(C y ，14)y ．同理可得228(D y ，24)y ，∴直线CD 的方程为：1221122124448()88y y y x y y y y --=--，化为：21148()2t y x y y -=-，211442t ty x y y ∴=-+，即21142y t y x y y =-+， 化为：12ty x =+，∴直线CD 经过定点(0,1)．19．可选条件：②③．此时抛物线方程是242x y =．【解析】若满足②，则OMN 是等边三角形，由抛物线的对称性，得,M N 关于y 轴（抛物线的对称轴）对称，设46M x =386122M y =代入抛物线方程得2(46)22p =⨯，22p =242x =， 此时，直线MN 方程为122y =6p =，焦点为(2F ，1222FM FN ==FM FN MN +>．满足③，不满足①．因此可以选条件②③，不可选①②，若选①③，则由直线MN 方程是6y p =得，6M y p =，222612x p p p =⨯=，3x =±， 设(23,6),(3,6)M p N p -，43MN =，13622p FM FN p p ==+=， 1343FM FN p +=>，不满足①．所以可选条件：②③．此时抛物线方程是242x y =． 20．(1)24y x =，证明见解析 (2)2x =【解析】(1)解：椭圆222:143x y C +=，可得1c =，右焦点()1,0，()2,0A ， 所以12p=，解得2p =，抛物线：24y x =， 设直线l 的方程为2x my =+，点()11,C x y ，()22,D x y ，联立224x my y x =+⎧⎨=⎩，得2480y my --=，124y y m ∴+=，128y y =-，()()22212121212124888440OC OD x x y y m y y m y y m m ⋅=+=++++=--++=-<，90COD ∴∠>︒，故90EOF COD ∠=∠>︒，所以O 点在以EF 为直径的圆的内部； (2)解：由（1）得直线OE 的方程为1114y y x x x y ==，直线OF 的方程为2224y y x x x y ==， 联立1224143y x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，设10y >，20y <，解得E，同理可得F ⎛ ⎝， 又21113S S =，12121sin 32111sin 2E F OE OF EOF y y S S y y OC OD COD ⋅⋅∠===⋅⋅∠ 即12113E F y y y y =，故1138=⨯，88，88=， 解得0m =， 故直线方程为：2x =.21．(1)2213y x-= 【解析】(1)由MF AF =可得AF MF ⊥，则2b ac a=+，又点(2,3)P 在双曲线C 上，则22491ab-=，则可解得1,a b == 所以双曲线的方程为2213y x -=； (2)当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程2233y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得()2223230k x kmx m ----=， 则230k -≠且Δ0>，212122223,33km m x x x x k k--+==--， 因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 则()()22121210kx xkm x x m ++++=，即()22222321033m km kkm m k k --+⋅+⋅+=--， 整理可得22233m k =+，点O 到直线l 的距离22236121m d k k ====++ 当直线MN 的斜率不存在时，设直线为x m =，则1m >， 直线代入双曲线可得233y m =±-， 若OM ON ⊥，则233m m =-，解得6m =，则点O 到直线l 的距离为62综上，点O 到直线l 622．（1）22122x y -=；（2）是定值，定值2. 【解析】解：（1）设双曲线C 的半焦距为c ， 由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上，得2a =由221(2,0)(2,0)2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2，得2c =， 所以2222b a c =-=，所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=.（2）设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y x =± 当直线l 的斜率在存在时，直线l 为2,||x OD =2,||22MN ==1||||2OMNSMN OD =⋅=2 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，显然0k ≠，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以210k -≠，且0m ≠，于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩,得()22210m k =->，得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩，得11my k =-, 同理得21my k=+, 所以121||2OMNSOD y y =-221 2.2111m m m m k k k k =-==-+- 综上，OMN 的面积恒为定值2. 23．(1)证明见解析(2)40x -=【解析】（1）证明：因为A ，B 在椭圆上，所以2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减可得，()()()()12121212340x x x x y y y y -++-+=， 所以()()()1221211233234424x x y y x x y y m m+⨯--=-=-=-+-⨯， 因为M 为AB 的中点，故点M 在椭圆C 的内部，所以21143m +<， 又0m >，所以302m <<，故212112y y x x ->-； （2）解：①当l 的斜率为0时，l 被圆224x y +=截得的弦长为4，不符合题意； ②当l 的斜率不为0时，设直线:l x ty n =+，联立方程组223412x ty n x y =+⎧⎨+=⎩，可得()2223463120t y tny n +++-=， 则()2248340t n =-+>△，即2234t n >-，且122634-+=+tn y y t ，212231234-=+n y y t ，又()1,0F -，则MF x ⊥轴，因为MF 平分AFB ∠， 所以0AF BF k k +=，即1212011y yx x +=++， 可得()()()()()21221122122312611112103434n tn y x y x y ty n y ty n t n t t --⎛⎫+++=+++++=⋅++= ⎪++⎝⎭解得n =-4，所以直线l 的方程为4x ty =-，由l 被圆224x y +=截得的弦长为23则圆心O 到直线l 的距离222232121d t ⎛⎫=-= ⎪ ⎪+⎝⎭， 解得15t =2234t n >-， 所以直线l 的方程为1540x -=.。
江苏省苏州市高考数学真题分类汇编专题18：平面解析几何(综合题)
江苏省苏州市高考数学真题分类汇编专题 18：平面解析几何（综合题）姓名:________班级:________成绩:________一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)1. （10 分） (2019·天河模拟) 已知椭圆 C：为 A，上顶点为 B，离心率为，（1） 求椭圆 C 的标准方程；的面积为．（2） 过 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N，求的左右焦点分别为 ， ，左顶点 内切圆半径的最大值．2. （10 分） (2019·吕梁模拟) 已知抛物线 直线 被 截得的弦长为 16．（1） 求 的方程；的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的（2） 点 是 上一点，若以为直径的圆过点，求该圆的方程．3. （10 分） (2018 高二上·合肥期末) 已知动点 到点的距离比它到直线的距离小 ，记动点 的轨迹为 .若以为圆心， 为半径（ ）结并延长，分别交曲线 于两点.作圆，分别交 轴于两点，连（1） 求曲线 的方程；（2） 求证：直线的斜率为定值.4. （10 分） (2017·赣州模拟) 如图，椭圆B1、B2 ， 且．的离心率为，顶点为 A1、A2、第 1 页 共 16 页（1） 求椭圆 C 的方程； （2） P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2P 交 x 轴于点 Q，直线 A1B2 交 A2P 于点 E．设 A2P 的斜率为 k，EQ 的 斜率为 m，试问 2m﹣k 是否为定值？并说明理由．5. （10 分） (2017·西城模拟) 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的离心率是 ，且过点．直线 y= x+m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求△PAB 的面积的最大值；（Ⅲ）设直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N．判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．6. （10 分） (2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系中，过点且倾斜角为 的直线 与交于两点的参数方程为（1） 求 的取值范围（2） 求 中点 的轨迹的参数方程( 为参数)，7. （5 分） (2017 高二下·新疆开学考) 在平面直角坐标系 x0y 中，已知点 A（﹣ ，0），B（ ） ，E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为﹣ ．（Ⅰ）求动点 E 的轨迹 C 的方程；第 2 页 共 16 页（Ⅱ）设过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M，N．若点 P 在 y 轴上，且|PM|=|PN|，求点 P 的纵坐标的取值范围．8. （5 分） (2017 高二上·四川期中) 已知圆 ：任意一点，线段的垂直平分线和相交于点 ，的轨迹为曲线和点 ．， 是圆 上（1） 求曲线 的方程；（2） 点 是曲线 与 轴正半轴的交点，直线斜率分别是 ， ，若，求：① 的值；②交 于 、 两点，直线 ， 的 面积的最大值．9. （5 分） (2019 高二下·汕头月考) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆率为 ，直线 l：上的点和椭圆 O 上的点的距离的最小值为 1．的离心Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 已知椭圆 O 的上顶点为 A ， 点 B ， C 是 O 上的不同于 A 的两点，且点 B ， C 关于原点对称，直线 AB ， AC 分别交直线 l 于点 E ， 记直线 AC 与 AB 的斜率分别为 ， ．求证：为定值；求的面积的最小值．10. （5 分） (2017·新余模拟) 如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别是 A（﹣ ，0），B（ ，0），离心率为．设点 P（a，t）（t≠0），连接 PA 交椭圆于点 C，坐标原点是 O．（Ⅰ）证明：OP⊥BC；（Ⅱ）若三角形 ABC 的面积不大于四边形 OBPC 的面积，求|t|的最小值．第 3 页 共 16 页11. （15 分） (2019 高二上·德惠期中) 已知点 为圆圆的半径 上，且有点和 上的点 ，满足的圆心， 是圆上的动点，点 在 .(Ⅰ)当点 在圆上运动时，判断 点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为 的直线 与圆相切，与(Ⅰ)中所求点 的轨迹交于不同的两点（其中 是坐标原点）求 的取值范围.，且12. （5 分） (2020 高三上·泸县期末) 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，右顶点为 ，且 与圆 相切.过点，圆 是以线段为直径的圆，经过点 且倾斜角为 的直线（1） 求椭圆 及圆 的方程；（2） 是否存在直线 ，使得直线 与圆 相切，与椭圆 交于两点，且满足？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，请说明理由.13. （10 分） (2017 高二上·长春期中) 已知圆 C 的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1） 求 m 的取值范围；（2） 圆 C 与直线 x+2y﹣4=0 相交于 M，N 两点，且 OM⊥ON（O 为坐标原点），求 m 的值．第 4 页 共 16 页参考答案一、 平面解析几何 (共 13 题；共 110 分)1-1、1-2、第 5 页 共 16 页2-1、2-2、3-1、3-2、第 6 页 共 16 页4-1、4-2、第 7 页 共 16 页第 8 页 共 16 页6-1、 6-2、第 9 页 共 16 页7-1、第 10 页 共 16 页8-1、8-2、9-1、10-1、11-1、12-1、12-2、13-1、13-2、。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
2018年江苏省高三数学试题分类之解析几何
8 上，直线 AM 与椭圆相交于另一点
9
B ，且 AOB 的面积是 AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB 的方程 .
