广东实验中学九年级数学上册第三单元《旋转》测试(含答案解析)

一、选择题
1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，在ABC 中，15B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，当点B ，C ，D 恰好在同一直线上时，50CAD ∠=︒，则E ∠的度数为（ ）
A ．50°
B ．75°
C ．65°
D ．60°
3．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A ．正六边形
B ．线段()213y x x =-+≤≤
C ．圆
D ．抛物线2y x x =+
4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）
A．7
8
B．1 C．
4
5
D．
2
3
6．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将ABC绕点B逆时针旋转60°，点C 与对应点D重合，得到EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为（）
A．5 B．6 C．26D．41
7．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．戴口罩讲卫生B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医D．少出门少聚集
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）．
A．60 °B．75°C．85°D．90°
9．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
10．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
11．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
12．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，线段BC为一个通信公司，该公司与两个通信点,A D恰好围成一个正方形的ABCD公司BC长度为100米，公司准备在正方形ABCD内要建设一个通信中转站点,
P，在通信公司的BC边上架设一个通讯中心点Q，在通信中转站点P到两个通信点
,A D和通讯中心点Q之间铺设通信光缆，则铺设光缆的最短长度为________米．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm．
15．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为_____．
16．如图，在平面直角坐标系中，点P （1，1），N （2，0），△MNP 和△M 1N 1P 1的顶点都在格点上，△MNP 与△M 1N 1P 1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.
17．将点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是______
18．矩形是中心对称图形，对矩形ABCD 而言，点A 的对称点是点____.
19．如图，把ABC ∆绕顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当A B AC ''⊥，47A ∠=︒，128A CB ∠='︒时，B CA '∠的度数为_____.
20．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE 固定不动，将含30°角的三角尺ABC 绕顶点A 顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD =15°时，BC ∥DE ，当90°<∠BAD <180°时，∠BAD 的度数为___．
三、解答题
21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （1，0），B （4，0），C （5，2）．将△ABC 绕着点A 按逆时针方向旋转90︒后得到△AB 1C 1．
（1）请画出△AB 1C 1；
（2）写出点B 1，C 1的坐标；
（3）求出线段1BB 的长．
22．如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转到△ABF 的位置，接EF ．
（1）求证：△AEF 是等腰直角三角形；
（2）若四边形AECF 的面积为25，DE=2，求AE 的长．
23．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使65BOC ∠=︒，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处．
（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，求MOC ∠的度数；
（2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是MOB ∠的角平分线，求旋转角BON ∠的度数，CON ∠的度数；
（3）将三角板MON 绕点O 逆时针旋转至图3时，5NOC ∠=︒，求AOM ∠．
24．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；
（2）求证：OMP OPN ∠=∠；
∠=（3）在射线MA上取点D，点M关于点D的对称点为E，连接EP，当PDO
=，并证明
时，使得对于任意的点M，总有ON EP
25．己知，如图，点P是等边△ABC 内一点，∠APB=112°，如果把△APB绕点A旋转，使
∠的度数．
点 B与点C 重合，此时点P落在点P'处，求PP C'
26．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（4、4），B（－2，2），C（3，0），
（1）画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'
（2）写出 A'，B'，C'三点的坐标．
（3）把每个小正方形的边长看作1，试求△ABC的周长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A 、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；
B 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；
C 、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；
D 、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．C
解析：C
【分析】
由旋转的性质得出AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是底角为15°的等腰三角形，求出∠BAD=150°，可得100BAC ∠=︒，由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE ，
∴AD=AB ，∠E=∠ACB ，
∵点B ，C ，D 恰好在同一直线上，
∴△BAD 是底角为15°的等腰三角形，
∴∠BDA=15B ∠=︒，
∴∠BAD=150°,
∵50CAD ∠=︒，
∴100BAC ∠=︒
∴1801001565BCA -∠=︒-=，
∴65E ∠=.
