辽宁省阜新市2021届新高考五诊数学试题含解析

辽宁省阜新市2021届新高考五诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ）
A ．32-
B ．32
C ．23-
D ．23
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.
【详解】
由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数， 所以3+203230
2a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.
2．将函数()sin(3)6f x x π
=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来
的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值.
【详解】 解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π
=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得
()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+
， 因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z π
π-+=∈，解得,183
k m k Z π
π=-∈，
因为0m >，所以m 的最小值为
18
π. 故选：C
【点睛】 本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
3．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ）
①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-；
②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数；
③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ；
④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
逐一分析选项，①根据函数3y x =的对称中心判断；②利用导数判断函数的单调性；③先求函数的导数，若满足条件，则极值点必在区间()1,1-；④利用导数求函数在给定区间的最值.
【详解】
①3y x =为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-，正确．
②由题意知2()3f x x a '=-．因为当–11x <<时，233x <，
又3a ≥，所以()0f x '<在(1,1)-上恒成立，所以函数()f x 在(1,1)-上为单调递减函数，正确． ③由题意知2()3f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(–),∞+∞上为增函数，不合题意，故0a >．
令()0f x '=，解得3
x =±．因为()f x 在(1,1)-上不单调，所以()0f x '=在(1,1)-上有解，
需013
<<，解得0<<3a ，正确． ④令2()3120f x x '=-=，得2x =±．根据函数的单调性，()f x 在[–4,5]上的最大值只可能为(2)f -或(5)f ．
因为(2)15f -=，(5)64f =，所以最大值为64，结论错误．
故选：C
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
4．若集合{}{,33A x y B x x ==
=-≤≤，则A B =I （ ） A ．[]3,2-
B ．{}23x x ≤≤
C ．()2,3
D ．{}
32x x -≤< 【答案】A
【解析】
【分析】
先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】 {{}{}
2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.
故选：A ．
【点睛】
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
5．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
【答案】B
【解析】
【分析】
转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +„，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.
【详解】
由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +„．
设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x
'=
+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，
所以min ()(1)1h x h ==．
所以min ()1a h x =„．
故a 的取值范围是(,1]-∞．
故选：B
【点睛】
本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （ ） A ．18-
B ．63-
C ．18
D ．63 【答案】C
【解析】
【分析】
在直角三角形ABC 中，求得12
AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角ABC ∆中，2C π
∠=，4AB =，2AC =，，
12AC cos CAB AB ∠=
=， 若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（） 223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=． 故选C.
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
7．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A ．3π
B ．3π-
C ．23π
D ．23
π- 【答案】B
【解析】
【分析】
因为时针经过2小时相当于转了一圈的
16
，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.
故选：B
【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.
8．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）
A ．1
B ．2
C
D 【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果.
【详解】
由题可知：()11i a bi +=+，
即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==
则212a bi i +=+==故选：D
【点睛】
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.
9．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ）
A ．3d =
B ．1012a =
C ．20280S =
D ．14a =- 【答案】C
【解析】
【分析】
由()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，和65a =，可求得53a =，从而求得d 和1a ，再验证选项.
【详解】
因为()()1101056105402a a S a a +⋅==+=，65a =，
所以解得53a =，
所以652d a a =-=，
所以10645813a a d =+=+=，154385a a d =-=-=-，20120190100380280S a d =+=-+=， 故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.
10．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π
⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π后关于原点成中心对称 【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3
π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=， 所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z π
π+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43
x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数
的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．
11．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）
A ．[﹣3，2）
B ．（﹣3，2）
C ．（﹣1，0]
D ．（﹣1，0） 【答案】C
【解析】
【分析】
先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.
【详解】
因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，
又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，
所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}.
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
12．已知集合{}
2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B ðU 等于( ) A ．[)5,7-
B ．[)3,7-
C ．()3,7-
D ．()5,7-
【答案】B
【解析】
【分析】 解不等式确定集合A ，然后由补集、并集定义求解．
【详解】
由题意{}
2|2150A x x x =-->{|3x x =<-或5}x >， ∴{|35}R A x x =-≤≤ð，
(){|37}R A B x x =-≤<U ð．
故选：B.
【点睛】
本题考查集合的综合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题型．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若四棱锥P ABCD -的侧面PAB 内有一动点Q ，已知Q 到底面ABCD 的距离与Q 到点P 的距离之
比为正常数k ，且动点Q 的轨迹是抛物线，则当二面角P AB C --平面角的大小为30°时，
k 的值为______.
【答案】12 【解析】 【分析】 二面角P AB C --平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，点Q 到定直线AB 得距离为d ，则sin QH d θ=.再由点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，可得QH PQ k
=，由此可得sin k θ=，则由3cos cos302
θ=︒=
可求k 值. 【详解】
解：如图， 设二面角P AB C --平面角为θ，点Q 到底面ABCD 的距离为QH ，
点Q 到定直线AB 的距离为d ，则sin QH d θ=，即sin QH d θ
=. ∵点Q 到底面ABCD 的距离与到点P 的距离之比为正常数k ，
∴QH k PQ =，则QH PQ k
=， ∵动点Q 的轨迹是抛物线，
∴PQ d =，即sin QH QH k θ
=则sin k θ=. ∴二面角P AB C --的平面角的余弦值为223cos 1sin 1cos302k θθ=-=-=︒=
解得：12
k =（0k >）.
故答案为：
12
. 【点睛】 本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
14．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每
一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.
【答案】314
【解析】
【分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【详解】
八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。

抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

∴从8个卦中任取2卦，共有2828C =种可能，两卦中共2阳4阴的情况有12336C C +=，所求概率为
632814
P ==。

故答案为：
314。

【点睛】
本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。

本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。

15．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，2112a ab
+-的最小值为________.
【答案】2 【解析】 【分析】 本题首先可以根据1a b +=将2112a ab
+-化简为2a b b a +，然后根据基本不等式即可求出最小值. 【详解】
因为1a b +=，
所以2221()11222222a a a b a b a b ab ab b a b a
+++-=-=+≥⋅=， 当且仅当2a b b a
=，即21a =-、22b =-时取等号， 故答案为：2.
【点睛】
本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为()20,0a b ab a b +?>，在使用基本不等式的时
候要注意“=”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题. 16．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、
1P 、2P 、3P 、4P 、N 以及 N 、1Q 、2
Q 、3Q 、4Q 、E ．一只蚂蚁欲从点1 P 出发，沿正方体的表面爬行至4 Q ，则其爬行的最短距离为________．参考数据：cos90.9877︒=； cos180.9511 ︒=；cos270.8910︒=）
【答案】1.7820
【解析】
【分析】
根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数
表达式.根据所给参考数据即可得解.
【详解】
棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,M N E 分别为棱1,,AA AB AD 的中点，以 A 为圆心，1为
半径，分别在面11 ABB A 和面 ABCD 内作弧MN 和 NE .
将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面11ABB A 共面的位置，如下图所示：
则14180814410
P AQ ∠=⨯=o o ，所以142sin 72PQ =o ； 将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，将11ABB A 绕1AA 旋转至与平面11ADD A 共面的位置，如下图所示：
则14902901265
P AQ ∠=⨯+=o o ，所以142sin 63PQ =o ； 因为sin 63sin 72<o o ，且由诱导公式可得sin 63cos 27=o o ，
所以最短距离为142sin 6320.8910 1.7820PQ ==⨯=o ，
故答案为：1.7820.
【点睛】
本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱
导公式的应用，综合性强，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c
，且2sin 2cos a B b C =
+. （1）求tan B ；
（2
）若3a c ==，求b .
【答案】（1
）tan B =
（2）2b = 【解析】
【分析】 （1
）根据正弦定理到2cos B B =，得到答案.
（2
）计算cos B =
. 【详解】
（1
）由2sin 2cos a B b C =+
，可得2sin sin 2sin cos A C B B C =+
2sin()sin 2sin cos C B C B B C +=+
,2sin cos sin C B C B =
因为sin 0C >
，所以2cos B B =
，所以tan B =（2
）2cos 0B B =>，又因为22sin cos 1B B +=
，所以cos B =
因为2222cos b a c ac B =+-
，所以2592343
b =+-⨯
=，即2b =. 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.
18．本小题满分14分） 已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，
直线l
的参数方程为1,21x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度 【答案】15)2
1(2222=- 【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，
即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分
直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分
圆C 的圆心到直线l 的距离2
1=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)2
1(2222=-．……………14分 19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，点D ，E 分别在线段1AA ，1CC 上，且113
AD AA =，//DE AC ，F 是线段AB 的中点.
（Ⅰ）求证：//EF 平面11B C D ；
（Ⅱ）若AB AC ⊥，AB AC =，13AA AB =，求直线BC 与平面1B DE 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）
10. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）取1B D 中点为G ，根据几何关系，求证四边形1FGC E 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）取1B D 的中点G ，连接1C G ，FG .如下图所示：
因为F ，G 分别是线段AB 和1B D 的中点，
所以FG 是梯形1ADB B 的中位线，所以//FG AD .
又1//AD CC ，所以1FG//CC .
因为1//AD CC ，//DE AC ，
所以四边形ADEC 为平行四边形，所以AD CE =. 所以1123
C E CC =，111223
AD BB FG CC C E +===. 所以四边形1FGC E 为平行四边形，所以1//EF C G .
又EF ⊄平面11B C D ，1C G ⊂平面11B C D ，
所以//EF 平面11B C D .
（Ⅱ）因为AB AC ⊥，且1AA ⊥平面ABC ，
故可以A 为原点，AB u u u r
的方向为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设1AB AC ==，则13AA =，
所以(0,0,1)C ，(1,0,0)B ，1(1,3,0)B ，(0,1,0)D ，(0,1,1)E .
所以BC uuu r (1,0,1)=-，1B D u u u u r (1,2,0)=--，DE u u u r (0,0,1)=.
设平面1B DE 的法向量为n r
(,,)x y z =， 则100
n B D n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v r u u u v r 所以20,0.x y z +=⎧⎨=⎩ 可取n r (2,1,0)=-.
