圆周运动2

第3讲圆周运动[考试标准]
知识内容圆周运动、向心加速度、向心力生活中的圆周运动
考试要求d c
一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．运动参量
定义、意义公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体沿圆弧运
动快慢的物理量(v)
(1)v＝
Δs
Δt＝
2πr
T
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理
量(ω)
(1)ω＝
Δθ
Δt＝
2π
T
(2)单位：rad/s
周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝
2πr
v＝
2π
ω，单位：s
(2)f＝
1
T，单位：Hz
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理
量(a n)
(2)方向指向圆心
(1)a n＝
v2
r＝rω
2
(2)单位：m/s2
自测1下列关于匀速圆周运动的说法正确的是()
A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
B．向心加速度大小和方向都不变
C．物体所受合力全部用来提供向心力
D．向心力总是沿半径指向圆心，是一个恒力
答案 C
二、匀速圆周运动的向心力 1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小． 2．大小
F ＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2
T 2r ＝mωv ＝4π2mf 2r .
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力． 4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供． 判断正误 (1)因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力．( × ) (2)物体做匀速圆周运动时，因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小．( √ )
(3)物体做匀速圆周运动时，向心力一定由物体所受的合外力提供．( √ ) 三、生活中的圆周运动 1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨) 2．竖直面内的圆周运动 (1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力． (2)水流星、绳模型、内轨道
最高点：当v ≥gR 时，能在竖直平面内做圆周运动；当v <gR 时，不能到达最高点． 3．离心运动
(1)定义：做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动． (2)受力特点
当F 合＝mω2r 时，物体做匀速圆周运动； 当F 合＝0时，物体沿切线方向飞出； 当F 合<mω2r 时，物体逐渐远离圆心． 当F 合＞mω2r 时，物体做近心运动．
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的合外力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
自测2 下列现象中，与离心现象无关的是( ) A ．运动员投掷铅球时，抛射角在42°左右
B ．通过旋转雨伞来甩干伞上的雨滴
C ．汽车转弯时速度过大，乘客感觉往外甩
D ．用洗衣机脱去湿衣服中的水 答案 A
1．对公式v ＝ωr 的理解 当r 一定时，v 与ω成正比； 当ω一定时，v 与r 成正比； 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2
r
＝ω2r 的理解
在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .
图1
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B .
图2
(3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v 与r 成正比．
图3
例1 (2019·安徽合肥市调研)A 、B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是3∶2，运动方向改变的角度之比是2∶1，则( ) A ．A 、B 两艘快艇的线速度大小之比为2∶3 B ．A 、B 两艘快艇的角速度之比为1∶2 C ．A 、B 两艘快艇做圆周运动的半径之比为1∶3 D ．A 、B 两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1 答案 D
解析 根据线速度v ＝s
t 可知，A 、B 两艘快艇的线速度大小之比为3∶2，选项A 错误；根据
