福建省永定县高陂中学高三上学期周末训练数学试题(2015.1.27).docx

高中数学学习材料
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高三（上）数学 练习题 2015.1.27
参考公式：
样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 锥体体积公式
s =
222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =3
1Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V =Sh
24S R =π，343
V R =π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={1，2，3}，则（A C U ）
∩B 等于 A ．{3} B ．{l,2，3} C ．{1,3} D ．{l,2}
2. i 是虚数单位，复数(2)z x i i =+()x R ∈，若z 的虚部为2，
则x = A ．2 B ．-1
C ．-2
D ．1
3．执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x 值为48，则输入的x 值为
A ．3
B ．6
C ．8
D ．12
4．一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为 A ． 15π
B ． 24π
C ． 39π
D ． 48π
5. 已知不同的直线l,m,不同的平面,αβ，下命题中： ①若α∥β,,l α⊂则l ∥β ②若α∥β，,;l l αβ⊥⊥则 ③若l ∥α，m α⊂，则l ∥m ④,,,l m l m αβαββ⊥⋂=⊥⊥若则
真命题的个数有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 6 ．函数()2sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
的部分图象如图所示,则,ωϕ的
值分别是 A ．4,6
π
- B ．2,6
π
-
C ．2,3
π
-
D ．4,
3
π
7．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正
方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图3所示。

若向图 形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是 A ．
24 B ．14 C ．18 D ．1
16
8、函数1
3
y x x =-的图象大致为
9、直线x -y +m =0与圆x 2+y 2-2x -1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A 、-4<m <2
B. m<1
C. -3<m <1
D. 0<m <1
10．设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C = A ．
3π B ．23
π C ．
34π D ．56
π
11．在约束条件0
024
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当53≤≤s 时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是
A ．[6,15]
B ．[7,15]
C ．[6,8]
D ．[7,8]
12．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程
23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6 二. 填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
13、设sin 2sin αα=-,(,)2
π
απ∈,则tan 2α的值是________.
14．已知m>0,n>0,向量a r =(m,1), b r =(1,n-1)且a r ⊥b r
，则12m n
+的最小值是
.
图1
图3
图 4
G
E
F A
B
C
D
图 5
D
G
B
F
C
A
E
15、设a,b,m 为正整数，若a 和b 除以m 的余数相同，则称a 和b 对m 同余.记()a b mod m ≡，
已知2013232......32322⨯++⨯+⨯+=a ，()3b a mod ≡，则b 的值可以是 （写出以下所有满足条件的序号）①1007；②2013；③3003；④6002 16、有n 粒球（n ≥2，n ∈N *），任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任
意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为n S ．例如，对于4粒球有如下两种分解：（4）→（1，3）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S 4=1×3+1×2+1×1=6；（4）→（2，2）→（1，1，2）→（1，1，1，1），此时S 4=2×2+1×1+1×1=6，于是发现S 4为定值6．请你研究S n 的规律，猜想S n =_______. 三、解答题（本题共6小题，共74分。

