2014年黑龙江省哈六中高二下学期期末考试数学(理)试题

2014 年黑龙江省哈六中高二放学期期末考试数学（理）试题
考试时间： 120 分钟 满分： 150 分
一、选择题：（每题 5 分共 60分）
1．设全集为 R ，会合 A
{ x | x 2
9 0}, B { x | 1
x 5}，则 A
(C R B) ( )
A.( 3,0)
B.( 3, 1]
C.( 3, 1)
D .( 3,3)
2．若“ 0
x 1 ”是“ x a x a 2
0 ”的充足不用要条件，则实数
a 的取值范围是 (
)
A. ,0 1,
B.
1,0 C. 1,0
D. , 1
0,
3．履行如右以下图所示的程序框图，若输出的值
为
2 ，则输入 x 的最大值是 (
)
A. 5
B. 6
C.11
D. 22
4．若直线的参数方程为
x 1 2t
y 2
(t 为参数 ) ，则直线的斜率为 ( )
4t
A.
1
B. 1
C. 2
D. 2
2
2
3
5．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 次，一旦发球成功，则
停止发球，不然向来发到
3 次为止．设某学生一次发球成功的概率为
p p 0 ，发球次
数为 X ，若 X 的数学希望 E
X
1.75 ，则 p 的取值范围是 (
)
A.
0,
7
B. 0,
1
C.
7
,1
D.
1
,1
12
2
12
2
6．已知函数
f ( x) x ln x ax 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 ( )
A.
,0
B. 0,1
C. 0,
1
D. 0,
2
7．如右图，设抛物线
y
x 2
1 的极点为 A ，与 x 轴正半轴的交点为 B ，设抛物
线与两坐标轴正半轴围成的地区为
M ，随机往 M 内投一点 P ， 则点 P 落在
AOB 内的概率是 ( )
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2
6
5
4
3
8．已知函数 f ( x) ax 3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在独一的零点 x 0 ，且 x 0 0 ，则 a 的
取值范围是
A. 2,
B. 1,
C.
, 2
D. , 1
9. 在极坐标系中 , 直线
cos 1
2cos 订交于 A,B 两点 ,
O 为极点 ,则 AOB 的大小为
与曲线
2
（）
A. B. C.
2 D.
3 6 3
10．哈六中 15 届高二有840名学生,现采纳系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷检查,将840 人按 1,2, ,840 随机编号 , 则抽取的 42 人中,编号落入区间481,720 的人数为（）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
11．以下值等于的定积分是（）
1 xdx B. 1 1)dx C.
2 1 D. 1 1 dx
A. (x dx
0 0
0 2 0
2
12. 设D是函数y f ( x) 定义域内的一个子区间，若存在x0 D ，使 f (x0 ) x0，则称 x0是f ( x)的一个“开
心点”，也称 f (x) 在区间 D 上存在高兴点.若函数 f ( x) ax2 2x 2a 3
在区间3, 3 上存在高兴点，则2 2
实数 a 的取值范围是（）
A. ( ,0)
B. 1
,0 C.
3
,0 D. 3 , 1 4 14 14 4
二、填空题（每题 5 分共 20 分）
13. 已知会合M { y | y x2 } ， N { y | x 2 y2 2}，则M N 。

14. 函数f (x) x 2ln x 的单一递减区间是。

15. 以下四个命题中，真命题的序号有. （写出全部真命题的序号）
①若 a, b, c R ，则“ ac 2 bc 2”是“a b”成立的充足不用要条件；
②命题“ x R 使得 x2 x 1 0 ”的否认是“x R 均有 x2 x 1 0”；
③命题“若| x | 2，则 x 2 或 x 2 ”的否命题是“若| x | 2 ，则 2 x 2 ”；
④函数 f (x) ln x
3
在区间(1,2) 上有且仅有一个零点. x
2
16．已知函数f ( x) x ln x ，当x2 x1 0 时，给出以下几个结论：
① ( x1 x2 ) [ f (x1 ) f ( x2 )] 0 ；② f ( x1 ) x2 f (x2 ) x1；③ x2 f ( x1) x1 f (x2 ) ;
④当 ln x1 1时， x1 f (x1 ) x2 f ( x2 ) 2x2 f ( x1 ) .
此中正确的选
项是（将全部你以为正确的序号填在横线上）．
三、解答题
17. 设a R ,函数 f ( x) ax2 2x 2a ，若 f (x) 0的解集为 A ，B { x 1 x 2},
A B , 务实数a的取值范围（10 分）
18. 某高中的校长介绍甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生查核测试，在本次查核中只有合格和优异两个等
级．若查核为合格，授与 10 分降分资格；查核为优异， 授与 20 分降分资格．假定甲、乙、丙查核为优异的概
率分别为
2 、
2 、 1
，他们查核所得的等级互相独立． （12 分）
3 3 2
(1) 求在此次查核中，甲、乙、丙三名学生起码有一名查核为优异的概率； (2) 记在此次查核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量
，求随机变量
的散布列和数学希望．
19．在直角坐标系中 , 以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系
2
, 已知曲线 C : sin2a cos ( a 0) ,
x
2 2 t
已知过点 P( 2, 4) 的直线的参数方程为 :
2 （为参数） , 直线与曲线 C 分别交于 M , N 两点．
2 t y
4
2
(1) 写出曲线 C 和直线的一般方程；
(2) 若 PM , MN , PN 成等比数列 , 求 a 的值．
20．已知函数f (x) x a ln x 3
，此中 a R ，且曲线y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y
1
x .（12
4 x 2 2
分）
（1）求a的值；
（2）求函数f ( x)的单一区间与极值 .
21. 某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计( 满分150分 ) ，此中120分 ( 含120 分 ) 以上为优异，绘制了以下的两个频次散布直方图：（12分）
男生女生
(1) 依据以上两个直方图达成下边的2× 2列联表：
成绩性别优异不优异总计
男生
女生
总计
(2)依据 (1) 中表格的数据计算，你有多大掌握以为学生的数学成绩与性别之间相关系？
( 注：
k0
P K 2 k0
n ad 2 K 2
bc
a b c d ，此中 n a b c d )
a c
b d
(3)若从成绩在 130,140 的学生中任取2人，求取到的2人中起码闻名女生的概率．
22．已知函数f ( x) 1 x2 a ln x, g (x) ( a 1)x(a 1), H ( x) f (x) g(x) 。