故选：C
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义即可得．
【详解】
A 、正六边形是中心对称图形，此项不符题意；
B 、线段()213y x x =-+≤≤是中心对称图形，对称中心是点(2,0)，此项不符题意；
C 、圆是中心对称图形，此项不符题意；
D 、抛物线2y x x =+是关于直线12
x =-轴对称的，不是中心对称图形，此项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形、抛物线的图象等知识点，熟练掌握概念是解题关键． 4．B
解析：B
【分析】
连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．
【详解】
解：如图连接PC ．
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，
∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，
∴CM=BM=1，PC=12
A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，
∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
5．A
解析：A
【分析】
由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵ABC ∆≌EDB ∆，
∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．
∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，
∴O 为DE 中点，
∴OB=OE ，
∴∠OBE=∠E ，
∴∠OBE=∠A ，
∴AF=BF ，
设AF=BF=x ，则CF=4-x ，
∵222BC CF BF +=，
∴2223(4)x x +-=， ∴258
x =
， ∴258BF =， ∴257488
EF BE BF =-=-
=． 故选A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
根据旋转的性质可得BA ＝BE ，∠ABE ＝60°，AC ＝DE ，进而可得△ABE 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质和已知条件可得∠EAD ＝90°，根据勾股定理可求出DE 的长，即为AC 的长
【详解】
解：∵△EBD 是由△ABC 旋转得到，
∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°，AC ＝DE ，
∴△ABE 是等边三角形，
∴∠EAB ＝60°，
∵∠BAD ＝30°，
∴∠EAD ＝90°，
∵AE ＝AB ＝5，AD ＝4，
∴DE
，即
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
8．C
解析：C
【解析】
试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．
如图，设AD⊥BC于点F．则∠AFB=90°，
∴在Rt△ABF中，∠B=90°-∠BAD=25°，
∴在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，
即∠BAC的度数为85°．故选C．
考点: 旋转的性质.
9．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形进行解答．
【详解】
如图所示：
，
共5种，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义．
10．D
解析：D
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
11．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】
考核知识点：中心对称图形的识别.
二、填空题
13．【分析】根据题意将绕点逆时针旋转得到当三点共线时最小为然后求出的长度即可【详解】解：如图将绕点逆时针旋转得到则和都是等边三角形当三点共线时最小为是上的点当时值最小过作交于点为等边三角形四边形是正方形 解析：100503+
【分析】
根据题意，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D 当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q '然后求出D Q '的长度即可．
【详解】
解：如图，将APD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到',AP D
则60,PAP PD P D '''∠=︒=，
PAP '∆和DAD '∆都是等边三角形，
','AP PP PA PD PQ PP P D PQ ∴=++=++，
当,,D P Q 三点共线时，'PP P D PQ ''++最小为,D Q '
Q 是BC 上的点，
∴当D Q BC '⊥时D Q '值最小，
过D 作D Q BC '⊥交AD 于E 点，
100,BC ADD '=∆为等边三角形，四边形ABCD 是正方形，
'100,'60,30,100,AD D AD ADE CD ∴=∠=︒∠=︒=
1502
AE AD '∴==， 222210050503D E AD AE '=--=
100,EQ CD ==
'503100D Q DE EQ ∴=+=(米)，
则铺设光缆的最短长度为(100503+米，
故答案为：100503+．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题．
14．【解析】试题 解析：5
【解析】 试题
连接EC ，即线段EC 的长是点E 与点C 之间的距离，
在Rt △ACB 中，由勾股定理得：2222325AB AC -=-=cm ）， ∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，
∴BC=BE ，∠CBE=60°，
∴△BEC 是等边三角形，
∴5 15．（﹣11）【分析】观察图象可知点B1旋转8次为一个循环利用这个规律解决问题即可【详解】解：观察图象可知点B1旋转8次一个循环∵2018÷8＝252余数为2∴点B2019的坐标与B3（﹣11）相同∴点
解析：（﹣1，1）
【分析】
观察图象可知，点B 1旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可．
【详解】
解：观察图象可知，点B 1旋转8次一个循环，
∵2018÷8＝252余数为2，
∴点B 2019的坐标与B 3（﹣1，1）相同，
∴点B 2019的坐标为（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
【点睛】
本题考查坐标与图形的变化−旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．（21）【分析】观察图形根据中心对称的性质即可解答【详解】∵点P
（11）N （20）∴由图形可知M （30）M1（12）N1（22）P1（31）∵关于中心对称的两个图形对应点的连线都经过对称中心并且被对
解析：（2,1）
【分析】
观察图形，根据中心对称的性质即可解答.
