21年高考数学着眼4点找到解题突破口

21年高考数学着眼4点找到解题突破口
1．已知椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，且与椭圆E ：x 22＋y 2
＝1有相同的
焦点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：以线段P Q 为直径的圆是否经过一定点M ？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)椭圆E 的焦点为(±1,0)，
设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2＋94
b 2＝1，
a 2
－b 2
＝1，
解得⎩⎨
⎧
a 2＝4，
b 2＝3，
所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 24＋y 2
3＝1
消去y ，
得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2. 设P (x P ，y P )，
则x P ＝－4km
3＋4k
2
＝－4k m ，y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3
m ， 即P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4k m ，3m .假设存在定点M (s ，t )满足题意，
因为Q (4,4k ＋m )，
则MP ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－4k m －s ，3m －t ，M Q ＝(4－s,4k ＋m －t )，
所以MP ·M Q ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－4k m －s (4－s )＋⎝
⎛⎭
⎪⎫3m －t (4k ＋m －t )＝－4k
m (1－s )
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m ＋m ＋4k t ＋(s 2－4s ＋3＋t 2)＝0恒成立， 故⎩⎪⎨⎪⎧
1－s ＝0，
t ＝0，s 2
－4s ＋3＋t 2
＝0，
解得⎩⎨
⎧
s ＝1，
t ＝0.
所以存在点M (1,0)符合题意．
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为22，离心率为
6
3
，点A (3,0)，P 是C 上的动点，F 为C 的左焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若点P 在y 轴的右侧，以AP 为底边的等腰△ABP 的顶点B 在y 轴上，求四边形FPAB 面积的最小值．
解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＝22，c a ＝6
3，
a 2
＝b 2
＋c
2
解得⎩⎨
⎧
a ＝
6，b ＝
2
∴椭圆C 的方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)(－2＜y 0＜2，y 0≠0，x 0＞0)， 线段AP 的中点为M ，
则AP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋32
，y 02，直线AP 的斜率为
y 0x 0－3， 由△ABP 是以AP 为底边的等腰三角形，可得BM ⊥AP ， ∴直线AP 的垂直平分线方程为 y －y 02＝－x 0－3y 0⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫x －x 0＋32， 令x ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，y 20＋x 20－92y 0， ∵x 206＋y 202＝1，∴B ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 20－32y 0， ∵F (－2,0)，
∴四边形FPAB 的面积S ＝52⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫|y 0|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y 20－32y 0 ＝52⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2|y 0|＋32|y 0|≥53， 当且仅当2|y 0|＝32|y 0|，即y 0＝±32时等号成立，
四边形FPAB 面积的最小值为5 3.
3．椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离
心率为3
2
，过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围．
解：(1)将x ＝－c 代入椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2
a .
由题意知2b 2a ＝1，故a ＝2b 2
.又e ＝c a ＝32，则b a ＝12，即a ＝2b ，
所以a ＝2，b ＝1，
故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
＝1.
(2)由PM 是∠F 1PF 2的角平分线， 可得|PF 1||F 1M |＝|PF 2||F 2M |，即|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |.
设点P (x 0，y 0)(－2＜x 0＜2)，
又点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，M (m,0)， 则|PF 1|＝ (－3－x 0)2＋y 20＝2＋3
2x 0
， |PF 2|＝
(3－x 0)
2
＋y 20＝2－
3
2x 0
. 又|F 1M |＝|m ＋3|，|F 2M |＝|m －3|，且－3＜m ＜3， 所以|F 1M |＝m ＋3，|F 2M |＝3－m . 所以2＋32x 0
2－32
x 0
＝3＋m 3－m ，化简得m ＝3
4x 0，
而－2＜x 0＜2，因此－32＜m ＜3
2
.
故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，32.
4．(2018·沈阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分
别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．
(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k ＝2
4，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值；
(3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线PA 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．
解：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.结合a 2＝b 2
＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的标准方程为x 225＋y
216
＝1.
(2)由⎩⎨⎧
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1，y ＝2
4x ，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2＋18a 2x 2
－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2＋18
a 2
，
由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2， 因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)，F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)， 所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2
＝－8，
结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12， 所以离心率e ＝
32
. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 2
3＝1，
由题可知A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝
y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1
x 0＋x 1
，
所以k 1k 2＝
y 20－y 2
1
x 20－x 2
1
，
又
y 20－y 2
1
x 20－x 21
＝
3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2012－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－x 2112x 20－x 2
1
＝－1
4
，
即k 2＝－1
4k 1
，
由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜1
4
.
即直线PB 的斜率k 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
18，14.。