【答案】【解】（ 1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得， c a
2 ， 2a2 4 2 2c
解得 a 2 ， c 2 ，所以 b 2 .
所以椭圆的方程为 x2 4
y2 1.
2
（2）方法一：因为 S AOB 2 S AOM ，
3 【答案】 (1, )
2
5. （ 2018·常州期末· 9）
在平面直角坐标系
xOy 中，设直线 l : x
y
1
0 与双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b
0) 的两条渐
近线都相交且交点都在 y 轴左侧，则双曲线 C的离心率 e 的取值范围是
．
【答案】 (1, 2)
6. （ 2018·南京盐城期末· 6） .
8 得(
91
4k2 2k
2
)
2
( 1
2k 2k
2
)2
8， 9
化简得 28k 4 k2 2 0 ，
即 (7 k2 2)(4 k 2 1) 0 ，解得 k
1
，
2
所以，直线 AB 的方程为 y
1 ( x 2) 即 x 2 y 2 0 ， x 2 y 2 0 . 2
2. （ 2018·无锡期末· 18）
2
所以 AB 2AM ， 所以点 M 为 AB 的中点 .
因为椭圆的方程为 x2 4
y2 1，
2
所以 A( 2,0) .
设 M ( x0 , y0) ，则 B (2 x0 2, 2 y0 ) .
(参考答案)2023高考数学难点突破2(2)：解析几何
2023高考数学难点突破专题训练（2）解析几何★应知应会椭圆的基本量1. 如图(1)，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB＝________，称为通径．图(1)图(2)2. 如图(2)，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．3. 椭圆上的点到焦点距离的最大值为________，最小值为________．4. 设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，则直线P A与PB的斜率之积为定值________．1. 2b2a 2. b2·tanθ2 3. a＋c a－c 4. －b2a2直线与椭圆1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx ＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1) 若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：①Δ>0直线与圆锥曲线________；②Δ＝0直线与圆锥曲线________；③Δ<0直线与圆锥曲线________．2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝________．1. (1) ①相交②相切③相离2. 1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|双曲线的基本量运算1. 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．2. 如图，P 为双曲线上的点，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为________．3. 焦点到渐近线的距离为________．4. 设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，则直线P A 与PB 的斜率之积为________．1. 2b 2a2. b 2tan θ2 3. b 4. b 2a 2 抛物线设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1) x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (2) AF ＝p 1－cos α ，BF ＝p 1＋cos α ，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3) 1F A ＋1FB ＝2p； (4) 以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5) 以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6) 过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．直线与圆锥曲线1. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x 轴交于P ，Q 两点，O 为椭圆的中心，则OP ·OQ ＝a 2.2. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝－b 2a 2 . 3. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2. 4. 过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 过定点(2p ，0).。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。
江苏高考数学卷解析几何试题解析
３ ）求 椭 圆 斜 率 、 点 到 直线 的距 离
，
率、 点 到直线 距 离 、 参 数 等） ．
１ 求 方 程 问 题
■ ｒ＇，
例 ４ （ ２ ０ １ １年江 苏卷 ）如 图 ２ ， 在 平 面直角 坐 标 系 ： ｒ Ｏ ｙ中， Ｍ、 Ｎ 分 别 是 椭
圆Ｘ ２
一
例 １ （ ２ ０ ０ ８年江 苏卷 ）设平 面直 角坐 标 系 ： ｒ Ｏ ｙ 中， 设二 次 函 数 厂 （ ｚ ） 一 。 ＋２ Ｊ ｃ ＋ｂ（ ｚ∈Ｒ ） 的 图 象 与
Ｑ 解 析 本题主要考查的而是椭圆的 标准方程及其
几何 性 质 ， 直线方程、 直线 的垂 直关 系 ， 点 到 直线 的距离 等．
（ ２ ）设所 要求 的圆 的方 程 为 ｚ 。 ＋ ＋Ｄｘ ＋Ｅｙ ＋
Ｆ一 ０， 可 得 。 ＋Ｄｘ＋Ｆ一 ０， 从 而 Ｄ一 ２， Ｆ—ｂ ．
（ ２ ）直 线 Ｐ Ａ 的方 程 为 ． ｙ一２ ｘ， 将 它 代 人 椭 圆方
程 得 等 ＋ ４ ： ｒ ２ — １ ， 解 得 ｚ 一 ± 詈 ， 因 此 Ｐ ‘ ２ ， 号 ） ，
２
一
例 ２ （ ２ ０ ０ ９年 江苏 卷 ）如 图 １ ， 在平 面直 角坐 标
＾Ｉ ２
将 直线 、 圆、 圆锥 曲线 融 合在 一 道 题 中 ， 侧重 于考 查 学 生 的综 合能 力 的试题 多 ， 主 要包 括 求 方 程 问题 （ 直线、
圆、 椭 圆） 及根据直线 、 圆、 圆锥 曲线 求 值 （ 离心率 、 斜
ｏ ， 又离心率是 ， 则有 ±ｍ ＿
一５ 解 得 ｍ一 ２ ．
的能 力 ．
‘
2024年高考数学试题分类汇编07：解析几何
解析几何一、单选题1．（2024·全国）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）2．（2024·全国）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 23．（2024·全国）已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．254．（2024·北京）求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离（）A ．23B ．2C ．32D 65．（2024·天津）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=二、多选题6．（2024·全国）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+7．（2024·全国）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．（2024·全国）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．（2024·北京）已知双曲线2214x y -=，则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．10．（2024·北京）已知抛物线216y x =，则焦点坐标为．11．（2024·天津）22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．12．（2024·上海）已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．四、解答题13．（2024·全国）已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．14．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.15．（2024·全国）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．16．（2024·北京）已知椭圆方程C ：()222210x y a b a b+=>>，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过()0,t (t >的直线l 与椭圆交于A ，B ，()0,1C ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．17．（2024·天津）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△．(1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．18．（2024·上海）已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b-=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2,3b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．参考答案：1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【解析】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 2．C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【解析】由题意，()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.3．C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C 4．C【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【解析】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=221323211++=+，故选：C.5．C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【解析】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得22m =则211222PF PF F F c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ==所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 6．ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【解析】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a ⨯-=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.7．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【解析】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD8．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【解析】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x y a b -=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：329．12±【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【解析】联立3x =与2214x y -=，解得52y =，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点()3,0且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-，联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=，由题意得2140k -=或()()()2222Δ244364140k k k =++-=，解得12k =±或无解，即12k =±，经检验，符合题意.故答案为：12±.10．()4,0【分析】形如()22,0y px p =≠的抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此即可得解.【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =，所以其焦点坐标为()4,0.故答案为：()4,0.11．45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），。
江苏省2019届高考数学专题三解析几何3.1小题考法—解析几何中的基本问题讲义