【详解】
∵点P （1，1），N （2，0），
∴由图形可知M （3，0），M 1（1，2），N 1（2，2），P 1（3，1），
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分， ∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
17．【分析】首先利用平移变化规律得出P1（13）进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标【详解】∵点P （-23）向右平移3个单位得到点P1∴P1（13）∵点P2与点P1关于原点对称∴P2的坐标是：
解析：()1,3--
【分析】
首先利用平移变化规律得出P 1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P 2的坐标．
【详解】
∵点P （-2，3）向右平移3个单位得到点P 1，
∴P 1（1，3），
∵点P 2与点P 1关于原点对称，
∴P 2的坐标是：（-1，-3）．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．
18．C 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°如果旋转后的图形能够与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做对称中心可得答案
【详解】解：矩形是中心对称图形对称中心是对角线的交点点A 的对称 解析：C
【分析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】
解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A 的对称点是点C ，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质．
19．42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°则∠A′CA=90°-47°=43°由
∠BCB′=∠A′CA=43°则∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′可求【详解】根据旋转的性质可知
解析：42º
【分析】
根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，则∠A′CA=90°-47°=43°，由∠BCB′=∠A′CA=43°，则
∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′可求．
【详解】
根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，
∴∠A′CA=90°-47°=43°．
根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′=∠A′CA=43°，
∴∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′=128°-43°-43°=42°．
故答案为：42°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
20．105°或135°【分析】根据题意画出图形再由平行线的判定定理即可得出结论【详解】解：如图（1）当AC∥DE时∠BAD=∠DAE=45°；如图（2）当
BC∥AD时∠DAB=∠B=60°；如图（3）当
解析：105°或135°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：如图（1），当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图（2），当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图（3），当BC∥AE时，
∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图（4），当AB ∥DE 时，
∵∠E =∠EAB =90°，
∴∠BAD =∠DAE +∠EAB =45°+90°=135°．
∴当90°<∠BAD <180°时，
∠BAD =105°或135°．
故答案为：105°或135°．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）11(13)(14)B C -，
，，；（3）1BB =32．
【分析】
（1）根据旋转的性质确定点B 1、C 1的位置，顺次连线即可得到图形；
（2）依据（1）即可得到答案；
（3）根据勾股定理计算得出答案．
【详解】
解：（1）如图
（2）由（1）可知：11(13)(14)B C -，
，，； （3）由勾股定理可得：221
33BB =+=32
【点睛】
此题考查旋转画图，旋转的性质，根据点在直角坐标系中的位置确定坐标，勾股定理，正确画出旋转图形是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）AE ．
【分析】
（1）由旋转的性质可得AE=AF ，∠EAF=90°，可得结论；
（2）由题意可得四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，可求正方形的边长，由勾股定理可求解．
【详解】
（1）∵把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，
∴△ADE ≌△ABF ，∠EAF=90°，
∴AE=AF ，
∴△AEF 是等腰直角三角形；