）
17、(本小题满分12分)从一批草莓中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量) [80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100)
频数(个)
10 50 20 15
（Ⅰ） 根据频数分布表计算草莓的重量在[90,95)的频率;
（Ⅱ） 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个,其中重量在
[80,85)的有几个?
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中抽出的5个草莓中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.
18．（本小题满分12分）如图4,在边长为3的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与
DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中
32
2
BC =
. （Ⅰ） 证明:DE //平面BCF ; （Ⅱ） 证明:CF ⊥平面ABF ; (Ⅲ) 当2
3
AD AB =时,求三棱锥F DEG -的体积D EFG V -.
19．（本小题满分12分）设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *
(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.
20. （本小题满分12分）已知函数21
()3sin cos cos ,2
f x x x x x R =--∈．
(Ⅰ) 求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量
(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b 、的值．
21、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率1
2
e =，它的一个顶点恰好是抛物线212x y =-的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 与曲线(0)y k x k =⋅>的交点为B 、C ，求OBC ∆面积的最大值.
22、 (本小题满分14分)已知函数2()(1)x f x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．
（Ⅰ）若1=a ，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若0<a ，求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)若1-=a ，函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=2321
31)(的图象有3个不同的交点，
求实数m 的取值范围.
高三（上）数学期末练习答案 2015.1.27
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.A 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，共16分． 13.
3 14. 322+ 15. ①④ 16. 2
2)1(2n
n n n S n -=
-= 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、解：（Ⅰ）重量在[)90,95的频率20
0.450
==; ………2分
（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的草莓中共抽取5个,则重量在[)80,85的个数10
521015
=
⨯=+; ……5分
(Ⅲ)设在[)80,85中抽取的2个草莓为x ,y,在[)95,100中抽取的三个草莓分别为,,a b c ,从抽出的5个草莓中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c y a y b y c x y ，10种情况, ……8分 其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c y a y b y c 6种; …10分
设“抽出的5个草莓中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事件A 的概率
63
()105
P A =
=; ……12分 18．解：（Ⅰ）在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE
DB EC ∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,DE ⊄平面BCF ,
BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ; ………4分
（Ⅱ）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF ⊥CF ①,32
BF CF ==
. 在三棱锥A BCF -中,32
2
BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF AF F CF ⋂=∴⊥平面ABF; ………9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知//GE CF ,结合(Ⅱ)可得GE DFG ⊥平面.
111133
113232212
D EFG
E DFG V V DG FG GE --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ………12分
19.解: (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，
当 .1,011=≠⇒a a ………1分 111
1
1111222221----=⇒-=---=
-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- ………4分 .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为 ……… 5分
(Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设
1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT ……… 8分
上式左右错位相减:
n n n n
n n n n na q
q a na a a a a T q 21211)1(111
321⋅--=---=-++++=-++ ………10分
*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒. ……12分
20．解：(Ⅰ)
2131()3sin cos cos sin 2cos 21222
f x x x x x x =--
=-- sin(2)16
x π
=-- ……………………………………3分
∴ ()f x 的最小值为2-，最小正周期为π. ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π
=--=， 即sin(2)16
C π
-= ∵ 0C π<<，1126
6
6C π
π
π-
<-
<
，∴ 262C ππ-=，∴ 3
C π
=． ……7分 ∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=． 由正弦定理
sin sin a b
A B
=
， 得2,b a = ①…………………………………9分 ∵ 3c =，由余弦定理，得2292cos 3
a b ab π
=+-， ②……………………10分
解方程组①②，得3
23
a b ⎧=⎨=⎩． …………………………………………12分
21.解：（Ⅰ）抛物线2
12x y =-的焦点为(0,3)-，∴3b = ……………………………1分
又椭圆C 离心率12c e a =
=，∴22221
394
a c a =+=+，212a ∴=……………2分 所以椭圆C 的方程为
22
1129
x y += ……………………………4分 （Ⅱ）设点00(,)B x y 00(0,0)x y >>，则00y kx =，连BC 交x 轴于点A ，
由对称性知：20001
222
OBC OAB S S x y kx ∆∆==⨯
= ………………………6分 由00
2200112
9y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩ 得：2
023634x k =+ …………………8分 23636
3344OBC S k k k
k
∆∴=⋅
=
++， …………………9分 3342443k k k k +≥⋅=（当且仅当34k k
=即32k =时取等号） …………10分
363334OBC S k k
∆∴=
≤+
∴OBC ∆面积的最大值为33. ………………12分
22. 解：（Ⅰ） 1=a ，∴x
e x x x
f )1()(2-+=，
∴++='x e x x f )12()(x x e x x e x x )3()1(22+=-+， ………………1分
∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=. …………2分
又 e f =)1(，∴所求切线方程为)1(4-=-x e e y ，即034=--e y ex ．……3分
（Ⅱ）++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+()[]x
e a ax x 12++=，
①若021<<-
a ，当0<x 或a
a x 1
2+-
>时，0)(<'x f ； 当<<x 0a
a 1
2+-
时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞，),1
2[+∞+-
a
a ； 单调递增区间为]1
2,0[a
a +-. …………………5分 ②若21-
=a ，=')(x f 02
12≤-x
e x ， ∴)(x
f 的单调递减区间为),(+∞-∞. …………………6分
③若21
-
<a ，当a
a x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当01
2<<+-
x a
a 时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为]1
2,(a
a +-
-∞，),0[+∞； 单调递增区间为]0,1
2[a
a +-
. …………………8分 （Ⅲ）当1-=a 时，由（Ⅱ）③知，2()(1)x
f x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减，
在]0,1[-单调递增，在),0[+∞上单调递减， ∴()f x 在1-=x 处取得极小值e
f 3)1(-
=-， 在0=x 处取得极大值1)0(-=f . ……………10分
由m x x x g ++=
2
32
131)(，得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时，0)(>'x g ；当1-0<<x 时，0)(<'x g .
∴)(x g 在]1,(--∞上单调递增，在]0,1[-单调递减，在),0[+∞上单调递增. 故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=
-6
1
)1(，
在0=x 处取得极小值m g =)0(. …………………12分 函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点，
∴⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ，即⎪⎩
⎪⎨⎧>-+<-m m
e 161
3. ∴1613-<<--m e .…………14分。