高考数学第1轮总复习 12.5导数的应用(第3课时)课件 理(广西专版)

• 1g(x2)-f(1+x2)=k有四个不同的实根， • 求实2数k的取值范围.
• 解：令 x 1 g x2 f 1 x2 1 x2 ln(1 x2 )，
• •
则由φ′(x)＞x0，x1得 2xxx2(2x+11x)3(xx-x21)＞x0 x，1
• 所以Q(a)= 4(3- 1a)3 ( 9 ≤a≤25).
3
2
• 答 分：公司若一3≤年a＜的利，润92则L(当x)最每大件，售最价大为值9元时， Q(a)=9(6-a)万元；
• 若 ≤9a≤5，则当每件售价为(6+ a)2元时， 分公司2一年的利润L(x)最大，最大值 3 Q(a)=4(13- a)3万元.
第十二章 极限与导数
第
讲
（第三课时）
题型6 利用导数证明不等式
• 1. 证明：对任意的正整数n，
• •
不证等明式：令ln(函n1 数 1f)＞(xn)1=2 x3n-1x3 2+l都n(成x+立1).，
• 则 f x 3x2 2x 1x 1 3x3 x 12
(2)当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 10x0小时，设耗油量为 h(x)升，
依题意得：
h(x)＝(1281000x3－830x＋8)·10x 0 ＝12180x2＋80x0－145(0<x≤120)， 则 h′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x023(0<x≤120)． 令 h′(x)＝0，得 x＝80.
又 F(1)＝－61＜0，即 F(x)在(1，＋∞)上的最大值 小于零，
故 x＞1 时，F(x)＜0 恒成立，
即12x2＋lnx＜32x3.
题型7 利用导数解决方程根的问题
• 2. 设函数f(x)=x-ln(x+m)，其中m为常数. • 求证:当m＞1时，方程f(x)=0在区间 • ［e-m-m，e2m-m］内有两个不等实根. • 证明：当m＞1时，f(1-m)=1-m＜0， • f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m＞0， • f(e2m-m)=e2m-m-lne2m=e2m-3m.
• (1)求分公司一年的利润L(x)(万元)与每件产品的 售价x(元)的函数关系式；
• (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年 的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值Q(a).
• 解：(1)分公司一年的利润 L(x)(万元)与售价 x(元)的函数关系式为 L(x)=(x-3-a)(12-x)2,
已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地 到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 耗油最少？最少为多少升？
解：(1)当 x＝40 时，汽车从甲地到乙地行驶了14000＝2.5 小时，
要耗油(1281000×403－830×40＋8)×2.5＝17.5 升． 故当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地 到乙地耗油为 17.5 升．
• 点评：涉3 及实际问题的最值问题，一般是 利用函数知识来解决，即先建立函数关系， 把实际问题转化为数学问题，然后利用求 函数最值的方法求得最值.注意求得的解要 符合实际意义.
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表 示为：y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．
• 1.利用导数确定函数的单调区间，求函数的极 值和最值，是导数应用中的三类基本问题.对 变通后的变式问题或综合性问题，都要化归 为上述基本问题来解决.导数的应用与方程、 不等式等方面的知识联系密切，对运算、变 形能力有较高的要求.
• 2. 利用导数处理不等式问题，关键是构造函 数，然后将问题转化为研究函数的单调性或 最值，这是导数应用中的一个难点.
• 点评：方程根的问题，一是可以转化为 函数图象的交点问题，通过导数研究函
数图象的性质，再结合图象的性质观察
交点情况，由图象直观地得出相应的结 论；二是利用性质f(a)f(b)＜0(a<b，且 f(x)在区间(a，b)上是连续函数)，则方 程f(x)=0在(a，b)上至少有一个根.
• 已知函数f(x)=lnx，g(x)=x.若关于x的方程
解：(1)由已知 f′(x)＝x＋1x，
当 x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此 f(x)在[1，e]上为 增函数．
故[f(x)]max＝f(e)＝e22＋1，[f(x)]min＝f(1)＝12， 因而 f(x)在区间[1，e]上的值域为[21，e22＋1]．
(2)证明：令 F(x)＝f(x)－23x3＝－32x3＋21x2＋lnx， F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x x＋2x2， 因为 x＞1，所以 F′(x)＜0， 故 F(x)在(1，＋∞)上为减函数．
1
x
2 x
2

1
.
• 所以-1＜x＜0或x＞1.
• 由φ′(x)＜0，得x＜-1或0＜x＜1.
• 所以φ(x)在(-∞，-1)，(0，1)上是减函数，
• 在(-1，0)，(1，+∞)上是增函数.从而φ(0)=0为
φ(x)的极大值，φ(-1)=φ(1)= 1-ln2为φ(x)的极
小值且φ(x)为偶函数.