（12分）
2
(1) 若 f ( x) 的单一减区间是0,1 , 务实数a的值 ;
(2) 若函数 f ( x), g( x) 在区间1,2 上都为单一函数且它们的单一性同样，务实数 a 的取值范围；
(3) , 是函数 H ( x) 的两个极值点, , 1,e 。

求证：对任意的 x1 , x2, ，不等式
H ( x1 ) H (x2 ) 1 恒成立．
高二（理科）数学答案
一、选择题：（每题 5 分共 60 分）
综上 2 a 2 --------------------------------------------------------------
2
分 18. (1) 记“甲查核为优异”为事件 A ，“乙查核为优异”为事件 B ，“丙查核为优异”为事件 C ，“甲、乙、丙起码有一名查核为
优异”为事件 E.
则事件 A 、 B 、C 是互相独立事件，事件
A B C 与事件 E 是对峙事件，于是
P(E) ＝1－P( A B C ) ＝1－(1 － 2 )(1 － 2
)(1 － 1 ) ＝
17
.----------------------
4
分
3 3 2
18
(2) ξ 的全部可能取值为 30,40,50,60.
P( ξ ＝30) ＝ P( A B C ) ＝ (1 － 2 )(1 －2
)(1
－1)＝ 1
，
3
3 2
18
P( ξ ＝40) ＝ P(A B C ) ＋P( A B C ) ＋ P( A B C)＝
5
，
18
P( ξ ＝50) ＝ P(AB C ) ＋P(A B C)＋P( A BC)＝ 8 ， P( ξ ＝60) ＝ P(ABC)＝ 4
. 18
因此 ξ 的散布列为 18
ξ 30 40 50
60 P
1 5 8 4
18
18
18
18
∴ E( ξ) ＝30×
1
＋40×
5 ＋50×
8
＋60×
4 ＝
145
.
8
分
18
18 18 18 3
20. （ 1）对 f
x
求导得 f
x
1
a 1 ，由 f x 在点 1, f 1 处切线垂直于直线 y
1 x
3
5
；-------------------------------------------
4
x 2 x
2
知
f x
a
2, 解得
4
分
4
a
4 （ 2）由（ 1）知 f ( x)
x 5 ln x 3 ，则 f x 1 5 1 x 2 4x 5 ,
4
4x 2
4 4x 2 x 4x 2 令 f x 0，解得 x
1 或 x 5 . 因 x 1 不在 f
x 的定义域 0,
内，故舍去 .
当 x
0,5 时， f x 0, 故 f x 在 0,5 内为减函数； ----------------------------
2
分
当 x
5, 时， f x 0, 故 f x 在 5,
内为增函数； ------------------------- 2
分 由此知函数 f x 在 x 5 时获得极小值 f
5
ln 5 .--------------------------------
4
分
21. (1)
成绩性别 优异 不优异
总计
男生 13 10 23 女生 7 20 27 总计
20
30
50
------------------------------
4
分
2
(2) 由(1) 中表格的数据知， K 2＝
50 13 20 7 10 ≈4.844.
∵ K 2≈4.844 ≥3.841 ，∴有
20 30 27 23
95%的掌握以为学生的数学成绩与性别之间相关系．---------- 4
分
（ 3）所求事件的概率 P ＝ 3
.--------------------------------------------------------
4
分
5。