专题三 解析几何[江苏卷5年考情分析]第一讲 小题考法——解析几何中的基本问题[题组练透]1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________． 解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝02．(2018·南通一模)已知圆C 过点(2，3)，且与直线x －3y ＋3＝0相切于点(0，3)，则圆C 的方程为____________．解析：设圆心为(a ，b )， 则⎩⎨⎧b －3a·33＝－1，a －2＋()b －32＝a 2＋b －32，解得a ＝1，b ＝0，r ＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝43．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 上的点都在不等式组⎩⎨⎧x ≤3，x －3y ＋3≥0x ＋3y ＋3≥0，表示的平面区域内，则面积最大的圆C 的标准方程为____________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，面积最大的圆C 即为可行域三角形的内切圆．由对称性可知，圆C 的圆心在x 轴上，设半径为r ，则圆心C (3－r,0)，且它与直线x －3y ＋3＝0相切，所以|3－r ＋3|1＋3＝r ，解得r ＝2，所以面积最大的圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.答案：(x －1)2＋y 2＝4[方法技巧]1．求直线方程的两种方法[典例感悟][典例] (1)(2018·无锡期末)过圆x 2＋y 2＝16内一点P (－2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19.(2)法一：(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y ＝4，将P (a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋a ＋y 1＝4，ax 2＋a ＋y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x＋y )＝4－4y ，所以直线CD 过定点N (－1,1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)．又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. 法二：(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4yx ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x ，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. [答案] (1)19 (2)3 2[方法技巧]解决关于直线与圆、圆与圆相关问题的策略(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)解决直线与圆相关的最值问题：一是利用几何性质，如两边之和大于第三边、斜边大于直角边等来处理最值；二是建立函数或利用基本不等式求解．(3)对于直线与圆中的存在性问题，可以利用所给几何条件和等式，得出动点轨迹，转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．[演练冲关]1．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围是________．解析：由题意知，直线l 与圆M 相离，所以点A 在圆M 外．设AP ，AQ 分别与圆M 相切于点P ，Q ，则∠PAQ ≥∠BAC ＝60°，从而∠MAQ ≥30°.因为MQ ＝2，所以MA ≤4.设A (x 0,6－x 0)，则MA 2＝(x 0－1)2＋(6－x 0－1)2≤16，解得1≤x 0≤5.答案：[1,5]2．(2018·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1上，则r 的取值范围是________．解析：设圆C 1上存在点P (x 0，y 0)满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q (y 0，x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 0－2＝r 2，y 0－2＋x 0－2＝1，故只需圆x 2＋(y －1)2＝r 2与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1有交点即可，所以|r －1|≤－2＋－2≤r ＋1，解得2－1≤r ≤2＋1.答案：[2－1，2＋1]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________.解析：圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －2)2＝32，圆心为C (m,2)，半径为42，当△ABC 的面积的最大值为16时，∠ACB ＝90°，此时C 到AB 的距离为4，所以4≤CP ＜42，即16≤(m －3)2＋(0－2)2＜32，解得23≤|m －3|＜27，即m ∈(3－27，3－23]∪[3＋23，3＋27)．答案：(3－27，3－2 3 ]∪[3＋23，3＋27)4．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211.若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，则实数a 的值为________．解析：法一：设AB 的中点为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，则由AB ＝211，得CM ＝16－11＝5，即点M 的轨迹为(x 0＋4)2＋(y 0－a )2＝5.又因为PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，所以PM ―→＝12OC ―→，即(x 0－x ，y 0－y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，a 2，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －2，y 0＝y ＋a 2，则动点P 的轨迹方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a 22＝5，又因为直线l 上存在唯一的一个点P ，所以直线l 和动点P 的轨迹(圆)相切，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4－a 222＋－2＝5，解得a ＝2或a ＝－18.法二：由题意，圆心C 到直线AB 的距离d ＝16－11＝5，则AB 中点M 的轨迹方程为(x ＋4)2＋(y －a )2＝5.由PA ―→＋PB ―→＝OC ―→，得2PM ―→＝OC ―→，所以PM ―→∥OC ―→.如图，连结CM 并延长交l 于点N ，则CN ＝2CM ＝2 5.故问题转化为直线l 上存在唯一的一个点N ，使得CN＝25，所以点C 到直线l 的距离为－－a |22＋－2＝25，解得a ＝2或a ＝－18. 答案：2或－18[题组练透]1．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点F (2,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，不妨取y ＝34x ，即3x－4y ＝0，所以焦点F 到渐近线的距离为|6|32＋－2＝65. 答案：652．(2018·苏北四市期中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．解析：由题意得，A (a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )，F (c,0)，所以B 2F ―→＝(c ，－b )，AB 1―→＝(－a ，－b )，因为B 2F ⊥AB 1，所以B 2F ―→·AB 1―→＝0，即b 2＝ac ，所以c 2＋ac －a 2＝0，e 2＋e －1＝0，又椭圆的离心率e ∈(0,1)，所以e ＝5－12. 答案：5－123．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32.不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2， 则F 1(－2,0)，F 2(2,0)， 故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. 答案：2 34．(2018·常州期末)在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：x ＋y ＋1＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．解析：双曲线的渐近线分别为y ＝b a x ，y ＝－b a x ，依题意有－b a >－1，即b <a ，e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2< 2.又因为e >1，所以e 的取值范围是(1，2)． 答案：(1，2)[方法技巧]应用圆锥曲线的性质的两个注意点(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．直线与圆相交 (1)几何法由弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法设直线y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0相交于点M ，N ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线方程代入圆方程中，消去y 得关于x 的一元二次方程，求出x 1＋x 2和x 1·x 2，则|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1·x 2.3．判断两圆位置关系时常用几何法即通过判断两圆心距离O 1O 2与两圆半径R ，r (R >r )的关系来判断两圆位置关系．(1)外离：O 1O 2>R ＋r ； (2)外切：O 1O 2＝R ＋r ； (3)相交：R －r <O 1O 2<R ＋r ； (4)内切：O 1O 2＝R －r ； (5)内含：0≤O 1O 2<R －r .4．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(二) 二级结论要用好1．过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.2.过圆C 外一点P 做圆C 的切线，切点分别为A ，B (求切线时要注意斜率不存在的情况)如图所示，则(1)P ，B ，C ，A 四点共圆，且该圆的直径为PC ； (2)该四边形是有两个全等的直角三角形组成； (3)cos ∠BCA 2＝sin ∠BPA 2＝rPC；(4)直线AB 的方程可以转化为圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦，且P (x 0，y 0)时，直线AB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.3．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是PF 1＝a ＋ex 0，PF 2＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .4．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，PF 1＝ex 0＋a ，PF 2＝ex 0－a ；若P 在左支上，PF 1＝－ex 0－a ，PF 2＝－ex 0＋a .5．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的3个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)AB ＝x A ＋x B ＋p . [课时达标训练]A 组——抓牢中档小题1．若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝93．(2018·镇江期末)已知双曲线x 2a2－y 2＝1的左焦点与抛物线y 2＝－12x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点为(－3,0)，即为双曲线的左焦点，所以a 2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x ＝83.答案：x ＝834．已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．解析：当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S △ABC ＝12CA ·CB ·sin∠ACB ＝1，所以12×2×2×sin∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.答案：3x －4y ＋5＝0或x ＝15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为4 3，则C 的方程为__________．解析：因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝ 3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案：x 23＋y 22＝16．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．解析：圆(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意得，圆心(2，－2)到直线kx ＋y ＋3＝0的距离d ＝|2k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－43≤k ≤0，所以实数k 的最小值为－43.答案：－437．已知以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M ，N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e ＝________.解析：因为圆的半径r ＝c ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝c ，|F 1M |＝3c ，所以2a ＝|F 1M |＋|F 2M |＝(3＋1)c ，离心率e ＝2c 2a ＝2c3c ＋c＝3－1.答案：3－18．