数学-高二-湖南邵阳邵东三中高二下第一次月考数学试卷(文科)

2015-2016学年湖南省邵阳市邵东三中高二（下）第一次月考数
学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（）
A．N∈M B．N∉M C．N=M D．N⊊M
2．已知i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，i5=i，由此可猜想i2006=（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
3．可作为四面体的类比对象的是（）
A．四边形B．三角形C．棱锥 D．棱柱
4．给出如下列联表
患心脏病患其它病合计
高血压20 10 30
不高血压30 50 80
合计50 60 110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？（）
（参考数据：P（K2≥6.635）=0.010，P（K2≥7.879）=0.005）
A．0.5% B．1% C．99.5% D．99%
5．函数y=x+1的零点是（）
A．0 B．﹣1 C．（0，0）D．（﹣1，0）
6．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23
7．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．
8．已知集合A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0}，则A∩B=（）
A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
9．已知函数f（x）=﹣x3，则下列说话正确的是（）
A．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是偶函数
10．的值为（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数y=2x+log2x在区间上的最大值是．
12．若复数z=（m﹣1）+（m+2）i对应的点在直线2x﹣y=0上，则实数m的值是．13．函数的定义域为．
14．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在上是单调函数，则k的取值范围是．
15．当n=1时，有（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
当n=2时，有（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
当n=3时，有（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
当n∈N*时，你能得到的结论是．
三、解答题（共6小题，满分60分）
16．计算下列各式：
（1）；
（2）．
17．阅读下文，然后画出该章的知识结构图．
推理与证明这一章介绍了推理与证明这两个知识点．推理这节包括合情推理和演绎推理；证明这节包括直接证明和间接证明．合情推理中有两种常用推理：归纳推理和类比推理．直接证明有综合法和分析法；间接证明通常用反证法．
18．已知a，b∈R，求证2（a2+b2）≥（a+b）2．
19．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．
20．当实数m为何值时，复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数．
21．某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据．
销售单价/元65 50 45 35 15
日销售量/件15 60 75 105 165
根据表中的数据回答下列问题：
（1）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？
（2）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；
（3）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（2）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润．
（提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析）
2015-2016学年湖南省邵阳市邵东三中高二（下）第一次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合M={1，2，3}，N={1}，则下列关系正确的是（）
A．N∈M B．N∉M C．N=M D．N⊊M
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】由集合与集合的关系结合题意易得结论．
【解答】解：∵M={1，2，3}，N={1}，
由集合与集合的关系可得N⊊M，
故选：D
2．已知i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，i5=i，由此可猜想i2006=（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】虚数单位i及其性质．
【分析】直接利用复数单位i的幂运算的周期性，求解即可．
【解答】解：由题意i1=i，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，i5=i，…可知，复数单位i的周期为：4，所以i2006=i501×4+2=i2=﹣1．
故选B．
3．可作为四面体的类比对象的是（）
A．四边形B．三角形C．棱锥 D．棱柱
【考点】类比推理．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形类比平面图形或立体图形．结合四面体的四个面彼此相连类比边首尾相连的平面图形即可．
【解答】解：因为四面体的四个面彼此相连，
类比平面图形，
则边首尾相连最简单的三角形，
得：可作为四面体的类比对象的是三角形．
故选B．
4．给出如下列联表
患心脏病患其它病合计
高血压20 10 30
不高血压30 50 80
合计50 60 110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？（）
（参考数据：P（K2≥6.635）=0.010，P（K2≥7.879）=0.005）
A．0.5% B．1% C．99.5% D．99%
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据表格数据和独立性试验的公式计算k2的值，从而查表即可判断．
【解答】解：由代入得，
k2=≈7.486＞6.635
查表得P（K2≥6.635）=0.01；
故有99%的把握认为高血压与患心脏病之间有关．
故选D．
5．函数y=x+1的零点是（）
A．0 B．﹣1 C．（0，0）D．（﹣1，0）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】直接令y=0，求解x的值即可，
【解答】解：令y=0，
∴x+1=0，
∴x=﹣1，
∴﹣1是函数的零点，
故选：B．
6．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】本题考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点（4，5）的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．
【解答】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选C
7．函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．
【解答】解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，
∴其图象必过点（1，1）．
故排除A、B，
又∵g（x）=21﹣x=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得
故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，
故排除D
故选C
8．已知集合A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0}，则A∩B=（）
A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：C．
9．已知函数f（x）=﹣x3，则下列说话正确的是（）
A．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数
B．f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是减函数
C．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
D．f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是偶函数
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】应用奇偶性的定义来判定f（x）的奇偶性，对f（x）求导，利用导数判定它的单调性．
