2021年江苏省常州市高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年江苏省常州市高级中学高三数学理下学期期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知、满足约束条件，若，则的取值范围为（）
A. [0，1]
B. [1，10]
C. [1，3]
D. [2，3]
参考答案：
B
2. 函数f（x）=k﹣（k＞0）有且仅有两个不同的零点θ，φ（θ＞φ），则以下有关两零点关系的结论正确的是（）
A．sinφ=φcosθB．sinφ=﹣φcosθC．sinθ=θcosφD．sinθ=﹣θcosφ参考答案：
D
【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意构造函数y1=sin|x|，y2=kx，然后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可得到选项．
【解答】解：依题意可知x不能等于0．
令y1=sin|x|，y2=kx，显然函数y1为偶函数，
y2=kx为奇函数，
故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．
然后分别做出两个函数的图象．
由题意可得y2与y1仅有两个交点，
且φ是y1和y2相切的点的横坐标，
即点（φ，sin|φ|）为切点，
φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．
因为（﹣sinφ）′=﹣cosφ，所以切线的斜率k=﹣cosφ．
再根据切线的斜率为 k==，∴﹣cosφ=，即sinθ=﹣θcosφ，故选：D．
3. 设则二项式的展开式中的系数为（）A． B． C．
D．
参考答案：
B
4. 若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
【考点】3O：函数的图象．
【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知图象过（3，1），
故有1=log a3，解得a=3，
选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；
选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；
选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，
但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A. B.160 C. D.
参考答案：
C
6. ，则
（A）；（B）；（C）；（D）．
参考答案：
A
略
7. 在中，已知，，若点在斜边上，，则
的值为（▲ ）。

A．48 B．24 C．12 D．6
参考答案：
B
略
8. 已知函数则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
9. 设命题p：a＞b，则；q：若，则ab＜0．给出以下3个命题：
①p∧q；
②p∨q；
③（￢p）∧（￢q）．
其中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
B
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】p：若a＞b，则；是假命题．q：，则ab＜0，是真命题．所以非p 是真命题，非q是假命题．由此能够求出结果．
【解答】解：∵p：若a＞b，则；是假命题．
q：，则ab＜0，是真命题．
所以非p是真命题，非q是假命题．
所以①p∧q是假命题，②p∨q是真命题，③非p∧非q是假命题．
故选：B．
10. 定义一种运算：，已知函数，那么函数
的大致图象是（）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，n=1，2，3…，若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，
b n+1=，
c n+1=，则∠A n的最大值是．
参考答案：
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用．
【分析】根据数列的递推关系得到b n+c n=2a1为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论．
【解答】解：∵a n+1=a n，∴a n=a1，
∵b n+1=，c n+1=，
∴b n+1+c n+1=a n+=a1+，
∴b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n﹣2a1），
又b1+c1=2a1，
∴当n=1时，b2+c2﹣2a1=（b1+c1+﹣2a1）=0，
当n=2时，b3+c3﹣2a1=（b2+c2+﹣2a1）=0，
…
∴b n+c n﹣2a1=0，
即b n+c n=2a1为常数，
∵b n﹣c n=（﹣）n﹣1（b1﹣c1），
∴当n→+∞时，b n﹣c n→0，即b n→c n，
则由基本不等式可得b n+c n=2a1≥2，
∴b n c n，
由余弦定理可得=（b n+c n）2﹣2b n c n﹣2b n c n cosA n，
即（a1）2=（2a1）2﹣2b n c n（1+cosA n），
即2b n c n（1+cosA n）=3（a1）2≤2（a1）2（1+cosA n），
即3≤2（1+cosA n），
解得cosA n，
∴0＜A n，
即∠A n的最大值是，
故答案为：
【点评】本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．
12. 已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域为B.若B?A，则实数a 的取值范围是__________．
参考答案：
略
13. 已知函数（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是_______________.
参考答案：
略
14. 设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相切，则
m+n的取值范围是．
参考答案：
x≥2+2或x≤2﹣2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离
等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设
m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．
【解答】解：由圆的方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣4=0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d==2，
整理得：m+n+1=mn≤（）2，
设m+n=x（x＞0），则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为x≥2+2或x≤2﹣2，
故答案为x≥2+2或x≤2﹣2．
15. 直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是 .
参考答案：
16. 设，已知在约束条件下，目标函数
的最大值为，则实数的值为___________．
参考答案：
略
17. 曲线（θ为参数）与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，则|AB|=．参考答案：
2
【考点】圆的参数方程．
【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形可得其普通方程，求出其圆心坐标及半径，分析可得圆心在直线上，则|AB|=2r，即可得答案．
【解答】解：根据题意，曲线的普通方程为x2+（y﹣1）2=1，
圆心坐标为（0，1），半径r=1，
而直线的方程为x+y﹣1=0，圆心在直线上，
则AB为圆的直径，故|AB|=2r=2；
故答案为：2．
【点评】本题考查圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，关键是将圆的参数方程化为普通方程．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知
，
.
(I)若，求△ABC的面积；
(Ⅱ)求的值。

参考答案：
19. 已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程;
（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，
①求证:直线过定点;
②若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，试探究
是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．
参考答案：
（1）；（2）直线过定点；为定值2
试题分析：（1）抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决；（2）解决直线和抛物线的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
∴直线的方程为，…………………………………………7分
∴直线过定点．…………………………………………8分
②由（2）①得,直线的方程为.
设，
与方程联立，求得．……………………………………9分设，联立与，得
，由根与系数的关系，得
．…………………………………………10分
∵同号，
∴
…………………………………………11分
，
∴为定值，定值为2．…………………………………………13分
考点：1、抛物线的标准方程；2、圆锥曲线中的定点、定值问题.
20. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，，分别是，的中点．若，。

（1）求证：平面；
（2）求直线平面所成角的正弦值。

参考答案：
（1）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则 F G .
=
=
又由已知有
∴四边形AEGF是平行四边形.
又 AF 平面PEC, EG
（2）
ks5u
故
直线FC与平面PCE所成角的正弦值为 .
略
21. 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金
的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）． (Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
参考答案：
（Ⅰ）依题意知，数列是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
，
=
＝
=
(Ⅱ）依题意得，，即，
可化简得，
可设，
又，可设是减函数，是增函数，
又
则时不等式成立，即4年
22. (13分)如图，已知点和圆AB是圆O的直经，从左到右M、O
和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆O上的动点，交AB于D，，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN| 为定值.
（1）求的值及点C的轨迹曲线E的方程；
（2）一直线L过定点S（4,0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
(1) （2）【知识点】椭圆及其几何性质H5
(1)易得，，，设则
直线PA与BE交于C，
故，①
且，②
①②相乘得又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故
即，要使为定值，则解得此时即时，点C的轨迹曲线E的方程为
（2）联立消得
，即
设Q(），，则
由韦达定理有
直线的方程为
令，得
将（1），（2）代人上式得，
又
=
=
=18
=18
当时取得。

【思路点拨】①且，②
①②相乘得又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故
求得结果，联立消得
，即
设Q(），，则
由韦达定理有再由均值不等式求出。