角速度ω＝θ
t ，运动方向改变的角度等于做圆周运动转过的角度，则A 、B 两艘快艇的角速度
之比为2∶1，选项B 错误；根据圆周运动的半径r ＝v
ω，由线速度大小之比为3∶2，角速度
大小之比为2∶1，可知A 、B 两艘快艇做圆周运动的半径之比为3∶4，选项C 错误；根据a ＝v ω，可知A 、B 两艘快艇的向心加速度大小之比为3∶1，选项D 正确．
变式1 (2019·湖北武汉市模拟)如图4所示，由于地球的自转，地球表面上P 、Q 两物体均绕地轴做匀速圆周运动，对于P 、Q 两物体的运动，下列说法正确的是( )
图4
A ．P 、Q 两点的角速度相等
B ．P 、Q 两点的线速度大小相等
C ．P 点的线速度比Q 点的线速度大
D ．P 、Q 两点的向心加速度大小相等 答案 A
解析 P 、Q 两点都绕地轴做匀速圆周运动，角速度相等，即ωP ＝ωQ ，选项A 对；根据圆周运动线速度v ＝ωR ，向心加速度a ＝ω2R ，P 、Q 两点到地轴的距离不等，Q 点到地轴的距离远，圆周运动半径大，线速度大，向心加速度大，选项B 、C 、D 错误．
变式2 (2019·浙江浙南名校联盟高三期末)如图5所示为“行星传动示意图”．中心“太阳轮”的转动轴固定，其半径为R 1，周围四个“行星轮”的转动轴固定，其半径均为R 2，“齿圈”的半径为R 3，其中R 1＝1.5 R 2，A 、B 、C 分别是“太阳轮”、“行星轮”、“齿圈”边缘上的点，齿轮传动过程不打滑，那么( )
图5
A．A点与B点的角速度相同
B．A点与B点的线速度大小之比为3∶2
C．B点与C点的转速之比为7∶2
D．A点与C点的周期之比为3∶5
答案 C
解析由题图可知，A点与B点为齿轮传动，B与C也是齿轮传动，线速度大小相等，所以A与C的线速度大小也相等；由题图可知：R3＝2R2＋R1＝2R2＋1.5R2＝3.5R2
由T＝2πR v，可得T B
T C ＝R2
R3
＝2
7
，故B点与C点的转速之比为n B
n C
＝T C
T B
＝7
2
，同理，T A
T C
＝R1
R3
＝3
7.
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．运动模型
运动模型向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
3．分析思路
例2如图6所示，细绳一端系着静止在水平圆盘上质量M＝0.5 kg的物体A，另一端通过圆盘中心的光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体B，物体A与小孔距离为r＝0.4 m(物体A可看成质点)，已知A和水平圆盘的最大静摩擦力为2 N．现使圆盘绕中心轴线转动，角速度ω在什么范围内，B会处于静止状态？(g取10 m/s2)
图6
答案 5 rad/s≤ω≤5 rad/s
解析设物体A和圆盘保持相对静止，当ω具有最小值时，A有向圆心O运动的趋势，所以A受到的静摩擦力方向沿半径向外．
当摩擦力等于最大静摩擦力时，对A受力分析有
F－F f＝Mω12r，
又F ＝mg ，ω1＝
mg －F f
Mr
＝ 5 rad/s 当ω具有最大值时，A 有远离圆心O 运动的趋势，A 受到的最大静摩擦力指向圆心．对A 受力分析有
F ＋F f ＝Mω22r ，又F ＝mg ， 解得ω2＝
mg ＋F f
Mr
＝5 rad/s ， 所以ω的范围是 5 rad/s ≤ω≤5 rad/s.
变式3 如图7所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速运动，下列说法中正确的是( )
图7
A ．物块处于平衡状态
B ．物块受三个力作用
C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D ．在物块到转轴的距离一定时，物块运动周期越小，物块越不容易脱离圆盘 答案 B
解析 对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力，合力提供向心力，A 错误，B 正确；根据向心力公式F n ＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，C 错误；ω＝2π
T ，则F n ＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可知当物块到转轴的距离一定时，周期越小，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘，D 错误．
变式4 (2019·浙江温州市联考)环球飞车是一场将毫无改装的摩托车文化与舞台进行演绎的特技表演．某日在银泰城进行了精彩的环球飞车表演，如图8所示，在舞台中固定一个直径为6.5 m 的球形铁笼，若其中有一辆摩托车在与球心共面的水平圆面上做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
图8
A．摩托车受摩擦力、重力、弹力和向心力的作用
B．摩托车做圆周运动的向心力由弹力提供
C．在此圆周运动中摩托车受到的弹力不变