【解答】解：∵f（x）=﹣x3的定义域是R，
且f（﹣x）=﹣（﹣x）3=﹣（﹣x3）=﹣f（x），
∴f（x）R奇函数，
又∵f′（x）=﹣3x2≤0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；
故选：B．
10．的值为（）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，是一个纯虚数．
【解答】解：∵
∴=，
故选C．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数y=2x+log2x在区间上的最大值是18．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性直接求解即可．
【解答】解：∵y=2x和y=log2x在区间上都是增函数，
∴y=2x+log2x在区间上为增函数，
即当x=4时，函数y=2x+log2x在区间上取得最大值y=y=24+log24=16+2=18，
故答案为：18
12．若复数z=（m﹣1）+（m+2）i对应的点在直线2x﹣y=0上，则实数m的值是4．【考点】复数的基本概念．
【分析】由于复数z=（m﹣1）+（m+2）i在复平面内的对应的点为（m﹣1，m+2），根据对应的点（m﹣1，m+2）在直线2x﹣y=0上，
故有2（m﹣1 ）﹣（m+2）=0，解方程求得实数m的值．
【解答】解：复数z=（m﹣1）+（m+2）i在复平面内的对应的点为（m﹣1，m+2），
由题意可得2（m﹣1 ）﹣（m+2）=0，
解得m=4，
故答案为4．
13．函数的定义域为（1，4）．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】对数函数的真数一定要大于0，分式中分母不为0．
【解答】解：要使得，等价于（1﹣x）（x﹣4）＞0，解得1＜x＜4
所以，函数f（x）的定义域为（1，4）
14．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在上是单调函数，则k的取值范围是（﹣∞，4064，+∞）．【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质知对称轴x=，在上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，≤5，或≥8，解出不等式组求出并集即可．
【解答】解：根据二次函数的性质知对称轴x=，
在上是单调函数则对称轴不能在这个区间上
∴≤5，或≥8，
得k≤40，或k≥64．
故答案为：（﹣∞，4064，+∞）．
15．当n=1时，有（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
当n=2时，有（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
当n=3时，有（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
当n∈N*时，你能得到的结论是．
【考点】归纳推理．
【分析】根据所给信息，可知各个等式的左边两因式中，一项为（a﹣b），另一项每一项的次数均为n﹣1，而且按照字母a的降幂排列，故可得答案．
【解答】解：由题意，当n=1时，有（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
当n=2时，有（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
当n=3时，有（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
当n=4时，有（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）=a5﹣b5；
所以得到猜想：当n∈N*时，有（a﹣b）（a n+a n﹣1b+…+ab n﹣1+b n）=a n﹣b n；
故答案为：（a﹣b）（a n+a n﹣1b+…+ab n﹣1+b n）=a n+1﹣b n+1．
三、解答题（共6小题，满分60分）
16．计算下列各式：
（1）；
（2）．
【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
【分析】（1）将各项的底数化为幂的形式，利用指数的运算法则求解即可．
（2）将化为3的分数指数幂形式，将lg25+lg4利用对数的运算法则化为lg100=2，由对数的意义知为2，结果可求出．
【解答】解：（1）原式=
=
==
（2）原式=
=
=
17．阅读下文，然后画出该章的知识结构图．
推理与证明这一章介绍了推理与证明这两个知识点．推理这节包括合情推理和演绎推理；证明这节包括直接证明和间接证明．合情推理中有两种常用推理：归纳推理和类比推理．直接证明有综合法和分析法；间接证明通常用反证法．
【考点】结构图．
【分析】知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，根据这一章介绍的知识，由此易画出知识结构图．
【解答】（本题满分为8分）
解：知识结构图如下：
18．已知a，b∈R，求证2（a2+b2）≥（a+b）2．
【考点】综合法与分析法(选修）．
【分析】直接利用分析法的证明步骤证明即可．
【解答】（本小题12分）证明：要证：2（a2+b2）≥（a+b）2
只要证2a2+2b2≥a2+b2+2ab
只要证a2+b2≥2ab
即（a﹣b）2≥0，而此式显然成立
所以2（a2+b2）≥（a+b）2成立
19．已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证a，b中至少有一个不小于0．
【考点】反证法与放缩法．
【分析】假设a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．
【解答】证明：假设a，b中没有一个不小于0，即a＜0，b＜0，所以a+b＜0．
又a+b=x2﹣1+2x+2=x2+2x+1=（x+1）2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个不小于0．
20．当实数m为何值时，复数z=（m2﹣2m﹣3）+（m2﹣1）i是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数．
【考点】复数的基本概念．
【分析】（1）由于复数z为实数，可得m2﹣1=0，解得m即可．
（2）由于复数z为虚数，可得m2﹣1≠0，解得即可．
（3）由于复数z为纯虚数，可得m2﹣2m﹣3=0，m2﹣1≠0，解得m即可．
【解答】解：（1）∵复数z为实数，∴m2﹣1=0，解得m=±1．
∴m=±1时，复数z为实数．
（2）∵复数z为虚数，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1．
∴m≠±1时，复数z为虚数．
（3）∵复数z为纯虚数，∴m2﹣2m﹣3=0，m2﹣1≠0，解得m=3．
∴m=3时，复数z为纯虚数．
21．某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据．
销售单价/元65 50 45 35 15
日销售量/件15 60 75 105 165
根据表中的数据回答下列问题：
（1）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？
（2）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；
（3）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（2）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润．
（提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析）
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）商场试销该商品的平均日销售利润是1860．
（2）函数模型为y=﹣3x+210（10≤x≤70）．
（3）当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．【解答】解：（1）设平均日销售利润为M，则
M=
=165+5×105+7×75+8×60+11×15=1860．
（2）依题意，根据点的分布特征，可考虑以y=kx+b作为刻画日销售量与销售单价之间关
系的函数模型，取其中的两组数据（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：，
解得，k=﹣3，b=210
这样，得到一个函数模型为y=﹣3x+210（10≤x≤70）．
将其他已知数据代入上述解析式知，它们也满足这个解析式，即这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求的函数解析式能较好地反映销售量与销售单价之间的关系．（3）设经营此商品的日销售利润为P元，由（2）知
P=xy﹣10y=x（﹣3x+210）﹣10（﹣3x+210）=﹣3（x﹣40）2+2700（10≤x≤70）
∴x=40时，P有最大值为2700．
即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．
2016年10月19日。