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，且AC ＝BC ＝4，AB ＝42，∴圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝42－22＝22，∴|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－19．(2018·扬州期末)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0，得圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝4，所以圆心C (0,3)，半径r ＝2.因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线bx ±ay ＝0与该圆没有公共点，则圆心到直线的距离应大于半径，即|b ×0±a ×3|b 2＋a2>2，即3a >2c ，即e ＝c a <32，又e >1，故双曲线离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．解析：设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ.又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cosθ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 11．(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：x 2＋y 2＝2的四个交点依次为A ，B ，C ，D .若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为________．解析：由题意知，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±bx ，如图所示，两条渐近线与圆O 的四个交点为A ，B ，C ，D.不妨设点B 的坐标为(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝bm ，m 2＋n 2＝2，解得m 2＝2b 2＋1，而矩形ABCD 的面积为2m ×2n ＝4mn ＝4bm 2＝4b ×2b 2＋1＝b ，解得b ＝7.答案：712．(2018·苏锡常镇调研)已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．解析：法一：由AB ⊥BP ，得点B 在以AP 为直径的圆D 上，所以圆D 与圆C 相切． 由题意得A (－2,0)，C (2,0)．若圆D 与圆C 外切，则DC －DA ＝2；若圆D 与圆C 内切，则DA －DC ＝ 2.所以圆心D 在以A ，C 为焦点的双曲线x 212－y 272＝1上，即14x 2－2y 2＝7.又点D在直线l 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，14x 2－2y 2＝7，得12x 2－8x －15＝0，解得x D ＝32或x D ＝－56.所以x P ＝2x D－x A ＝2x D ＋2＝5或x P ＝13.法二：由题意可得A (－2,0)，设P (a ，a ＋2)，则AP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22，AP ＝a ＋2，故以AP 为直径的圆M 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －a －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －a ＋222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋2|22.由题意得圆C 与圆M 相切(内切和外切)，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋222＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2±|a ＋2|2，解得a ＝13或a ＝5.故点P 的横坐标的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，513．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A ，B 两点．若△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为ab ，则椭圆的离心率为________．解析：设直线x ＝m 与x 轴交于点H ，椭圆的右焦点为F 1，由椭圆的对称性可知△FAB 的周长为2(FA ＋AH )＝2(2a －F 1A ＋AH )，因为F 1A ≥AH ，故当F 1A ＝AH 时，△FAB 的周长最大，此时直线AB 经过右焦点，从而点A ，B 坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以△FAB 的面积为12·2c ·2b 2a ，由条件得12·2c ·2b 2a ＝ab ，即b 2＋c 2＝2bc ，b ＝c ，从而椭圆的离心率为e ＝22. 答案：2214．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围是[7,13]．答案：[7,13]B 组——力争难度小题1．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235∈(4,5)，故满足题意的点P 有2个．答案：22．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. 答案：2333．(2018·南京、盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝k (x －33)上存在一点P ，圆x 2＋(y －1)2＝1上存在一点Q ，满足OP ―→＝3OQ ―→，则实数k 的最小值为________．解析：设点P (x ，y )，由OP ―→＝3OQ ―→，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y 3.又点Q 在圆x 2＋(y －1)2＝1上，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y3－12＝1，即x 2＋(y －3)2＝9，所以点P 既在圆x 2＋(y －3)2＝9上，又在直线y ＝k (x －33)上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d ＝||－3－33k 1＋k2≤3，解得－3≤k ≤0.答案：－ 34．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值是________.解析：由已知得1a 2＋4b 2＝1，因为准线方程为x ＝a 2c，所以椭圆的中心到准线的距离为d＝a 2c ，即d 2＝a 4c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4a 2－4a 2a 2－1＝a 4－a 2a 2－5＝a 2－2＋a 2－＋20a 2－5＝a 2－5＋20a 2－5＋9≥220＋9＝45＋9＝(5＋2)2，当且仅当a 2＝5＋25时取等号．所以d ≥5＋2，即d min ＝5＋2.答案：5＋26．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：过点C 作CH ⊥l 于H ，因为C 到l 的距离CH ＝32＝322>2＝r ，所以直线l 与圆C 相离，故点P 在圆C 外．因为PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos ∠APB ≤0，所以cos ∠APB ≤0，所以π2≤∠APB <π，圆C 上存在两点A ，B 使得∠APB ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π，由于点P 在圆C 外，故当PA ，PB 都与圆C 相切时，∠APB 最大，此时若∠APB ＝π2，则PC ＝2r ＝22，所以PH ＝PC 2－CH 2＝22－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝142，由对称性可得EF max ＝2PH ＝14.答案：14。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.如图，四边形ABCD内接于⊙，是⊙的直径，于点，平分.（Ⅰ）证明：是⊙的切线（Ⅱ）如果，求.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连结，证得∥，即可证得.（Ⅱ）证得∽根据相似比可求得.因为是⊙的直径，所以，从而可求得，根据切割线定理得，从而可得.试题解析：解：（Ⅰ）连结，则，所以，又，所以，所以∥．因为，所以．所以是⊙的切线．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得∽，所以，即，则，所以，从而，所以．由切割线定理，得，所以，所以．【考点】1圆的切线; 2切割线定理.2.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于，垂直于，垂直于，垂直于，连接，.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）均见解析.【解析】（Ⅰ）由同弧上的圆周角等于弦切角可得，在直角三角形可证，从而可证结论成立.（Ⅱ）先证Rt△BCE≌Rt△BFE，得BC＝BF.，再证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.由射影定理得EF2＝AF·BF，可证结论成立.试题解析：（Ⅰ）由直线与⊙相切，得.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.（Ⅱ）由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.【考点】1.圆的相关知识；2.三角形全等的判定与性质.3.已知是双曲线的左右焦点，若双曲线右支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】由题意过且垂直于的直线方程为，它与的交点坐标为，所以点的坐标为，因为点在双曲线上，，可得，所以选A．【考点】双曲线的性质的应用．4.（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用公式可化圆的极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线参数方程化为普通方程，代入圆的方程可求出两点坐标，然后求得，这种方法计算量较大，也可利用参数方程中参数的几何意义，由于点就在直线上，可把直线化为以点为基点的标准参数方程，这样直线上点的参数的几何意义为．把此参数方程代入圆方程得，，于是有，易得．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为．（2）直线的普通方程为，点在直线上．的标准参数方程为代入圆方程得：设、对应的参数分别为、，则，于是=．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．5.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值．【答案】（1）曲线的普通方程为：，曲线的直角坐标方程为:；（2）．【解析】（1）利用，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数即可将曲线的的参数方程化为普通方程；（2）设点P的坐标为，然后由点到直线的距离公式得到，最后运用三角函数求最值即可．试题解析：（1）由曲线：得即：曲线的普通方程为：由曲线：得：即：曲线的直角坐标方程为:（2）由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为所以当时，的最小值为．【考点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离．6.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】点关于轴的对称点为，则设反射光线所在直线的方程为，因为反射光线与圆相切，∴圆心到直线的距离，解得或，故选D．【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离；3、直线的方程．7.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点B是圆上的点，点M为AB中点，若直线上存在点P，使得，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】因为点M为AB中点，所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM为单位圆切线时，取最大值，即，从而，因此原点到直线距离不大于2，即【考点】直线与圆位置关系【名师】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．8.设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是．【答案】2【解析】圆心到直线的距离，所以．【考点】1、圆的标准方程；2、点到直线的距离．9.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得，，再根据直线与圆相切可得的一个关系式，解方程组可得的值．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设，根据可得间的关系式．可解得．将其代入椭圆方程可得的关系式，根据的范围可得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由，当，直线为轴，点在椭圆上适合题意；当，得∴将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以，综上可得．【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．10.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点，其中，则线段长度的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】显然点是直线上的点，圆心，半径为，圆心到直线的距离为，所以长度的最小值为．故选A．【考点】点到直线的距离．