D．摩托车受到水平圆面内与运动方向相同的摩擦力
答案 B
解析摩托车受摩擦力、重力、弹力，其中弹力充当向心力，不是受到向心力，故A错误，B正确；弹力充当向心力，方向时刻变化，故C错误；摩托车受到竖直向上的摩擦力，故D 错误．
变式5(2018·浙江11月选考·9)如图9所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()
图9
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
答案 D
解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽
，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静车转弯的速度为20 m/s时，根据F n＝m v2
R
摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a m＝F f
＝
m 7.0 m/s2，D正确．
1．运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动．
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒．
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点时的速度．
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形． 2．常见模型
物理情景 最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
受力特征
除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学方程
mg ＋F 弹＝m v 2
R
mg ±F 弹＝m v 2
R
临界特征
F 弹＝0
mg ＝m
v min 2R
即v min ＝gR
v ＝0 即F 向＝0 F 弹＝mg 过最高点的条件 在最高点的速度v ≥gR
v ≥0 模型归纳
轻绳模型
轻杆模型
模型1 轻绳模型
例3 如图10甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F T ，小球在最高点的速度大小为v ，其F T －v 2图象如图乙所示，则( )
图10
A ．轻质绳长为ma
b
B ．当地的重力加速度为a
m
C ．当v 2＝c 时，在最高点轻质绳拉力大小为ac
b
＋a
D ．若v 2＝b ，小球通过最高点时处于完全失重状态，不受力的作用 答案 B
解析 小球在最高点时，根据牛顿第二定律：F T ＋mg ＝m v 2L ，解得：F T ＝m v 2
L －mg ，可知纵
轴截距的绝对值为a ＝mg ，g ＝a m ，图线的斜率k ＝a b ＝m L ，解得轻质绳的长度：L ＝mb
a ，故A
错误，B 正确；当v 2＝c 时，轻质绳的拉力大小为：F T ＝m c L －mg ＝ac
b －a ，故C 错误；当v 2
＝b 时，在最高点轻质绳拉力为零，小球所受重力提供其做圆周运动的向心力，故D 错误． 变式6 如图11，半径为R 的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m 的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( )
图11
A ．3mg
B ．4mg
C ．5mg
D ．6mg
答案 D
解析 设小球经过最高点时速度大小为v ，经过最低点时速度大小为v 1，小球恰好能通过圆环的最高点，则在最高点时，小球对圆环的压力为零，由重力提供向心力，即mg ＝m v 2
R ，由
最高点运动到最低点，根据机械能守恒定律得mg ·2R ＋12m v 2＝1
2
m v 12，在最低点，根据牛顿第
二定律得F N－mg＝m v12
，联立以上各式解得F N＝6mg，根据牛顿第三定律可知，小球在轨
R
道最低点处对轨道的压力大小为6mg，选项D正确．
模型2轻杆模型
例4(2019·浙江诸暨中学期末)如图12所示，长为l的轻杆，一端固定一个可视为质点的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度
为v，下列叙述中不正确
．．．的是()
图12
A．v的值可以小于gl
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由gl逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由gl逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
答案 D
解析轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故v的值可以小于gl，选项A正确；由F n＝m v2
知，当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐
l
，增大，选项B正确；当v＞gl时，杆对小球提供的是拉力，由牛顿第二定律得F＋mg＝m v2
l 故当v由gl逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C正确；当v＜gl时，杆对小球
，故当v由gl逐渐减小时，杆对小球的弹提供的是支持力，由牛顿第二定律得mg－F＝m v2
l
力逐渐增大，选项D错误．
变式7如图13所示，内壁光滑的大圆管，用一细轻杆固定在竖直平面内；在管内有一小
球(可视为质点)做圆周运动．下列说法不正确
．．．的是()
图13
A ．小球通过最低点时，小球对圆管的压力向下
B ．小球通过最高点时，小球对圆管可能无压力
C ．细杆对圆管作用力的大小一定大于圆管重力的大小
D ．细杆对圆管作用力的大小可能会大于圆管和小球总重力的大小 答案 C
解析 小球通过最低点时，小球受到重力、圆管向上的支持力，合力指向圆心，根据牛顿第三定律，小球对圆管的压力向下，选项A 正确；当小球通过最高点时，若速度为gR ，圆管对小球的弹力为零，小球对圆管无压力，选项B 正确；以圆管和球组成的整体为研究对象，当小球的向心加速度向上(或分量向上)时；细杆对圆管作用力的大小会大于圆管和小球总重力的大小；当小球的向心加速度向下(或分量向下)时，细杆对圆管作用力的大小小于圆管和小球总重力的大小，选项C 错误，D 正确． 模型3 凹形桥与拱形桥模型
概述
当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F n ＝F N －
mg ＝m v 2
r
F N －mg ＝m v 2
r
规律
桥对车的支持力F N ＝mg ＋m v 2
r ＞mg ，汽车处于超
重状态
概述
当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F n ＝mg
－F N ＝m v 2
r
mg －F N ＝m v 2
r
规律
桥对车的支持力F N ＝mg －m v 2
r
＜mg ，汽车处于失
重状态．若v ＝gr ，则F N ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
例5 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力大小F N1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力大小为F N2，则F N1与F N2之比为( ) A ．3∶1
B ．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
答案 C
解析汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，如图甲所示，由牛顿第三定律可知，汽车受到桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即F N1′＝F N1
由牛顿第二定律可得mg－F N1′＝m v2
R
同理，如图乙所示，F N2′＝F N2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有F N2′－mg＝m v2
R
由题意可知F N1＝1
2mg，
联立解得F N1∶F N2＝1∶3.
1.如图1所示，洗衣机的脱水筒采用电机带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中不正确
．．．的是()
图1
A．脱水过程中，大部分衣物紧贴筒壁
B．水会从筒中甩出是因为水滴受到的离心力很大
C．加快脱水筒转动的角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
答案 B
解析水滴随衣物一起做圆周运动时，水滴与衣物间的附着力提供水滴所需的向心力．当脱水筒转得比较慢时，水滴与衣物间的附着力足以提供所需的向心力，使水滴做圆周运动；脱
水筒转动速度加快时，所需的向心力将增大，当水滴与衣物间的附着力不足以提供水滴所需的向心力时，水滴做离心运动，穿过网孔，飞到脱水筒外面；靠近中心的衣物上的水滴所需的向心力较小，故选项A、C、D正确，B错误．
2．如图2所示，手表指针的运动可看成匀速运动，下列说法中正确的是()
图2
A．秒针、分针、时针转动周期相同
B．秒针的角速度最大，时针的角速度最小
C．秒针上A、B两点线速度一样大
D．秒针上A、B两点向心加速度一样大
答案 B
3.如图3所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有()
图3
A．线速度v A<v B
B．运动周期T A>T B
C．它们受到的摩擦力F f A>F f B
D．筒壁对它们的弹力F N A>F N B
答案 D
