人教A版数学选修4评估验收卷(一).docx

评估验收卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列命题中正确的是( ) A ．a －c ＞b －d B.a d ＞b c
C ．ac ＞bd
D ．c －b ＞d －a
解析：a ＞b ⇒－b ＞－a ，① c ＞d ，②
①＋②可得c －b ＞d －a . 答案：D
2．若不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜1
2，则实
数m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，13 B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，43 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，43 D ．(－1，3)
解析：根据题意，得不等式m －1＜x ＜m ＋1，设此命题为p ，命题13＜x ＜1
2
为q . 则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥1
2
(等号不同时成立)．
解得－12≤m ≤4
3.
答案：B
3．(2015·天津卷)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由|x －2|＜1解得1＜x ＜3.因为“1＜x ＜2”能推出“1＜x ＜3”，“1＜x ＜3”推不出“1＜x ＜2”，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件．
答案：A
4．设a ＞b ＞0，则a 2
＋1ab ＋1
a （a －
b ）
的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：a 2
＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2
－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）
＝
a (a －
b )＋
1a （a －b ）
＋ab ＋1
ab ≥2＋2＝4，
当且仅当a (a －b )＝1，且ab ＝1，
即a ＝2，b ＝2
2
时取等号． 答案：D
5．设x 、y 、z ＞0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3·z 的大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：由x 、y 、z ＞0及a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n
a 1a 2…a n (其中a 1＞0，…
a n ＞0)，
所以x 2y 3
z ＝x 2·x
2
·y ·y ·y ·4z ≤
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z 6
6＝1. 答案：A
6．不等式|x |＞2x －1
的解集为( )
A ．{x |x ＞2或x ＜－1}
B ．{x |－1＜x ＜2}
C ．{x |x ＜1或x ＞2}
D ．{x |1＜x ＜2}
解析：|x |＞2x －1
⇒⎩⎨⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎨⎧x ＜21－x ，x ＜0， 解得x ＜1或x ＞2. 答案：C
7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.9
2
D.112
解析：因为2xy ＝x ·(2y )≤⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋2y 22
，
所以上式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. 又因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号，故选B. 答案：B
8．若实数x ，y 满足1x 2＋1
y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )
A ．最大值3＋2 2
B ．最小值3＋2 2
C ．最大值6
D ．最小值6
解析：由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x
2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x
2
y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2
x
2时，等号成立，故选B.
答案：B
9．|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，正数a 的取值范围是( )
A ．(5－2，＋∞)
B ．(0，5－2]
C ．[5－2，＋∞)
D ．(5－2，5＋2)
解析：依题意可知{x ||x －2|＜a }⊆{x ||x 2－4|＜1}， 因为|x －2|＜a ⇔2－a ＜x ＜2＋a ，
|x 2－4|＜1⇔3＜x 2＜5⇔－5＜x ＜－3或3＜x ＜5，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥3，2＋a ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－5，
2＋a ≤－ 3.
又因为(3＋5)2＜16，所以2－3＞5－2. 又因为a ＞0，所以0＜a ≤5－2. 答案：B
10．若不等式⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＞|a －5|＋1对一切非零实数x 均成立，则实
数a 的取值范围是( )
A ．R
B ．a ＞5
C ．4＜a ＜6
D ．4≤a ≤5
解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1x ≥2
|x |·1
|x |
＝2，
所以|a －5|＋1＜2，即|a －5|＜1，所以4＜a ＜6. 答案：C
11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1. 若函数f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，则5－2m ＞1，则m ＜2.
故p ⇒q ，q p .
答案：A
12．不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围为( )
A ．(－∞，0)
B ．[－1，0]
C ．[0，1]
D ．[0，＋∞)
解析：(图象法)：由已知得y ＝|x ＋1|的图象始终位于y ＝kx 图象的上方，如图易知0≤k ≤1.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．不等式⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
x ＋2x ＜1的解集为________． 解析：因为x ≠0，所以|x ＋2|＜|x |， 即(x ＋2)2＜x 2.所以x ＋1＜0. 所以x ＜－1.
