第02章 整式与因式分解-2021年中考数学一轮复习(通用版)(含答案)

2021年中考数学一轮复习(通用版)第2章整式与因式分解考点梳理考点一列代数式及求值1．代数式的概念用加、减、乘、除、乘方、开方等把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．2．列代数式把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．3．代数式的求值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做求代数式的值.【点拨】代数式求值的一般方法：(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值．(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；①将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法；①把已知代数式看成一个整体代入求值．考点二整式及其运算1．单项式只含有数字与字母的的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式．(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．【点拨】在确定系数时不要遗漏数字前面的符号，如－12πa2b，系数是－12π，而不是12π或12.(2)一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数．2．多项式几个单项式的叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．一个多项式含有几项，这个多项式就是几项式，多项式中项的次数，就是这个多项式的次数．3．整式单项式与多项式统称为整式．4．同类项(1)同类项：多项式中，所含相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有项都是同类项．(2)合并同类项：把多项式中的合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的不变．5．整式的加减(1)整式加减的实质是．(2)去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项都不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c；括号前是“－”号，括号内每一项都，如a－(b＋c)＝a－b－c.(3)添加括号法则：括号前是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．6．整式的乘除(1)单项式乘单项式：把它们的、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的相同字母的幂作为的一个因式.如2a·3ab＝6a2b.(2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积.如m(a＋b)＝ma＋mb.(3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积.如(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.(4)单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除，作为的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的作为商的一个因式.如ma2÷na＝man(n≠0，a≠0).(5)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商.如(ma ＋mb)÷m＝a＋b(m≠0).7. 幂的运算8(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝．(2)完全平方公式：(a±b)2＝．考点三因式分解把一个多项式化为的形式叫做把这个多项式因式分解．1．因式分解的方法(1)提公因式法公式：ma＋mb＋mc＝．【点拨】公因式的确定：(1)取系数：取多项式中各项系数的最大公因数；(2)取字母：取各项中相同的字母；(3)取指数：取各项中相同字母的最低次幂．(2)公式法①平方差公式：a2－b2＝；①完全平方公式：a2±2ab＋b2＝；拓展内容：①十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝．①分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c).2．因式分解的步骤(1)若有公因式，要先提公因式，首项含有负号的，连同负号一起提出；(2)若多项式是二项式，考虑是否具备平方差公式的特点；(3)若多项式是三项式，考虑是否具备完全平方公式的特点；(4)若多项式是四项及以上，考虑局部提公因式或使用分组分解法，然后再继续分解；(5)检查因式分解是否彻底．重难点讲解考点一代数式求值方法指导：根据已知条件求代数式的值，有时需要将已知条件进行适当变形，或将已知关系式作为整体，直接代入所求代数式中进行计算．经典例题1 (2020•四川一模)已知3x－y＝－2，则代数式2020－3x＋y＝．【解析】原式＝2020－(3x－y)，∵3x－y＝－2，∴原式＝2020－(－2)＝2022．【答案】2022考点二整式的运算方法指导：进行整式的运算，要掌握整式的所有运算法则、公式，并按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行运算，有括号的可先算括号里的，也可以利用去括号法则先去括号.经典例题2 (2020•安徽模拟)下列各式中计算结果为x5的是( )A．x3＋x2B．x3﹒x2C．x﹒x3D．12x7－x2【解析】x3与x2不是同类项不能合并，故选项A不符合题意；x3﹒x2＝x5，故选项B符合题意；x﹒x3＝x4，故选项C不符合题意；12x7与－x2不是同类项不能合并，故选项D不符合题意．【答案】B考点三乘法公式的应用方法指导：乘法公式特殊的结构特点，特别是完全平方式的非负性使其在初中数学中具有广泛地应用，解决相关问题的关键是把握乘法公式的结构特点，能进行灵活变形，并具有整体性及方程思想．经典例题3 (2020•安徽合肥二模)若a＋b＝3，a2＋b2＝7－3ab，则ab等于( )A．2B．1C．－2D．－1【解析】∵a＋b＝3，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9，∴a2＋b2＝9－2ab，∵a2＋b2＝7－3ab，∴9－2ab＝7－3ab，解得ab＝－2.【答案】C考点四因式分解方法指导：首先要熟练掌握公式的结构特征，并牢记公式，“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式；分解因式的题目中，一般采用“一提、二套、三检查”的方法进行综合分析，即如果整式中含有公因式，要先提取公因式；如果没有公因式，考虑用公式法来分解；并检查因式分解是否彻底．经典例题4(2020•河北一模)分解因式：x3－4x2＋4x＝.【解析】x3－4x2＋4x＝x(x2－4x＋4)＝x(x－2)2.【答案】x(x－2)2过关演练1．