解析由于两物体同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，r A>r B，所以v A>v B，A项错误；由于ω相等，则T相等，B项错误；因竖直方向受力平衡，F f＝mg，所以F f A＝F f B，C项错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，根据F N＝F n＝mrω2，r A＞r B，故F N A>F N B，D项正确．
4.(2019·浙江名校新高考研究联盟二次联考)如图4所示，某自行车运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做半径为R的匀速圆周运动．若将该运动员和自行车看成一个整体，重力加速度为g，则该整体()
图4
A．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
B．其中的自行车车轮一定受到沿垂直于运动方向的摩擦力C．向心加速度大小一定为g sin θ
D．向心加速度大小一定为v2 R
答案 D
解析整体受重力、支持力，还可能受摩擦力作用，A项错误；由于赛道倾斜，可能重力、支持力的合力恰好提供向心力，即没有向上或向下的滑动趋势，不受摩擦力，B项错误；向
心加速度的大小一定为a＝v2
R
，但不一定为g sin θ，故C项错误，D项正确．
5．如图5所示，山崖边的公路常常称为最险公路，一辆汽车欲安全通过此弯道公路(公路水
平，可视为圆弧)，下列说法不正确
．．．的是()
图5
A．若汽车以恒定的角速度转弯，选择内圈较为安全
B．若汽车转弯时线速度大小恒定，选择外圈较为安全
C．汽车在转弯时受到重力、支持力和摩擦力作用
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
答案 D
解析由题意知公路水平，汽车在转弯时做圆周运动，受到摩擦力、重力和支持力，向心力由摩擦力提供，故C正确，D错误；如果汽车以恒定的角速度转弯，根据F n＝mω2r，在内圈时转弯半径小，所需向心力小，故摩擦力小，不容易打滑，较安全，故A正确；若汽车转弯
时线速度大小恒定，根据F n＝m v2
r
，在外圈时转弯半径大，则在外圈时所需向心力小，故摩擦力小，不容易打滑，较安全，故B正确．
6.如图6所示，某拱形桥的顶部可视为一段圆弧，这段圆弧对应的半径为10 m，当一辆小汽
车(可视为质点)以一定速度v经过该桥顶时(g取10 m/s2)，以下说法正确的是()
图6
A ．当v ＝36 km/h 时，车对桥面的压力等于重力
B ．当v ＝54 km/h 时，车能贴着桥面，安全通过拱形桥
C ．无论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力
D ．当v ＝18 km/h 时，车对桥面的压力是重力的0.25倍 答案 C
解析 在桥顶，根据牛顿第二定律得：mg －F N ＝m v 2
R ，当车对桥面的压力等于重力时，F N ＝
mg ，解得：v ＝0，故A 错误；当F N ＝0时，有最大速度，解得v ＝gR ＝10 m/s ＝36 km/h,54 km/h>36 km/h ，所以车不能安全通过拱形桥，故B 错误；F N ＝mg －m v 2
R ，因v 2≥0，所以无
论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力，故C 正确；v ＝18 km/h ＝5 m/s ，支持力F N ＝mg －m v 2
R ＝0.75mg ，由牛顿第三定律知车对桥面的压力是重力的0.75倍，故D 错误．
7.飞机由俯冲到拉起的过程中(如图7所示)，飞行员处于超重状态，此时座椅对飞行员的支持力大于飞行员所受的重力，这种现象叫过荷．过荷过重会造成飞行员四肢沉重，大脑缺血，暂时失明，甚至昏厥．受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的影响．g 取10 m/s 2，则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲、拉起的速度为100 m/s 时，圆弧轨道的最小半径为( )
图7
A ．100 m
B ．111 m
C ．125 m
D ．250 m 答案 C
解析 在飞机经过最低点时，对飞行员受力分析，受重力mg 和支持力F N ，两者的合力提供向心力，由题意知，当F N ＝9mg 时，圆弧轨道半径最小为R min .由牛顿第二定律可得，F N －mg ＝m v 2R min ，联立解得R min ＝v 28g
＝125 m ，故选项C 正确．
8.如图8所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外轨内表面光滑，内轨外表面粗糙．一质量为m 的小球从轨道的最低点以初速度v 0向右运动，球的直径略小于两轨间距，球运动的轨道半径为R ，重力加速度为g ，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
图8
A ．当v 0＝2gR 时，小球最终停在最低点
B ．当v 0＝2gR 时，小球可以到达最高点
C ．当v 0＝5gR 时，小球始终做完整的圆周运动
D ．当v 0＝5gR 时，小球在最高点时对内轨的外表面有挤压 答案 C
解析 若v 0＝2gR ，则由1