所以原不等式的解集为{x |x ＜－1}． 答案：{x |x ＜－1}
14．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．
解析：|2x ＋1|－2|x －1|＞0⇔|2x ＋1|＞2|x －1|⇔(2x ＋1)2＞4(x －1)2
⇔12x ＞3⇔x ＞1
4
，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪⎪x ＞14 15．设a ＞b ＞0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y .
解析：因为a ＞b ＞0.
所以x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b )＝b
a ＋
b ＋a
－
b a ＋a －b ＝b （a －b －a ＋b ）（a ＋b ＋a ）（a ＋a －b ）
＜0.
所以x ＜y . 答案：＜
16．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象
恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________．
解析：f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， 即为|x －2|＞－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|＞m 恒成立． 又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥ |(x －2)－(x ＋3)|＝5，
于是得m ＜5，即m 的取值范围是(－∞，5)． 答案：(－∞，5)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若0＜a ＜b ＜1，试比较m ＝a ＋1
a 与n ＝b
＋1
b
的大小． 解：m －n ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫
b ＋1b ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a －1b ＝(a －b )＋b －a ab ，
即m －n ＝(a －b )⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－1ab ，
而0＜a ＜b ＜1，则0＜ab ＜1，a －b ＜0， 所以1－
1
ab
＜0. 所以m －n ＞0，即m ＞n .
18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值． 解：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x －5，x ≤－12
，
3x －3，－12
＜x ＜4，
x ＋5，x ≥4.
作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，
它与直线y ＝2的交点为(－7，2)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫53，2. 所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
53，＋∞. (2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－1
2时，y ＝|2x
＋1|－|x －4|取得最小值－9
2
.
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；
(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，
当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；
当－1＜x ＜2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2， 所以3
2
≤x ＜2.
当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．
所以不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞. (2)因为f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以|a －2|≥3. 所以a ≥5或a ≤－1.
所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．
20．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．
(1)证明：由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1
a －（x －a ）＝
1
a
＋a ＞2. 所以f (x )≥2.
(2)解：f (3)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
3＋1a ＋|3－a |.
当a ＞3时，f (3)＝a ＋1
a ，
由f (3)＜5得3＜a ＜5＋21
2.
当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1
a ，
由f (3)＜5得
1＋5
2
＜a ≤3. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋52
，
5＋212. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；
(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2， ①当x ≥1
2时，不等式为3x ≥2，
解得x ≥23，故x ≥2
3
；
②当－1≤x ＜1
2时，不等式为2－x ≥2，
解得x ≤0，故－1≤x ≤0；
③当x ＜－1时，不等式为－3x ≥2， 解得x ≤－2
3
，故x ＜－1.
综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥23. (2)f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1， 不等式可化为|x ＋a |≤1， 解得－a －1≤x ≤－a ＋1，
由已知得⎩⎨⎧－a －1≤12，
－a ＋1≥1，
解得－32
≤a ≤0， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－32，0.
22．(本小题满分12分)已知a ，b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.
(1)若f (x )＞2，求实数x 的取值范围；
(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a ，b 都成立，求实数x 的取值范围．
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————
桑水 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤
1，1，1＜x ≤2，2x －3，x ＞2，
由f (x )＞2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ＞2或⎩⎪⎨
⎪⎧x ＞2，
2x －3＞2，
解得x ＜12或x ＞52.
所以所求实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋
∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0， 得|a ＋b |＋|a －b |
|a |≥f (x )．
又因为|a ＋b |＋|a －b |
|a |≥|a ＋b ＋a －b |
|a |＝2，
所以f (x )≤2.
因为f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪x ＜12或x ＞52，
所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪
12≤x ≤52.
所以所求实数x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，52.。