鄂西北部分优质高中2016-2017学年高二下学期3月联考数学试卷(理科)(b卷) 含解析

2016—2017学年湖北省鄂西北部分优质高中高二(下）3月联考数学试卷(理科）
（B卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知命题p：“∃x∈R，使得x﹣2＞lgx",命题q：“∀a∈R＊，
表示椭圆”，则下列命题为真的是（）
A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q) D．(￢p)∧（￢q）2．已知x1＞0，x1≠1且x n+1=（n=1,2，…），试证:“数列{x n｝对任意的正整数n,都满足x n＞x n+1，”当此题用反证法否定结论时应为（）
A．对任意的正整数n，有x n=x n+1
B．存在正整数n，使x n≤x n+1
C．存在正整数n，使x n≥x n﹣1，且x n≥x n+1
D．存在正整数n,使（x n﹣x n﹣1）（x n﹣x n+1）≥0
3．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．
4．下列命题中：
①若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2
②若﹣2≤x≤3，则(x+2）(x﹣3）≤0
③若x=y=0，则x2+y2=0
④若x、y∈N＊,x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数．那么( )
A．①的逆命题为真B．②的否命题为假
C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
5．椭圆上的点到直线的最大距离是（）
A．3 B．C．D．
6．设F1,F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点，且3｜PF1｜=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（)
A．B．C．24 D．48
7．已知p：﹣1≤4x﹣3≤1，q:x2﹣(2a+1)x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．（,1]
8．F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且=（+）,则点M到坐标原点O的距离是（)
A．B． C．1 D．2
9．设双曲线C:的离心率为e，则斜率为k的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（)
A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1
10．已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（）
A． B． C．（0,1）D．
11．已知两圆C1：(x+4）2+y2=2,C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（)
A．x=0 B．
C．D．
12．如图所示，F1,F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点,以坐标原点O为圆心，|OF1｜为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．+1 B．+1 C． D．
二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．）13．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0"，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是．
14．已知AB是过椭圆+=1左焦点F1的弦，且|AF2｜+｜BF2｜=12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是．
15．△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°,以A、B为焦点且过点C 的双曲线离心率为．
16．已知双曲线=1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c,0)，若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线
的离心率的范围．
三。

解答题(本大题共6小题,共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知命题p：指数函数f（x）=(2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
18．（12分）设F1，F2分别是椭圆E:x2+=1(0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|，｜AB｜,｜BF2|成等差数列．
（Ⅰ）求｜AB｜；
(Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．
19．（12分)双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（0,﹣b），B（a，0）．
（1）求双曲线的标准方程；
(2）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，|PQ｜=10．求直线l的方程．
20．（12分）设双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一个焦点坐标为（，0），离心率e=，A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1,2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2)求直线AB方程；
（3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么?
21．（12分）已知定点，B是圆（C为圆心)上的动点，AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(﹣1，0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
22．（10分)椭圆+=1（a＞b＞0)上有一点M(﹣4，）在抛物线y2=2px（p＞0)的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点．
(1）求椭圆方程；
（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q，求｜MN|+|NQ|的最小值．
2016—2017学年湖北省鄂西北部分优质高中高二（下）3月联考数
学试卷（理科）（B卷)
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：“∃x∈R,使得x﹣2＞lgx”，命题q：“∀a∈R*，表示椭圆”,则下列命题为真的是( ）
A．p∧q B．(￢p)∨q C．p∨（￢q) D．（￢p）∧（￢q）【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合函数的真假判断即可得到结果．
【解答】解:命题p：“∃x∈R，使得x﹣2＞lgx"，例如x=10,命题成立,所以命题p是真命题；
命题q:“∀a∈R＊，表示椭圆”,例如a=4,表达式表示的是圆,所以命题q是假命题；
所以p∨（￢q）是真命题,
故选:C．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基础题．