【名师】本题表面上考查两点间距离，实质上由圆的几何性质知，与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来，直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，圆半径为，则圆上的点到直线的距离的最大值为，最小值为．另外动点问题，要注意的是动点必在某条曲线上，找到这条曲线后可借助曲线的性质分析、解决问题．11.（2015秋•上海月考）若直线l1的一个法向量=（1，1），若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ=．（用反三角函数表示）【答案】arccos【解析】利用向量的夹角公式，即可得出结论．解：由题意，cosθ=||=，∴θ=arccos．故答案为：arccos．【考点】两直线的夹角与到角问题；反三角函数的运用．12.（2015•宜昌校级一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点为P（0，﹣1），P到焦点的距离为．（Ⅰ）设Q是椭圆上的动点，求|PQ|的最大值；（Ⅱ）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）≤S△AOB≤．．【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点为P（0，﹣1），P到焦点的距离为∴b=1，a=2，∴椭圆的方程为设Q（x，y），|PQ|===（﹣1≤y≤1）．∴当y=1时，|PQ|的最大值为2．（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线l即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴有：=1得n2=m2+1．又∵A（x1，y1），B（x2，y2），满足：消去整理得（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=．其判别式△=8（m2﹣n2+2）=8，∵λ=•=x1x2+y1y2=（1+m2）y1y2+mn（y1+y2）+n2=．∴S△AOB=||||sin∠AOB=|x1y2﹣x2y1|=|n（y2﹣y1）|==•=•，∵≤λ≤，∴≤S△AOB≤．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．13.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（）A．B．C．D．0【答案】B【解析】圆的圆心为，半径为，从外一点向这个圆作两条切线，则点到圆心的距离等于，每条切线与的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，故选B．【考点】直线与圆的位置关系14.在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上，求实数的值.【答案】【解析】利用加减消元得直线普通方程：，利用平方关系消参数得椭圆普通方程，得准线：，因此，即试题解析：解：直线：，椭圆：，准线：由得，【考点】参数方程化普通方程15.（选修4—1：几何证明选讲）如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接．若，，求的长．【答案】【解析】由弦切角定理得，从而可得，即，因此可得，即，，再由三角形相似得，解出试题解析：因为与相切于，所以，又因为为的直径，所以．又，所以，所以，所以又，，所以．所以，所以，又，所以．【考点】三角形相似16.已知圆与抛物线的准线相切，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为．【考点】1．圆的方程；2．抛物线的方程．17.已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足．（Ⅰ）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为的直线与曲线交于，两点，若以直径的圆恰过原点，求出直线方程；（Ⅲ）直线与曲线交于、两点，，试问：当变化时，是否存在一直线，使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由见解析．【解析】（Ⅰ）由向量的坐标去算及可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）由题意知，直线斜率必存在，设直线为，联立椭圆方程，结合为直径求出的值，从而求得直线方程；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，以及三角形的面积公式得到，从而结合条件求出的值，进而作出判断．试题解析：（Ⅰ）因为，即所以，所以又因为，所以，即，即所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）直线斜率必存在，且纵截距为，设直线为联立直线和椭圆方程，得:由，得设，则（1）以直径的圆恰过原点，所以，，即，也即，即将（1）式代入，得，即解得，满足（*）式，所以所以直线的方程为（Ⅲ）由方程组，得设，则所以因为直线过点，所以的面积，则不成立不存在直线满足题意【考点】1、平面向量的坐标运算；2、直线与椭圆的位置关系；3、轨迹方程；4、直线方程．【方法点睛】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法．要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌．18.选修4-1：几何证明选讲如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1）欲证，连接，因为为的中点及为的中点，可得，因为为圆的直径，所以，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（2）欲证，转化为，再转化成比例式．最后只须证明即可．试题解析：证明：（1）连接，因为为的中点，所以．因为为的中点，所以．因为为圆的直径，所以，所以．（2）因为为的中点，所以，又，则．又因为，所以．所以，因此．【考点】与圆有关的比例线段．19.（2015秋•陕西校级期末）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A，B两点，且AC⊥BC，求实数a的值．【答案】a=0或a=6．【解析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6．【考点】直线与圆的位置关系．20.（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【答案】（1）2a+b﹣3=0．（2）．（3）+=．【解析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得 2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．21.已知双曲线的一条渐近线过点,则，其离心率为．【答案】【解析】由题知：双曲线的渐近线为因为过点，所以所以【考点】双曲线22.选修4—1：几何证明选讲在中，,以为直径作圆交于点．（1）求线段的长度；（2）点为线段上一点,当点在什么位置时,直线ED与圆相切,并说明理由．【答案】（1）；（2）是的中点，理由见解析．【解析】（1）由勾股定理易求得的长，可连结，由圆周角定理知，易知相似，可得的比例关系，即可求出的长；（2）当与相切时，由切线长定理知，则，那么和就是等角的余角，由此可证得，即是的中点，在证明时，可连结，证即可．试题解析：（1）解:连结,在直角三角形中,易知,所以,又因为,所以相似,所以, ．（2）当点是的中点时, 直线与圆相切．证明如下：连接,因为是直角三角形斜边的中线,所以,所以,因为,所以,所以,所以直线与圆相切．【考点】相似三角形的判定；圆的切线定理的应用．23.已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于，两点，连接，分别交直线于，两点，若直线、的斜率分别为、，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1) ;(2)为定值.【解析】(1)由离心率、直线与圆相切列出关于的等量关系即可求出的值，即得到椭圆的标准方程；(2)设出直线的方程为，以及，，由直线方程与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，又，，三点共线可知，，由此求出；，用点的坐标表示，并用韦达定理代入，即可求出.试题解析： （1）由题意得，解得，故椭圆的方程为． （2）设，，直线的方程为，由，得．所以，，由，，三点共线可知，，所以；同理可得．所以．因为，所以．【考点】1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；圆锥曲线中的定点问题或定值问题通常用的解法有：1.引进参数法：即引进动点的坐标或动直线中的系数表示变化量，再研究变化量何时与参数没有关系，找到定点或定值；2.特殊到一般：即根据动点或动直线的特殊情况探索出定点或定值，再证明该定点或定值与变量无关.24. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ．3 C ．D ．2【答案】D【解析】求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率． 解：由题意，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），一条渐近线方程为，则F 2到渐近线的距离为=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选D．【考点】双曲线的简单性质．25.已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过A点作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1（1）证明：AC平分∠BAD；（2）求BC的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）推导出∠OAC=∠OCA，OC⊥CD，从而AD∥OC，由此能证明AC平分∠BAD．（2）由已知推导出BC=CE，连结CE，推导出△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC，由此能求出BC的长．证明：（1）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵CD是圆的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA故∠DAC=∠OAC，即AC平分∠BAD．解：（2）由（1）得：，∴BC=CE，连结CE，则∠DCE=∠DAC=∠OAC，∴△CDE∽△ACD，△ACD∽△ABC∴，故．【考点】相似三角形的性质．26.如图，椭圆左、右焦点分别为，上顶点轴负半轴上有点，满足，且，若过三点的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若为椭圆上的点，且直线垂直于轴，直线与轴交于点，直线与交于点，求的面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】（Ⅰ）由题得，即的外接圆圆心为，半径，则由过三点的圆与直线相切可求得，进而得到，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）首先证明点恒在椭圆上通过设、直线，利用三角形面积公式化简可知，通过联立直线与椭圆方程后由韦达定理、换元化简可知，，令求出的最大值进而即得结论．试题解析：(Ⅰ)由题得，即，的外接圆圆心为，半径，∵过三点的圆与直线相切，∴，解得：，∴所求椭圆方程为：.(Ⅱ)设，则，∴，与的方程分别为：.则，∵，∴点恒在椭圆上.设直线，则，记，，，令,则，∵函数在为增函数，∴当即时，函数有最小值4，即时，，又∵.故【考点】【名师】本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，属中档题.解题时注意设而不求思想的应用．以及基本不等式的综合应用，难点在于证明点恒在椭圆上27.抛物线y2=4x上任一点到定直线l:x=-1的距离与它到定点F的距离相等，则该定点F的坐标为．【答案】（1,0）【解析】因为，所以，可得，故焦点坐标为，即定点的坐标为（1,0）.【考点】抛物线的的定义与运算.28.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到准线的距离与到原点的距离相等，抛物线的焦点为.（1）求抛物线的方程；（2）若为抛物线上一点（异于原点），点处的切线交轴于点，过作准线的垂线，垂足为点.试判断四边形的形状，并证明你的结论.【答案】（1）（2）菱形.【解析】（1）利用抛物线定义化简条件“点到准线的距离为”得，即（2）先确定点处切线的斜率为，写出切线方程，求出点坐标，又，所以，再由抛物线的定义，得，所以四边形为菱形.试题解析：解：（1）由题意点到准线的距离为由抛物线的定义，点到准线的距离为所以，即点在线段的中垂线上，所以，所以抛物线的方程为由抛物线的对称性，设点在轴的上方，所以点处切线的斜率为所以点处切线的方程为令上式中，得所以点的坐标为，又，所以，所以，所以，又故四边形为平行四边形再由抛物线的定义，得，所以四边形为菱形.【考点】抛物线定义，直线与抛物线位置关系29.【选修4-1：几何证明选讲】如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点，过作的延长线的垂线，垂足为，求证：.【答案】详见解析【解析】涉及线段乘积，一般利用三角形相似寻找条件：由△∽△，得，又四点共圆，由相交弦定理得．两式相减得结论试题解析：解：连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以．又△∽△，所以，即，所以．【考点】三角形相似，四点共圆，相交弦定理30.已知双曲线（，）与直线有交点，则双曲线的离心率的范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，双曲线的渐近线方程为，若双曲线（，）与直线有交点，应有，所以解得故选C.【考点】双曲线的简单几何性质.31.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，如果直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点，则椭圆的离心率等于 .【答案】【解析】设椭圆标准方程为，半焦距为，直线与椭圆在第一象限的交点的横坐标为，把代入椭圆标准方程解得，即交点坐标，∵交点在直线上，∴，即，解得.【考点】椭圆的标准方程及有关概念．【方法点晴】解答本题的关键是探求和构建椭圆中关于基本量的等量关系,即建构含的方程,然后通过解方程求出椭圆的离心率,从而使问题巧妙获解.