(2020•安徽亳州二模)某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为( )A．(a－5%)(a＋9%)万元B．(a－5%＋9%)万元C．a(1－5%＋9%)万元D．a(1－5%)(1＋9%)万元2．(2020•辽宁模拟)下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是( )A．a2﹒a3B．(a2)3C．(a3)2D．a2﹒a43．(2020•浙江金华模拟)计算x6÷x2(x≠0)的结果是( )A．x3B．x－3C．x4D．x－44．(2020•青海模拟)把多项式4x －4x 3因式分解正确的是( ) A ．－x (x ＋2)(x －2) B ．x (x ＋2)(2－x ) C ．－4x (x ＋1)(1－x )D ．4x (x ＋1)(1－x )5．(2020•重庆)已知a ＋b ＝4，则代数式1＋2a ＋2b的值为( ) A ．3B ．1C ．0D ．﹣16．(2020•四川泸州)下列各式运算正确的是( ) A ．x 2＋x 3＝x 5B ．x 3﹣x 2＝xC ．x 2•x 3＝x 6D ．(x 3)2＝x 67．(2020•黑龙江绥化)下列计算正确的是( ) A ．b 2•b 3＝b 6B ．(a 2)3＝a 6C ．﹣a 2÷a ＝aD ．(a 3)2•a ＝a 68．(2020•山东德州)下列运算正确的是( ) A ．6a ﹣5a ＝1 B ．a 2•a 3＝a 5C ．(﹣2a )2＝﹣4a 2D ．a 6÷a 2＝a 39．(2020•江苏连云港)下列计算正确的是( ) A ．2x ＋3y ＝5xy B ．(x ＋1)(x ﹣2)＝x 2﹣x ﹣2C ．a 2•a 3＝a 6D ．(a ﹣2)2＝a 2﹣410．(2020•黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是( ) A ．a ＋2a ＝3a B ．(a ＋b )2＝a 2＋ab ＋b 2 C ．(﹣2a )2＝﹣4a 2D ．a •2a 2＝2a 211．(2020•江苏无锡)若x ＋y ＝2，z ﹣y ＝﹣3，则x ＋z 的值是( ) A ．5B ．1C ．﹣1D ．﹣512．(2020•浙江金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是()A．a2＋b2B．2a﹣b2C．a2﹣b2D．﹣a2﹣b2 13．(2020•四川甘孜州中考第22题4分)若m2﹣2m＝1，则代数式2m2﹣4m＋3的值为．14．(2020•贵州黔西南州)若7a x b2与﹣a3b y的和为单项式，则y x＝．15．(2020•贵州铜仁)因式分解：a2＋ab﹣a＝．16．(2020•浙江温州)分解因式：m2﹣25＝．17．(2020•贵州黔西南州)把多项式a3﹣4a分解因式，结果是．18．(2020•黑龙江齐齐哈尔)因式分解：3a2﹣48.19．(2020•浙江嘉兴)(1)计算：(2020)0＋|﹣3|；(2)化简：(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)．20．(2020•山东济宁)先化简，再求值：(x＋1)(x﹣1)＋x(2﹣x)，其中x＝12．参考答案考点梳理考点一 1.运算符号考点二 1.乘积 2.和次数最高 4.(1)字母常数(2)同类项指数 5.(1)合并同类项(2)变号 6.(1)系数积(2)相加(3)相加(4)商指数(5)相加7. a m＋n a m－n a mn a mp b npnnba8.(1)a2－b2(2)a2±2ab＋b2考点三n个最简整式的积(1)m(a＋b＋c) (2)①(a＋b)(a－b) ①(a±b)2 ①(x＋p)(x＋q)过关演练1. D 解析：先表示11月份利润为a(1－5%)万元，则12月份利润为a(1－5%)(1＋9%)万元．2. A 解析：分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一计算，得出选项A的正确结果为a2﹒a3＝a5；选项B的正确结果为(a2)3＝a6；选项C的正确结果为(a3)2＝a6；选项D的正确结果为a2﹒a4＝a6．3. C 解析：直接利用同底数幂的除法运算法则计算得原式＝x6－2＝x4．4. D 解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．即原式＝4x(1－x2)＝4x(x＋1)(1－x)．5. A 解析：当a＋b＝4时，原式＝1＋12(a＋b)＝1＋12×4＝1＋2＝3．6. D 解析：x2与x3不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；x2•x3＝x5，故选项C不合题意；(x3)2＝x6，故选项D符合题意．7. B 解析：b2•b3＝b5，故选项A不合题意；(a2)3＝a6，故选项B符合题意；﹣a2÷a＝﹣a，故选项C不合题意；(a3)2•a＝a7，故选项D不合题意．8. B 解析：6a﹣5a＝a，故选项A不符合题意；a2•a3＝a5，故选项B符合题意；(﹣2a)2＝4a2，故选项C 不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项D不符合题意．9. B 解析：2x与3y不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；(x＋1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2，故选项B 符合题意；a2•a3＝a5，故选项C不合题意；(a﹣2)2＝a2﹣4a＋4，故选项D不合题意．10. A 解析：a＋2a＝(1＋2)a＝3a，故选项A计算正确；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故选项B计算错误；(﹣2a)2＝4a2，故选项C计算错误；a•2a2＝2a3，故选项D计算错误．11. C 解析：∵x＋y＝2，z﹣y＝﹣3，∴(x＋y)＋(z﹣y)＝2＋(﹣3)，整理得：x＋y＋z﹣y＝2﹣3，即x＋z＝﹣1，则x＋z的值为﹣1．12. C 解析：a2＋b2不能运用平方差公式分解，故选项A错误；2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项B错误；a2﹣b2能运用平方差公式分解，故选项C正确；﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项D错误．13. 5 解析：∵m2﹣2m＝1，∴原式＝2(m2﹣2m)＋3＝2＋3＝5．14. 8 解析：∵7a x b2与﹣a3b y的和为单项式，∴7a x b2与﹣a3b y是同类项，∴x＝3，y＝2，∴y x＝23＝8．15. a(a＋b﹣1) 解析：原式＝a(a＋b﹣1)．16. (m﹣5)(m＋5) 解析：原式＝(m﹣5)(m＋5)．17. a(a＋2)(a﹣2) 解析：原式＝a(a2﹣4)＝a(a＋2)(a﹣2)．18. 解：3a2﹣48＝3(a2﹣16)＝3(a＋4)(a﹣4)．19. 解：(1)(2020)0|﹣3|＝1﹣2＋3＝2；(2)(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)＝a2﹣4﹣a2﹣a＝﹣4﹣a．20. 解：原式＝x2﹣1＋2x﹣x2＝2x﹣1，当x＝12时，原式＝2×12﹣1＝0．。