3
2
• ［L(x)］max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a)；
• ②当9≤6+ a2≤ ，28即 ≤a9≤5时，
• ［L(x)］max=L(36+
3
a2)
2
• =(6+ a2 -3-a)［12-(63+ 2a)］2=4(3- 1 a)3.
•
3 9(6-a)
3 (3≤a< 9 ) 3
.
• 所以当x∈［0，+∞)时，f ′(x)＞x 01，
• 所以函数f(x)在［0，+∞)上单调递增.
• 又f(0)=0，Fra bibliotek 所以，当x∈(0，+∞)时，恒有
• f(x)＞f(0)=0，即x3＞x2-ln(x+1)恒成立.
• 故当x∈(0，+∞)时，有ln(x+1)＞x2-x3.
• 对任意正整数n，取 x ∈1 (0，+∞)，
当 x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当 x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数． 所以，当 x＝80 时，h(x)取到极小值 h(80)＝11.25. 因为 h(x)在(0,120]上只有一个极小值， 所以它是最小值． 故当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地耗油最少，为 11.25 升．
• •
则 点有评：利ln(用n1 导 1数)＞证n12 明 n不13，等所式n以，结一论般成是立先. 根据
不等式的形式构造相对应的函数，然后利用
导数讨论此函数的单调性或最值，进一步得 到所需结论.
已知函数f(x)＝21x2＋lnx. (1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域； (2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3.
• x∈［9,11］.
• (2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)
• =(12-x)(18+2a-3x).
• 令L′(x)=0,得x=6+ a或2 x=12 • (不合题意，舍去). 3
• 因为3≤a≤5,所以8≤6+ a≤2 . 28 • 在x=6+ 2a两侧L′(x)的值由3正变负3， • 所以，①当38≤6+ a＜2 9，即3≤a＜ 时9 ，
• 令g(m)=e2m-3m(m＞1)， • 则g′(m)=2e2m-3＞0. • 所以g(m)在(1，+∞)上为增函数， • 从而g(m)＞g(1)=e2-3＞0，即f(e2m-m)＞0. • 所以f(e-m-m)f(1-m)＜0，f(e2m-m)f(1-m)＜0. • 因为f(x)为连续函数，所以存在 • x1∈(e-m-m，1-m)，x2∈(1-m，e2m-m)， • 使f(x1)=0，f(x2)=0. • 故方程f(x)=0在区间［e-m-m，e2m-m］ • 内有两个不等实根.
2
• 由此可得函数y=φ(x)
• 的草图如右.
• 若方程φ(x)=k
• 有四个不同的实根，则直线y=k与曲线y=φ(x)有 四个不同的公共点.由图知，实数k的取值范围 是1( -ln2，0).
2
题型8 利用导数解决实际问题
• 3. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成 本为3元，并且每件产品需向总公司交a元 (3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.
• 3.对于方程有解的条件分析，讨论根的个数， 确定根的范围等问题，一般转化为研究函数图 象的公共点问题.以导数为工具，先分析函数的 基本性质，再研究图象，是一种有效的办法.
• 4.解函数的最值的实际问题，首先把各变量用 各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变 量之间的关系，找出适当的函数关系式;
• 其次确定函数的定义区间，用数学知识求 得最大、最小值；最后所得结果要符合问 题的实际意义，即进行检验.如在区间内函 数只有一个点使f ′(x)=0，且在这点上函数 有极大或极小值，那么解实际问题时，可
以不与端点值进行比较，而直接可以得出 这就是最大或最小值.
• 解：因为f ′(x)=x2+ax+b，
• 所以f ′(1)=1+a+b.又
f 1 1 a b，
32
• 所以直线l的方程为
y ( 1 a b) (1 a b) ( x 1)， 32
即y 1 a b x 2 a .
32
令g x f x ［1 a b x 2 a］
参考题
题型 利用导数处理图象位置关系问题
• 已知函数 f x 1 x3 1 ax2 bx (a，b为常
数)的图象在点A(1，3 f(1))2处的切线为l，若l 在点A处穿过函数y=f(x)的图象(即动点在点 A附近沿曲线y=f(x)运动)，经过点A时，从l 的一侧进入另一侧，求实数a的值.
32
1 x3 1 ax2 a 1 x 2 a .
• 因为3切线l在2 点A处穿过y=3f(x)2的图象，
• 所以g(x)在x=1两边附近的函数值异号， • 从而x=1不是g(x)的极值点. • 因为g′(x)=x2+ax-(a+1)=(x-1)(x+a+1)， • 故若1≠-a-1， • 则x=1和x=-a-1都是g(x)的极值点， • 不合题意，所以-a-1=1，即a=-2.