解答本题的难点是如何理解交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点,这是解答本题的重要突破口,也就是怎样确定出交点的坐标,其实本题中的这句话就是说交点的横坐标为,再将其代入直线求出其纵坐标,借助交点在椭圆上建立了方程,通过解方程从而使本题获解.32.【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.【答案】（1）；；（2）3.【解析】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用，，转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之积得到结论.试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，，曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，，.【考点】本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系.33.如图“月亮图”是由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点，为焦点的抛物线的一部分，是两条曲线的一个交点．（Ⅰ）求曲线和的方程；（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线，依次交于B,C,D,E四点，若G为CD 的中点、H为BE的中点，问：是否为定值？若是求出该定值；若不是说明理由．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）是，.【解析】（Ⅰ）设曲线所在抛物线的方程为，将代入可得的值，利用椭圆的定义，可得曲线所在的椭圆方程；（Ⅱ）先设出四点坐标，过作的与轴不垂直的直线方程，在分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求的值，看结果是否为定值.试题解析：（Ⅰ）由题意得抛物线，设椭圆方程为，则，得，故椭圆方程为（Ⅱ）设，，，，把直线代入得，则，．同理将代入得：，，；为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程.34.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中, 圆,曲线的参数方程为为参数）, 在以原点, 为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中, 直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程及曲线的普通方程；（2）设与圆相切于点,且在第三象限内交于点,求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）运用极坐标、参数方程与直角坐标的互化求解；（2）借助题设条件建立方程求三角形的底边和高，再用面积公式求解.试题解析:（1）把,代入,得,所以圆的极坐标方程为,由曲线的参数方程为为参数）,消去,得曲线的普通方程为.（2）联立,得点的极坐标为,曲线的极坐标方程为,联立,可得,可得,点的极坐标为,所以,而点到直线的距离为的面积为.【考点】极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化及有关知识的综合运用．35.已知为正实数，直线与圆相切，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】，∴当且仅当时取等号，选B．【考点】直线与圆相切，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.36.已知椭圆上的左、右顶点分别为，为左焦点，且，又椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线的斜率分别为，若，证明：三点共线.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）,由椭圆过点可得，由椭圆中关系求出的值即可；（2）由（1）知，，设，由此可得，又因为，，由此可得，同理可得，所以，即可证三点共线.试题解析：（1）由已知可得，又，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，。
江苏省2022届新高考高三考试数学试卷分类汇编：解析几何(解析版)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量关系得 ，过点M作 ，则由点到渐近线距离得 ，求出 表达式，从而构造 关系，即可求得离心率．
【详解】如图，由已知 ，得 ．由圆 ，
得 为双曲线C 右顶点．过点M作 ，垂足为N，
【答案】ABD
【考点】抛物线与直线的位置关系综合应用
5．(2022·江苏南京市中华中学高三10月月考)
已知双曲线C： )的右焦点为F，过点F的直线l：2kx－2y－3ka＝0与双曲线C交于A，B两点．若 ，则实数k＝．
【答案】±
【考点】双曲线与直线的位置关系应用
6．(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)
3．(2022·江苏省第一次大联考)
直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝．
【答案】8
【考点】直线与抛物线的位置关系：求焦点弦长
【解析】由题意可知，焦点F为(1，0)，即 ＝1，解得p＝2，则抛物线C：y2＝4x，与直线y＝x－1联立可得，x2－6x＋1＝0，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
【分析】利用斜率公式结合已知条件化简得出点 的轨迹方程为 ，可得出 、 为椭圆 的两个焦点，利用正弦定理边角互化以及椭圆的定义可求得结果.
【详解】由题意 ，化简可得 ，在椭圆 中， ， ， ，所以， 、 为椭圆 的两个焦点，因此， .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
2021年江苏省高三数学试题分类之解析几何
2021年江苏省高三数学试题分类之解析几何十三、直线与圆的方程（一）试题清单地区+题号2021南通泰州期末132021无锡期末102021镇江期末112021南京盐城期末122021苏州期末112021苏北四市期末12类型填空填空填空填空填空填空考点直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系圆的标准方程直线与圆的位置关系圆的标准方程圆的标准方程、对称性思想方法数形结合（二）试题分析1.（2021南通泰州期末13）在平面直角坐标系xoy中，点a（？4,0）和B（0,4）从直线AB上的点P到圆是已知的x2?y2?4引两条切线pc，pd，切点分别为c，d.设线段cd的中点为m，则线段AM长度的最大值为【答案】322.（2022无锡第10学期结束）过圆x2?y2?16内一点p(?2,3)作两条相互垂直的弦ab和cd，且ab?cd，则四边形acbd的面积为．[答：]193.（2021镇江期末11）已知圆C和圆x？Y10倍？10岁？0与原点相切，经过点a（0，±6），然后是圆C的标准方程式2二为22【答案】(x+3)?(y+3)4.（2022南京盐城第12学期结束）在平面直角坐标系xoy中，若直线y?k(x?33)上存在一点p，圆x2?(y?1)2?1上存在某个点Q，遇到OP？3oq，则实数k的最小值为【答案】?37.（2021苏州期末11）在平面直角坐标系xoy中，圆C和通过点a（2，？1）的直线x已知？Y1相切，圆心在直线y？？2X，那么圆C的标准方程是。
[答]（x？1）2？（y？2）2？28.（2022年苏北四城终结12）x2?(y?1)2?r2(r?0)上存在点p，且点p关于直线在平面直角坐标系xoy中，若圆c1：十、Y0的对称点Q在圆C2:（x？2）2中？（y？1）2？1，那么R的取值范围是【答案】[2?1,2?1]1四、圆锥曲线（一）试题细目表区域+问题2022南通泰州期末12022无锡期末12022镇江学期期末12022扬州学期12022常州学期期末12022南京南京学期结束12022苏州学期22022 22022北江苏四城市学期期末1型填空空白填写空白填补空白填写空白操作集的操作集操作集的操作集的操作集的操作集的操作集的操作集的操作集的操作集的操作集的测试点（2）试题分析1.（2021南通泰州期末7）在平面直角坐标系xoy中，已知点F是抛物线Y2？8倍聚焦，然后将F指向双曲线x2y2??1的渐近线的距离为.1696[答]52.（2021无锡期末11）已知双曲线C:2？2.1（a？0，B？0）和椭圆？？1的焦点重合，偏心度是相互对应的，ab1612pf12设f1,f2分别为双曲线c的左，右焦点，p为右支上任意一点，则的最小值为．PF2[答]83.（2021镇江期末5）X22已知双曲线2？Y1左焦点和抛物线Y2？？如果12x的焦点重合，则双曲线的右引导线a程为【答案】x?834.（2021扬州期末10）平面直角坐标系xoy中的X2y2，如果双曲线2-2=1（a>0，b>0）的渐近线和圆x2+y2-6y+5=0ab没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________.[答]（1，）325.（2021常州期末9）X2y2在平面直角坐标系xoy中，设置直线L:x？Y1.0和双曲线C:2？2.两个1的梯度（a？0，B？0）ab近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线c的离心率e的取值范围是．【答案】(1,2)6（2022年底在南京盐城）x2y2若抛物线y?2px的焦点与双曲线??1的右焦点重合，则实数p的值为．452[答]67.（2021苏州期末3）在平面直角坐标系xoy中，抛物线Y2？？8x的焦坐标为。
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月月考试卷分类汇编：解析几何小题(解析版)
江苏省2023届新高考数学高三上学期10月期初考试试卷分类汇编：解析几何小题部分【类型一：直线方程】1．(2023·江苏泰州中学10月)过点(1，2)作直线3x ＋4y －25＝0的垂线，则垂线方程为 ． 【答案】4x －3y ＋2＝0【解析】直线34250x y +-=的斜率为34-，所以垂线的斜率为43，又垂线过点(1,2)， 所以垂线的方程为42(1)3y x -=-，即4320x y -+=． 【类型二：直线与圆】1．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)同时将圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－2x －4y ＝0的面积平分的直线的截距式方程为____________． 【答案】y ＝2x【解析】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心，所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 2．(2023·江苏南通如皋10月)在平面直角坐标系xOy 中，点(3,3)A -，(1,1)B -，若直线0x y m --=上存在点P 使得PA =，则实数m 的取值范围是__________.【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由PA =，则223PA PB =，所以2222(3)(3)3(1)3(1)x y x y ++-=++-，整理得226x y +=，又点P 在直线0x y m --=，即直线0x y m --=与圆226x y +=有公共点， 所以圆心(0,0)O 到直线0x y m --=的距离6d，6,||23,232 3.2m m ∴-故答案为[23,23].-3．(2023·江苏南通如皋10月)(多选题)已知0a >，圆22:()(ln )1C x a y a -+-=，则( ) A. 存在3个不同的a ，使得圆C 与x 轴或y 轴相切B. 存在2个不同的a ，使得圆C 在x 轴和y 轴上截得的线段相等C. 存在2个不同的a ，使得圆C 过坐标原点D. 存在唯一的a ，使得圆C 的面积被直线xy e=平分 【答案】ACD【解析】由条件可知，圆C 的半径为1，圆心坐标为(,ln )a a ，即圆心在曲线ln y x =上运动，对于A ，当1a =时，圆C 与y 轴相切， 当ln 1a =±，即a e =或1c时，圆C 与x 轴相切，所以满足要求的a 有3个，A 正确； 对于B ，若圆C 在x 轴和y 轴上截得的线段相等，则圆心到x 轴和y 轴的距离相等， 故圆心在y x =±上，又圆心在ln y x =上，作图可知曲线ln y x =与y x =没有公共点，与y x =-有一个交点， 所以满足要求的a 仅有一个，B 错误；对于C ，若圆C 过坐标原点，则22(ln )1a a +=， 如下图可知，曲线ln y x =与221x y +=有两个交点，所以满足要求的a 有2个，C 正确；对于D ，若圆C 的面积被直线x y e =平分，则直线xy e=经过圆心(,ln )a a ， 计算可知曲线ln y x =在x e =处的切线恰好为xy e=，即满足要求的a 仅有一个，故D 正确.【类型三：圆锥曲线定义应用】1．(2023·江苏南通如皋10月)抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( )A.132B.116C. 2D. 4【答案】B【解析】抛物线28y x =的标准方程为218x y =，128p ∴=，∴焦点到准线的距离为1.16p = 故选：.B2．(2023·江苏南师附中10月考试)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，在C 上有一点P ，|PF |＝8，则点P 到x 轴的距离为 ． 【答案】43【解析】由抛物线的定义，可PF ＝x p ＋2＝8，所以x p ＝6，代入y 2＝8x ，可得y p 2＝48，所以y p ＝43．3．(2023·江苏南京盐城部分学校10月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 与C 的渐近线的一个交点为(32，32)，则C 的方程为__________．【答案】2213x y -=【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右准线l 方程为2a x c=,由题意可知：232a c且32332b a，又222=a b c +解得：1,2a b c ===， 所以双曲线方程为：2213x y -=，故答案为：2213x y -=【类型四：圆锥曲线几何性质应用】1．