设直线BC 与平面1B DE 所成的角为θ，
则10sin 52
θ==⨯. 故可得直线BC 与平面1B DE 10【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
20．如图，在ABC ∆中，2AC =，3
A π
∠=，点D 在线段AB 上.
（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；
（2）若2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.
【答案】（1）36CD =
（233 【解析】
【分析】 （1）先根据平方关系求出sin CDA ∠,再根据正弦定理即可求出CD ；
（2）分别在ADC ∆和BDC ∆中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB ，再根据余弦定理求出AB ，即可根据1sin 2S AC AB A =
⋅⋅求出ABC ∆的面积． 【详解】
（1）由1
cos 3CDB ∠=-，得1cos 3CDA ∠=，所以22sin 3
CDA ∠=. 由正弦定理得，sin sin CD AC A CDA =∠32223
=364CD =. （2）由正弦定理，在ADC ∆中，
sin sin AD AC ACD ADC
=∠∠，① 在BDC ∆中，sin sin DB CB BCD BDC =∠∠，② 又sin sin ADC BDC ∠=∠，2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，
由①②
得7CB = 由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅，
即2742AB AB =+-，解得3AB =，
所以ABC ∆的面积133sin 22
S AC AB A =
⋅⋅=. 【点睛】
本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能
力，属于基础题．
21．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝C 1C ＝1，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.
（1）求证：直线MN ⊥平面ACB 1；
（2）求点C 1到平面B 1MC 的距离.
【答案】（1）证明见解析.（23【解析】
【分析】
（1）连接AC 1，BC 1，结合中位线定理可证MN ∥BC 1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC ⊥BC 1，BC 1⊥B 1C ，即可求证直线MN ⊥平面ACB 1；
（2）作MP BC ⊥交于点P ，通过等体积法，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，则有1111133
B M
C B C C S h S MP ⋅=⋅，结合几何关系即可求解 【详解】
（1）证明：连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点；
∵M 是AB 的中点.
所以：MN ∥BC 1；
∵A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴A 1A ⊥AC ，
在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1∥CC ，
∴AC ⊥CC 1，
∵∠ACB ＝90°，BC∩CC 1＝C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，
∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，
∴AC ⊥BC 1；又MN ∥BC 1
∴AC ⊥MN ，
∵CB ＝C 1C ＝1，
∴四边形BB 1C 1C 正方形，
∴BC 1⊥B 1C ，∴MN ⊥B 1C ，
而AC∩B 1C ＝C ，且AC ⊂平面ACB 1，CB 1⊂平面ACB 1，
∴MN ⊥平面ACB 1，
（2）作MP BC ⊥交于点P ，设C 1到平面B 1CM 的距离为h ，
因为MP 111122B CC S ==V ，， 所以111113M B CC B CC V S -=⋅V •MP 112=， 因为CM 22
=，B 1C 2=； B 1M 62
=，所以 所以：112B CM S =V CM•B 1M 34
=.
因为1111C B MC M B C C V V --=，所以1111133B MC B C C S h S MP ⋅=
⋅，解得3h = 所以点1C ，到平面1B MC 的距离为
3 【点睛】 本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题
22．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，PA AB =．
（Ⅰ） 证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ） 若F 为PD 上的动点，求EF 与平面PAD 所成最大角的正切值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）由底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，易证AE ⊥平面
PAD ，可得AE PD ⊥；
（Ⅱ）连结AF ，由（Ⅰ）易知AFE ∠为EF 与平面PAD 所成的角，在Rt PAD ∆中，可求得6tan AE AFE AF ∠==. 试题解析：（Ⅰ）∵ 四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，
∴ABC ∆为正三角形，又E 为BC 中点，
∴AE BC ⊥；又//AD BC ，
∴AE AD ⊥，
∵PA ⊥平面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，
∴PA AE ⊥，
∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，
∴AE PD ⊥；
(Ⅱ)连结AF ，由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，
∴AFE ∠为EF 与平面PAD 所成的角，
在Rt AEF ∆中，3AE =AFE ∠最大当且仅当AF 最短，
即AF PD ⊥时AFE ∠最大，
依题意，此时，在Rt PAD ∆中，PA AD PD AF ⋅=⋅，
∴2AF =6tan 2
AE AFE AF ∠==， ∴EF 与平面PAD 6
考点：1.线线垂直证明；2.求线面角.
23．若0,0a b >>,且11a b
+= （1）求33+a b 的最小值；
（2）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.
【答案】（1）（2）不存在.
【解析】
【分析】
（1）由已知11a b
+=，利用基本不等式的和积转化可求2ab ≥，利用基本不等式可将33+a b 转化为
ab ，由不等式的传递性，可求33+a b 的最小值；
（2）由基本不等式可求23a b +的最小值为
6>，故不存在．
【详解】
（111
a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==
故33+a b ≥≥a b ==
所以33+a b 的最小值为
（2）由（1）知，23a b +≥
由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=成立．
【考点定位】
基本不等式．。