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数列求和习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 设数列的通项公式，其前项和为，若使得取得最小值，则
A. B. 、 C. D. 、
2. 已知数列，那么有最小值的是
A. B. C. D.
3. 等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项
之和是
A. B. C. D.
4. 设，则当数列前项的和最大时，的值为
A. B. C. 或 D.
5. 设为等差数列的前项和，，，若的前项和为，则的值
为
A. B. C. D.
6. 在数列中，若，，则
A. B. C. D.
7. 数列满足，且，则等于
A. B. C. D.
8. 已知：，若称使乘积为整数的数为劣数，则在区
间，内所有的劣数的和为
A. B. C. D.
9. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等
于
A. B. C. D.
10. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为
，又，则
A. B. C. D.
11. 设数列是首项为的等比数列．若是等差数列，则
的值等于
A. B. C. D.
12. 若，则等于
A. B. C. D.
13. 在等比数列中，，公比，且，又与
的等比中项为，，数列的前项和为，则当最大时，的值等于
A. B. C. 或 D.
14. 数列满足，且对于任意的都有，则等
于
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；共30分）
15. 若，，则数列的通项
公式为．
16. 如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第个图案中花盆数
17. 已知数列中，，，则其前项和．
18. 等差数列的前项和为，，，则．
19. 已知集合，．将的所有元素从小到
大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为．
20. 数列的前项组成集合，从集合中
任取（）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记．例如当时，，，；当时，，，，．则当时，；试写出．
三、解答题（共4小题；共52分）
21. 已知数列中，，．
（1）求证：数列是等比教列；
（2）求数列的前项和．
22. 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项．数列
满足，数列的前项和为．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
23. 已知是递增的等差数列，，是方程的根．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
24. 已知数列中，，且有．
（1）写出所有可能的值；
（2）是否存在一个数列满足：对于任意正整数，都有成立?若有，请写出这个数列的前项，若没有，说明理由；
（3）求的最小值．
答案
第一部分
1. D 【解析】由题得，，令，解得，令，解得
，又，所以数列的前项均为负项，从第项开始均为正项，所以若使得取得最小值，则或．
2. B
3. B 【解析】设等差数列的公差为，则由于，
所以，
因为，所以．
所以．
4. C 【解析】令，得，结合，解得．当时，
；当时，；当时，．故前项和等于前项和，它们都最大．5. B
【解析】设等差数列的公差为，则由题意可得，，联立解得，，
所以，
所以
所以
所以，
所以，
所以，
所以．
6. A
7. A 【解析】因为，．
所以，
所以．
所以．
则
8. A
9. C 【解析】设数列的公差为，
因为是与的等比中项，
所以，即，因为，所以．
又，
所以，将代入解得，，
所以．
10. B
【解析】，可求得所以则又．所以
．
11. C 【解析】由是等差数列得，代入可求得，因此为常数列，也为常数列，每一项都等于，所以
．
12. C 【解析】，，
，所以 .
13. C 【解析】，，又，．又与的等比中项为，．而，，，．，，，．是以为首项为公差的等差数列．
，．
当时，；
当时，；
当时，．
当或时，最大．
14. C 【解析】因为，
所以，，
累加得，
所以，
所以，
所以．
第二部分
15.
16.
【解析】观察上图可得，第个图案的第一行圆圈个数为，中间一行圆圈个数为
17.
【解析】因为，，所以．
时，，相减可得：，化为：
，
所以数列为等比数列，首项为，公比为．
所以，所以．
所以
所以其前项和．
18.
【解析】等差数列的前项和为，，，，
可得，数列的首项为，公差为，
，，
则
19.
20. ，
【解析】（1）当时，；
（2）法一：设，则其展开式为
，
令，可得，所以．
又，所以．
法二：考虑所表示的含义，它表示类似于从个球中取出若干个球（不允许不取）的方法总数．
现假设有个袋子，其中第个袋子里面装有个不同的小球，．
由于表示的是从第个袋子中取出若干个球的方法数，因此表示：从个袋子中的任意个袋子里取出若干个球的取法总数；
表示：从个袋子中的任意个袋子里取出若干个球的取法总数，如表示的是从第个袋子和第个袋子中取出若干个球的取法（每个袋子中至少取出个球）；
表示：从个袋子中的任意个袋子里取出若干个球的取法总数；
表示：从个袋子中的任意个袋子里取出若干个球的取法总数．
因此，表示：从个袋子里取出若干个球的取法（不要求从每个袋子里至少取出个球，但总共至少要取出个球）．由于所有袋子一共有个球，因此．
第三部分
21. （1）因为，
所以，
所以，
所以数列是等比数列，公比为，首项为．
（2）由（）可得：，可得，
设数列的前项和为，
则，，
相减可得：，
可得：，
所以．
22. （1）由是，的等差中项得，
所以，解得．
由得，因为，所以．
（2）设，数列前项和为．
由解得．
由（Ⅰ）可知，所以，
故，，
设，，
，
所以，
因此，，又，
所以．
23. （1）已知是递增的等差数列，，是方程的根，
则：
解得：
则：，，
所以：．
（2）数列，
则，
令
则
得：
所以，
所以，
故数列的前项和为：．
24. （1）可能取的值是，，，．
（2）存在．
这个数列的前项可以为，，，，，（或者取，，，，，）（3）的最小值为．
解法一：因为，，
所以，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数．
因此，，，中一定有个奇数，个偶数，
所以一定是奇数，所以
令这项分别为，，，，，，，，，（或者为，，，，，，，，，，或者为，，，，，，，，，）．
则有．
解法二：因为，，
所以，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数．
又因为，所以，所以有
把上面的个式子相加，得到，所以有
因为离最近的奇数的平方是，所以有
令这项分别为，，，，，，，，，（或者为，，，，，，，，，，或者为，，，，，，，，，）．
则有．。