(2023·江苏南师附中10月考试)已知椭圆长轴AB 的长为4，N 为椭圆点，满足|NA |＝1，∠NAB ＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．55 B ．255 C ．277 D ．377【答案】C【解析】不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，如图，由题可知2,2a OA ==，又1NA =，60NAB ∠=︒，∴3,22N ⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程可得22931424b +=⨯，解得2127b =，∴2221216477c a b =-=-=，即c =，∴72c e a ===故选：C. 2．(2023·江苏阜宁县实验高级中学10月月考)(多选题)已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线x 2a ＋y22＝1的离心率为( )A ． 5B ．33C ．102D ．3 【答案】BC【解析】由三个数1,,9a 成等比数列，得29a =，即3a =±；当3a =，圆锥曲线为22132x y +=，曲线为椭圆，则e ==；当3a =-时，曲线为22123y x -=，曲线为双曲线，e ：3或2，故选BC 3．(2023·江苏南通如皋10月)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A和B ，P 是椭圆上不同于A ，B 的一点．设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当239(3)(ln ||ln ||)32a m nb mn mn -+++取最小值时，椭圆C 的离心率为( )A.B.45C.D.15【答案】A【解析】(,0)A a -，(,0)B a ，设00(,)P x y ，则222202()b y a x a=-，则00y n x a =-，00y m x a =+，2202220y b mn x a a∴==--， 则222222239239(3)(ln ||ln ||)(3)ln 3232a a a a b m n b mn mn b b b a-+++=+-+ 322()3()39ln .3a a a a b b b b =-+⋅-令322()339ln 3f t t t t t =-+-，(1)t >， 322292639(3)(23)()263t t t t t f t t t t t t-+--+'=-+-==， 故3t =时，()f t 取最小值，椭圆C3=故选.A 4．(2023·江苏金陵中学、海安中学10月第二次联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (2，0)，经过原点O 且斜率k ≥3的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ．若OM ⊥ON ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是 ． 【答案】(22，3－1] 【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质应用：求离心率的取值范围【解析】法一：由题意可知，OM ⊥ON ，则F A ⊥FB ，所以AO ＝OF ＝c ，又因为k AO ≥3，所以b ＜c ，且c ＋3c ≤2a ，联立解得e ＝c a ∈(22，3－1]．法二：由题意可知，设A (2m ，2n )，则M (m ＋1，n )，同理可得N (－m ＋1，－n )，因为OM ⊥ON ，所以→OM ·→ON ＝1－m 2－n 2＝0，化简得m 2＋n 2＝1，又因为k AO ≥3，所以n m ≥3，即n ≥3m ，所以1－m 2≥3m 2，解得m 2≤14，由点A (2m ，2n )在椭圆上可得，4m 2a 2＋4n 2b 2＝1，则可化为4m 2a 2＋4－4m 2a 2－4＝1，则m 2＝a 2()8－a 216，即0＜a 2()8－a 216≤14，解得4＋23≤m 2＜8，所以e ＝c a ＝2a ∈(22，3－1]．5．(2023·江苏南师附中10月考试)(多选题)已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2分别为其左、右焦点，∠F 1PF 2＝θ，△F 1PF 2的面积为S ，则下列说法正确的有( )A ．△F 1PF 2的周长为4＋2 2B ．角θ的最大值为90°C ．若S ＝2，则相应的点P 共有2个D ．若△F 1PF 2是钝角三角形，则S 的取值范围(0，2) 【答案】ABD【解析】由已知可得2,a b ==所以c =12F PF △的周长为224a c +=+，故A 正确；因为b c =，所以以12F F 为直径的圆与椭圆C 相切于上下顶点，所以90θ≤，故B正确；因为12S h =⨯==1h b =<=，由椭圆的对称性可知，点P 共有4个，故C 错误；因为12PF F △为钝角三角形，所以12PF F △中有一个角大于90︒，由选项B 知12F PF ∠不可能为钝角，所以21PF F ∠或12PF F ∠为钝角，当2190PF F ∠=︒时，S最大，将x =22142x y +=得1y =±，此时12PF F △的面积为112S =⨯=，所以三角形的面积S ∈，故D 正确；故选：ABD 6．(2023·江苏南京盐城部分学校10月联考)(多选题)已知O 为坐标原点，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)与曲线E ：y ＝x 的交于点A ，其横坐标为x ＝4，记C 平行于OA 的切线为l 1，E 平行于OA 的切线为l 2，则 A ．p ＝4B ．OA 的方程为x －2y ＝0C ．l 1的方程为x －2y －1＝0D ．l 2的方程为x －2y －1＝0【答案】ABC【解析】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A在曲线:E y =()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=，因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确；设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=，因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =，所以211:22l y x =+，即1l 的方程为210x y -+=，故D 错误；故选ABC7．(2023·江苏南京六校联合体10月)(多选题)已知双曲线1:22=+ny mx C ，其焦点)10,0(到渐近线的距离为6,则下列说法正确的是（ ）A ．10011=+n m B ．双曲线C 的渐近线方程为:x y 34±= C ． 双曲线C 的离心率为45D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，已知双曲线22:1C mx ny +=，其焦点(0,10)到渐近线的距离为6，所以22111x y m n+=中的222221111,,100a b c a b n m n m==-=+=-=①，故A 不正确； 对于B ，双曲线22:1C mx ny +=0±=， 所以焦点(0,10)到渐近线的距离为6d ==，所以6436n m =-，所以= 由①②可得：11,3664m n =-=， 所以双曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为43y x =±，故B 正确； 所以双曲线22:16436y x C -=的8,6,10a b c ===，对于C ，双曲线22:16436y x C -=的的离心率为10584e ==，故C 正确；对于D ，双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1082c a -=-=.故选：BCD.8．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)(多选题)已知双曲线C ：x 2－y 2＝4，曲线E ：y ＝ax 2＋x ＋b ，记两条曲线过点(1，0)的切线分别为l 1，l 2，且斜率均为正数，则 A ．若a ＝0，b ＝1，则C 与E 有一个交点 B ．若a ＝1，b ＝0，则C 与E 有一个交点 C ．若a ＝b ＝0，则l 1与E 夹角的正切值为7－43 D ．若a ＝b ＝1，则l 1与l 2夹角的余弦值为377【答案】AC【解析】对于A ，若=0a ，1b =，则21y ax x b x =++=+， 因为双曲线C ：224x y -=的渐近线为y x =±，所以曲线E ：=+1y x 与双曲线C 的渐近线为=y x 平行， 所以C 与E 有一个交点，故A 正确；对于B ，若=1a ，=0b ，则曲线E ：2y x x =+，与双曲线C ：224x y -=联立， 则()22240x x x-+-=，即43240x x ++=，令()4324h x x x =++， 则()()32246223h x x x x x '=+=+，则由()>0h x '有3>2x -，由()0h x '≤有3<2x -， 所以()min 3=>02h x h -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43240x x ++=无解，故B 错误； 对于C ，若0a b ，曲线E ：=y x ，对于双曲线C ：224x y -=，易知过点()1,0的切线的斜率显然存在，设切线方程为()1y k x =- ，与224x y -=联立有：()22221240kxk x k -+--=，由()()4222444116120k k kk∆=++-=-=，解得3k =±，因为斜率均为正数，所以1l 为：()13y x =-，则1l 与E17=--C 正确； 对于D ，若==1a b ，曲线E ：21y x x =++，则21y x '=+，则1|3x y ='=， 则2l 为：()31y x =- ，其方向向量()1,3m = ，又1l为：)1y x =-，其方向向量231,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3cos ,70m n m n m n ⋅+== ，故D 错误.故答案为：AC. 9．(2023·江苏南京市建邺区第一次联合统测10月)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3．若过点F 1的直线与C 交于A ，B 两点，且∠AF 1F 2＝30°，则sin∠AF 2B＝____________．【答案】【解析】∵双曲线C ,c b，∴双曲线C ：2222=12x y a a -，())12,0,,0F F，由题意可得：直线):AB y x联立方程)2222=12y x x y a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=2=5x y a-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩或=2x y a ⎧⎪⎨⎪⎩ 即)2,,,25A a Ba -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴212BF F F ⊥，则2=60ABF∠︒则165AB a ，同理可得：214=5AF a 在2ABF 中，由正弦定理222=sin sin AF AB ABF AF B∠∠，可得222sin sin =AB ABF AF B AF ∠∠。
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十三、直线与圆的方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·13）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 .【答案】2.（2018·无锡期末·10）过圆2216x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为 ．【答案】193.（2018·镇江期末·11） 已知圆 C 与圆 x 2y 210x 10 y 0 相切于原点，且过点 A (0,6) ，则圆 C 的标准方程为 【答案】(x+3)2( y+3) 24.（2018·南京盐城期末·12）.在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ． 【答案】3-7.（2018·苏州期末·11）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x y 1相切，且圆心在直线 y2x 上，则圆C 的标准方程为 ．【答案】22(1)(2)2x y -++= 8.（2018·苏北四市期末·12）在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ．【答案】[221]+十四、圆锥曲线（一）试题细目表地区+题号 类 型 考 点 思 想 方 法 2018·南通泰州期末·1填 空 集合的运算 2018·无锡期末·1 填 空 集合的运算 2018·镇江期末·1 填 空 集合的运算 2018·扬州期末·1 填 空 集合的运算 2018·常州期末·1 填 空 集合的运算 2018·南京盐城期末·1填 空 集合的运算 2018·苏州期末·2 2018·苏北四市期末·1（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·7）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为 .【答案】652.（2018·无锡期末·11）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为 ． 【答案】83.（2018·镇江期末·5）已知双曲线1222=-y ax 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为 【答案】83x =4.（2018·扬州期末·10）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22a x -22b y =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2-6y+5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】3(1,)25.（2018·常州期末·9）在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ．【答案】6.（2018·南京盐城期末·6）.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ． 【答案】67.