2021年内蒙古自治区赤峰市市林东第六中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2021年内蒙古自治区赤峰市市林东第六中学高一数学
理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
⑴，；
⑵，；
⑶，；
⑷，；
⑸，
A ⑴、⑵
B ⑵、⑶
C ⑷
D ⑶、⑸参考答案：
C
2. 阅读程序框图，当输入x的值为-25时，输出x的值为（）
A．-1 B．1 C．3 D．9参考答案：
C
3. 圆C1: 与圆C2:的位置关系是（）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
参考答案：
D
4. 在△ABC中，如果，那么cosC等于（）
参考答案：
D
5. 函数是（）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
参考答案：
A
函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x，
故函数是最小正周期为=π的奇函数，
故选：A．
6. 下列函数中最值是，周期是6π的三角函数的解析式是（）
A．y=sin（）B．y=sin（3x+）C．y=2sin（）
D．y=sin（x+）
参考答案：
A
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】求出函数的最值与周期判断选项即可．
【解答】解：y=sin（）的最大值为：，周期是6π．所以A正确；
y=sin（3x+）的最大值为：，周期是．所以B不正确；
y=2sin（）的最大值为2，最小值为﹣2，所以C不正确；
y=sin（x+）的周期是2π，所以D不正确；
故选：A．
7. 设全集，，，则（）等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
8. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 设，那么数列是（）
A．是等比数列但不是等差数列 B．是等差数列但不是等比数列
C．既是等比数列又是等差数列 D．既不是等比数列又不是等差数列
参考答案：
B
略
10. 已知，则与平行的单位向量为( ).
A. B.
C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为______．
参考答案：
【分析】
由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l 一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R.
【详解】因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，
根据球的性质，球心一定在垂线l上，
∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，
在△PBC中，由余弦定理得cos B，?sin B，
由正弦定理得：，解得R，
∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为s＝4πR2＝10π，
故答案为：10π．
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
12. 已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为．
参考答案：
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】先由两点间的距离公式求出|0P|，再由任意角的三角函数的定义求出sina和cosa的值，最后代入求出式子的值．
【解答】解：由角a的终边经过点P（5，﹣12），得|0P|==13，
∴sina=，cosa=，
故sina+cosa=+=，
故答案为：．
13. 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为
_ ___．
参考答案：
14. 如图矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．
参考答案：
4.6
15. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH，下部分是长方体ABCD - EFGH. 图5和图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图。

（I）请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
（II）求该安全标识墩的体积；
（III）证明: 直线BD平面PEG。

参考答案：
（1）侧视图同正视图,如下图所示.
……………4分（2）该安全标识墩的体积为：
…8分
（3）如图，连结EG，HF及BD，EG与HF相交于O，连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
平面EFGH ,
又平面PEG
又平面PEG．………………12分
略
16. 已知，则_________________.
参考答案：
略
17. 一样本a,3,5,7的平均数是b，且a,b是方程的两根，则这个样本的方差为________.
参考答案：
5
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数是偶函数。

（1）求的值；
（2）设函数，其中实数。

若函数与
的图象有且只有一个交点，求实数的取值范围。

参考答案：
（1）∵由题有对恒成立…2分
即恒成立，
∴
… 4分
（2）由函数的定义域得，由于
所以即定义域为
… 6分
∵函数与的图象有且只有一个交点，即方程
在上只有一解。

即：方程在上只有一解
1
当时，记，其图象的对称轴
所以，只需，即，此恒成立
∴此时的范围为
… 11分
综上所述，所求的取值范围为。

… 12分
19. 求圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）的圆的方程．参考答案：
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆心到直线2x+y=0上，设圆心Q为（a，﹣2a），由题意得到圆心到直线的距离等于|PQ|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设圆心Q为（a，﹣2a），
根据题意得：圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=|PQ|，即
=，
解得：a=1，
∴圆心Q（1，﹣2），半径r=，
则所求圆方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．
20. （12分）已知函数f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（a）+（b）=f（）．
参考答案：
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）求解＞0，﹣1＜x＜1得出定义域，
（2）运用定义判断f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），
（3）f（a）+（b）=f（）．运用函数解析式左右都表示即可得证．
解答：函数f（x）=lg，a，b∈（﹣1，1）．
（1）∵＞0，﹣1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域：（﹣1，1）．
（2）定义域关于原点对称，
f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）证明：∵f（a）+f（b）=lg+lg=lg，
f（）=lg=lg，
∴f（a）+（b）=f（）．
点评：本题考查了函数的定义，奇偶性的求解，恒等式的证明，属于中档题，关键是利用好函数解析式即可．
21. 已知二次函数满足：①，②关于x的方程有两个相等的实数根.求：
⑴函数的解析式；
⑵函数在上的最大值。

参考答案：
⑴由①，由②有两个相等实根
则
略
22. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，0）和点B（﹣1，0），||=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原点．
（1）若x=，设点D为线段OA上的动点，求|+|的最小值；
（2）若x∈（0，），向量，，求的最小值及对应的x值．
参考答案：
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）设D（t，0）（0≤t≤1），利用二次函数的性质求得它的最小值．
（2）由题意得=1﹣sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．
【解答】解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），由题易知C（﹣，），
所以+=（﹣+t，）
所以|+|2=﹣t+t2+=t2﹣t+1
=（t﹣）2+（0≤t≤1），
所以当t=时，|+|最小，为．
（2）由题意，得C（cos x，sin x），
m==（cos x+1，sin x），
则m?n=1﹣cos2x+sin2x﹣2sin xcos x=1﹣cos 2x﹣sin 2x=1﹣sin（2x+），因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，
所以当2x+=，即x=时，
sin（2x+）取得最大值1，
所以m?n的最小值为1﹣，此时x=．。