2m v 02＝mgh 可知，h ＝R ，则小球能到达与圆轨道圆心等高处，后
反向返回，在最低点两侧做往返运动，选项A 错误；若v 0＝2gR ，且轨道的内外壁均光滑时，小球到达最高点的速度恰好为零，但是因轨道内轨外表面粗糙，则小球与内轨接触时要损失机械能，故小球不能到达最高点，选项B 错误；若小球运动时只与轨道的外轨接触而恰能到达最高点，则到达最高点时满足mg ＝m v 2R ，从最低点到最高点由机械能守恒可知，1
2m v 02
＝mg ·2R ＋1
2m v 2，解得v 0＝5gR ，由此可知当v 0＝5gR 时，小球始终做完整的圆周运动，
且沿外轨道恰能运动到最高点，选项C 正确，D 错误．
9.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，高山滑雪是最引人瞩目的项目之一．现假设有一运动员经过一段半径为R 的圆弧轨道，如图9所示，当他滑到最低点时速度大小为v ，若运动员和滑雪板的总质量为m ，滑雪板与雪道之间的动摩擦因数为μ，运动员和滑雪板可看成质点，重力加速度为g ，则关于运动员和滑雪板整体在圆弧轨道最低点的分析正确的是( )
图9
A ．受重力、弹力、摩擦力和向心力四个力作用
B ．受到的向心力为mg ＋m v 2
R
C ．受到的摩擦力为μ⎝⎛⎭
⎫mg ＋m v
2
R
D ．受到的合力方向斜向左上方 答案 C
解析 在最低点，运动员和滑雪板整体受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，如图所示，选项A 、B 错误；在最低点，由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 2
R ，F f ＝μF N ，由以上两式解得F f
＝μ⎝⎛⎭
⎫mg ＋m v
2
R ，选项C 正确；由力的合成可知，运动员和滑雪板整体所受合力方向斜向右上方，选项D 错误．
10.(2019·浙江绍兴市3月选考模拟)为了提高一级方程式赛车的性能，在形状设计时要求赛车上下空气存在一个压力差(即气动压力)，从而增大赛车对地面的正压力．如图10所示，一辆总质量为600 kg 的赛车以288 km/h 的速率经过一个半径为180 m 的水平弯道，转弯时赛车不发生侧滑，侧向附着系数(正压力与摩擦力的比值)η＝1，取g ＝10 m/s 2，则赛车转弯时( )
图10
A ．向心加速度大小约为460 m/s 2
B ．受到的摩擦力大小约为3×105 N
C ．受到的支持力大小约为6 000 N
D ．受到的气动压力约为重力的2.6倍 答案 D
解析 288 km/h ＝80 m/s
根据向心加速度公式a ＝v 2
R ≈36 m/s 2，故A 错误；
因为摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得： F f ＝m v 2R
≈21 333 N ，故B 错误；
因为摩擦力F f ＝ηF N ＝η(mg ＋F )，则汽车所受支持力F N ＝F f
η＝21 333 N ，气动压力F ＝F N －
mg ＝15 333 N ，
则
F mg ＝15 333 N 600×10 N
≈2.6，故C 错误，D 正确． 11.为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，如图11所示，AB 为进入弯道前的平直公路，BC 为水平圆弧形弯道，已知AB 段的距离s AB ＝14 m ，弯道半径R ＝24 m ，汽车到达A 点时速度v A ＝16 m/s ，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s 2，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求：
图11
(1)汽车在弯道上行驶的最大速度的大小；
(2)汽车在AB 段做匀减速运动的最小加速度的大小． 答案 (1)12 m/s (2)4 m/s 2
解析 (1)汽车在弯道上行驶速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律知：μmg ＝m v 2R
可得v ＝μgR ＝12 m/s ；
(2)汽车在AB 段做匀减速直线运动，在弯道以最大速度行驶时，减速运动的加速度最小，则v 2－v A 2＝2as AB ，
解得a ＝－4 m/s 2，即最小加速度的大小为4 m/s 2.
12．如图12甲所示，与轻绳相连的滑块置于水平圆盘上，绳的另一端固定于圆盘中心的转轴上，绳子刚好伸直且无弹力，绳长r ＝0.5 m ，滑块随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)，滑块的质量m ＝1.0 kg ，与水平圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s 2.求：
图12
(1)圆盘角速度ω1＝1 rad/s 时，滑块受到静摩擦力的大小； (2)圆盘的角速度ω2至少为多大时，绳中才会有拉力；
(3)在图乙中画出圆盘角速度ω由0缓慢增大到4 rad/s 时，轻绳上的拉力F 与角速度大小的。