（2018·苏州期末·3）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为 ． 【答案】(2,0)-8.（2018·苏北四市期末·6）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．十五、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>，两条准线之间的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，2c a =，22a c =解得2a =，c =b =所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=， 所以2AB AM =， 所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以(2,0)A -.设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +.所以22089x y +=①，2200(22)(2)142x y ++=②，由①②得200918160x x --=，解得023x =-，083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±， 所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为(2)y k x =+.由221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=， 所以22(2)[(12)42]0x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，所以22(2)4212B M x k x k +--==+，22(2)12M M k y k x k =+=+， 代入2289x y +=得22222428()()12129k k k k -+=++，化简得422820k k +-=，即22(72)(41)0k k +-=，解得12k =±， 所以，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.2.（2018·无锡期末·18）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD的距离为3设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程；（3）求过点,,B C P 的圆方程（结果用t 表示）.【答案】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>所以222a c =，b c =， 所以直线DB的方程为y x b =+， 又O 到直线BD的距离为3=， 所以1b =，a =所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设)P t ，0t >， 直线PA的方程为y x =，由2212x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t +++-=，解得：224C x t =+，则点C的坐标是2224(,)44tt t ++， 因为三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以三角形AOC 的面积等于三角形BPC 的面积，2214244AOC t S t t ∆==++，23221)244PBCS t t t ∆=⨯⨯=++，则32244t t =+，解得t =.所以直线PA 的方程为20x y -+=.（3）因为B ，)P t ，24)4tC t +， 所以BP 的垂直平分线2ty =，BC 的垂直平分线为224t y x t =-+， 所以过,,B C P 三点的圆的圆心为2)2t， 则过,,B C P 三点的圆方程为222(()2t x y +-42222(4)4t t t =++，即所求圆方程为22224x x y t +-++2804ty t -+=+.3.（2018·镇江期末·18）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，左焦点 F (2,0) ，直线 l : y t 与椭圆交于A , B 两点，M 为椭圆上异于 A , B 的点.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若()1,6--M ，以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，求圆 P 的标准方程； （3）设直线 MA , MB 与 y 轴分别交于 C , D ，证明： OC OD 为定值.【答案】（1）因为2c e a ==，且2c =，所以2a b ==， 所以椭圆 E 的方程为22184x y +=. (2)设(,)A s t ，则(,)B s t -，且2228s t +=①因为以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，所以MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=又(6,1),(6,1)MA s t MB s t =++=-++，所以226(1)0s t -++=②由①②解得：13t =，或1t =-（舍），所以2709s =. 又圆 P 的圆心为AB 的中点(0,)t ，半径为2ABs =，所以圆 P 的标准方程为22170()39x y +-=.(3)设M 00(,)x y ，则MA l 的方程为0000()t y y y x x s x --=--，若k 不存在，显然不符合条件. 令0x =得00c tx sy y s x -=-；同理000Dtx sy y s x --=-- 所以222200000022000c D tx sy tx sy t x s y OC OD y y s x s x s x ----⋅=⋅=⋅=---- 222222000222200(82)(82)884(82)(82)22t y t y t y y t t y ----===----为定值.4.（2018·扬州期末·18）已知椭圆E 1：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），若椭圆E 2：22ma x +22mb y =1（a ＞b ＞0，m ＞1），则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1) 求经过点(2,1)，且与椭圆E 1：22x +y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程；(2) 若m=4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线交椭圆E 1于A ,B 两点，且，①若B 的坐标为(0,2)，且，求直线l 的方程；②若直线OP ,OA 的斜率之积为21-，求实数的值.【答案】解：⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m+=，代入点2,1)得2m =，所以椭圆2E 的方程为22142x y += ………3分 ⑵因为椭圆1E的离心率为2，故222ab =，所以椭圆2221:22E x y b +=又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+，代入椭圆221:28E xy +=得22(12)80k x kx ++=，解得1228,012kx x k-==+，故212224,212k y y k -==+， 所以222824(,)1212k k A k k --++ ………5分 又2AP AB =，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k +++， ………6分 代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k++=++， 即4220430kk +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以10k =±所以直线l的方程为210y x =±+ ………8分 方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故2x =± ………6分所以10k =±， 所以直线l的方程为210y x =±+ ………8分 ②方法一： 由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=，AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩………12分所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=.………16分 方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，解得0x =0y =，直线,OP OA 的斜率之积为12-，则直线1:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=，解得1x =1y =AP AB λ=，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以2222282(((1)22b b b λλλ+-++-⋅=，即222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=5.（2018·常州期末·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=．（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程． 【答案】解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c=-=-， ，所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===，2234c a =，所以e =；（2）由（1）2(,)33M b --，右准线方程为x ， 直线MN的方程为y，所以(,)33P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，22233AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯=⨯=，所以22103a =2203b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 6.（2018·南京盐城期末·18）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第18题图【答案】解：（1）由2N Q ，得直线NQ的方程为32y x =…………………2分 令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分 将点N的坐标2代入，得222213a +=，解得24a =． 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分 （2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =在y kx =令0y =，得P x =，而点Q 是线段OP 的中点，所以Q x =． 所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x = 用2k 代k，得N x =． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =． 所以直线BM的方程为2y x =． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =令0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x =，故=． …………………10分 又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=． 又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(,33M ．……………14分故直线BM的方程为2y x =． …………………16分7.（2018·苏州期末·18）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】解（1）由题意c a =，故a =， ·············· 1分又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=-， ································· 2分 解得3c =，a =2229b a c =-=， ············· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=.················· 6分 （2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ············ 7分 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ···· 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ． 猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ················ 9分因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++ 22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k-+-+=-+=+=+++， 所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)．····· 16分8.（2018·苏北四市期末·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k 求出m 的值；若不存在，请说明理由.（第18题）【答案】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ (2)分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)Ax y （，则00(,)B x y --， 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分。