（2）∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．
∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=2，
∴Rt △ADE
中，
=．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
23．（1）25° （2）40°，25° （3）20°．
【分析】
（1）直接利用角的和差计算即可；
（2）先根据角平分线的性质求得∠MOB=130°，再根据旋转角的定义BON ∠,然后∠BOC-∠BON 即可求得CON ∠；
（3）先求出∠BON ，然后利用平角的性质和角的和差即可解答．
【详解】
（1）906525MOC MON BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为25°；
（2）∵OC 是MOB ∠的角平分线，
∴2265130MOB BOC ∠=∠=⨯︒=︒，
∴旋转角1309040BON MOB MON ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 654025CON BOC BON ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为40°，25°；
（3）∵5NOC ∠=︒，65BOC ∠=︒，
∴70BON NOC BOC ∠=∠+∠=︒，
∵点O 为直线AB 上一点，
∴180AOB ∠=︒，
∵90MON ∠=︒，
∴180907020AOM AOB MON BON ∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、旋转角的性质、直角的性质和角的和差等知识点，考查知识点较多，灵活运用所学知识成为解答本题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）45，见解析
【分析】
（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可．
（3）结论：当∠PDO ＝45°时，总有ON ＝EP ．过点N 作NC ⊥OB 于点C ，过点P 作PH ⊥OA 于点H ，即可构造出△PHM ≌△NCP ，进而得PH ＝NC ，HM ＝CP ，设PH ＝DH ＝x ，MH ＝PC ＝y ，则OP ＝2x ，OC ＝OP ＋PC ＝2x ＋y ，由于点M 关于点D 的对称点为E ，即点D 为ME 中点，故ME ＝2MD ，EH ＝ME−MH ＝2x ＋y ，所以OC ＝EH ，通过证明△OCN ≌△EHP 证得ON ＝EP ．
【详解】
解（1）如图所示
（2）设OPM α∠=
线段PM 绕点P 顺时针旋转150得到线段PN
150MPN ∴∠=，PM PN =
150OPN MPN OPM α∴∠=∠-∠=-
30AOB ∠=
30AOB ∴∠=
180********OMP AOB OPM αα∴∠=-∠-∠=--=-
OMP OPN ∴∠=∠
（3）当45PDO ∠=时，总有ON EP =，证明如下：
过点P 作PC OD ⊥于点C
过点N 作NF OB ⊥于点F ，如图
90NFP PCM PCE ∴∠=∠=∠=
OMP OPN ∠=∠
180180OMP OPN ∴-∠=-∠
即PMC NPF ∠=∠
在PDM ∆与NCP ∆中
PCM NFP PMC NPF PM NP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()PCM NFP AAS ∴∆≅∆
PC NF ∴=，CM FP =
30AOB ∠=，22OP PC CD ==
点M 关于点D 的对称点为E
DE DM CM CD ∴==+
2CE CD DE CM CD ∴=+=+
OF CE ∴=
在OFN ∆与ECP ∆中
OF CE OFN ECP NF PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()OFN ECP SAS ∴∆≅∆
ON EP ∴=．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．52°
【分析】
根据旋转的性质得到AP'=AP ，∠BAP=∠CAP'，利用等边三角形的性质及角的和差得到△PAP'是等边三角形，即可求解．
【详解】
解∶∵△APB≌AP'C，
∴∠AP'C=∠APB=112°，
且AP'=AP，∠BAP=∠CAP'，
又∵∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠CAP'+∠PAC=60°，
即∠PAP'=60°，
∴△PAP'是等边三角形，
∴∠PP'C=∠AP'C-∠AP'P=112°-60°=52°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；
++．
（3）2101729
【分析】
（1）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A′B′C′；
（2）结合直角坐标系可得出出A′，B′，C′三点的坐标；
（3）根据勾股定理得到AB，AC，BC的长，相加即可求得△ABC的周长．
【详解】
解：（1）所画图形如下：
（2）结合图形可得A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）22
62210
AB=+=
22
AC=+
1417
22
BC+=．
2529.
则△ABC的周长为2101729
【点睛】
此题考查了旋转作图及中心对称、勾股定理的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．。