2．已知x1＞0，x1≠1且x n+1=(n=1，2，…），试证：“数
列{x n｝对任意的正整数n,都满足x n＞x n+1，”当此题用反证法否定结论时应为（）
A．对任意的正整数n，有x n=x n+1
B．存在正整数n，使x n≤x n+1
C．存在正整数n，使x n≥x n﹣1,且x n≥x n+1
D．存在正整数n，使（x n﹣x n﹣1）（x n﹣x n+1)≥0
【考点】FC：反证法．
【分析】根据全称命题的否定,是特称命题,求得“数列｛x n}对任意的正整数n，都满足x n＞x n+1"的否定,即可得到答案．
【解答】解：根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n}对任意的正整数n，都满足x n＞x n+1"的
否定为：“存在正整数n，使x n≤x n+1”，
故选B．
【点评】本题主要考查求命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，注意全称命题的否定，是特称命题，属于中档题．
3．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．
【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，
∴m＜0，且双曲线方程为，
∴m=，
故选:A．
【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m＜0．
4．下列命题中:
①若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2
②若﹣2≤x≤3，则（x+2）（x﹣3）≤0
③若x=y=0，则x2+y2=0
④若x、y∈N*,x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个是偶数．那么（）
A．①的逆命题为真B．②的否命题为假
C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
【考点】21：四种命题．
【分析】①写出它的逆命题并判断真假性；
②写出它的否命题并判断真假性；
③判断原命题的真假性即可得出结论；
④写出它的逆命题并判断真假性．
【解答】解:对于①,若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2 的逆命题是
“若x=1或x=2，则x2﹣3x+2=0”，它是真命题，A正确;
对于②，若﹣2≤x≤3，则（x+2）(x﹣3）≤0的否命题是
“若x＜﹣2或x＞3，则（x+2）(x﹣3)＞0”，它是真命题，B错误；对于③，若x=y=0,则x2+y2=0是真命题，
∴它的逆否命题也是真命题，C错误；
对于④，若x、y∈N*，x+y是奇数，则x、y中一个是奇数，一个
是偶数，
它的逆命题是“若x、y∈N＊，且x、y中一个是奇数,一个是偶数，则x+y是奇数”，
它是真命题，∴D错误．
故选:A．
【点评】本题考查了四种命题以及命题真假的判断问题，是基础题．
5．椭圆上的点到直线的最大距离是( )
A．3 B．C．D．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；IT：点到直线的距离公式．
【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）,由点到直线
的距离公式,计算可得答案．
【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ,2sinθ）
则点P到直线的距离
d=；
故选D．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题,仔细求解．
6．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1｜=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( ）
A．B．C．24 D．48
【考点】KC:双曲线的简单性质．
【分析】先由双曲线的方程求出｜F1F2｜=10，再由3|PF1|=4｜PF2|，求出|PF1｜=8，｜PF2｜=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0)，｜F1F2｜=10，
∵3|PF1|=4｜PF2｜，∴设｜PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1｜=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°,
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
7．已知p:﹣1≤4x﹣3≤1,q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0,若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( ）A．B．C． D．（,1］
【考点】28:必要条件．
【分析】先化简p．q，再将￢p是￢q的必要不充分条件，转化为p是q的充分不必要条件，从而可得不等式组，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，p:≤x≤1，q：a≤x≤a+1．
∴￢p是￢q的必要不充分条件,
∴q是p的必要不充分条件,
∴p是q的充分不必要条件，
∴，
∴0≤a≤，
∴实数a的取值范围是．
故选A．
【点评】本题考查不等式的解法,考查四种条件的判断，考查学生分析转化问题的能力,属于基础题．
8．F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且=(+），则点M到坐标原点O的距离是( ）
A．B． C．1 D．2
【考点】K4:椭圆的简单性质．
【分析】画出图形，利用椭圆的简单性质判断M的位置,求解即可．【解答】解:F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，
线段PF2与y轴的交点为M，且=（+），如图:
x2+2y2=1，可得a=1，b=，c=，
可知OM∥F1P,|F1P|=，
则点M到坐标原点O的距离是：．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的应用．考查转化思想以及计算能力．
9．设双曲线C:的离心率为e,则斜率为k的直线与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（）
A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷(b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，由此能求出结果．
【解答】解:由题意可设直线方程为：y=k(x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：
x1•x2=(﹣a2k2c2﹣a2b2)÷（b2﹣a2k2）＜0，
因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，
b2﹣a2k2=c2﹣a2﹣a2k2=a2e2﹣a2﹣a2k2=a2（e2﹣1﹣k2）＞0，
e2﹣1﹣k2＞0，
即e2﹣k2＞1．
反之当e2﹣k2＞1时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是e2﹣k2＞1，
故选：C．
【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
10．已知椭圆与双曲线共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为（)
A． B． C．（0，1） D．
【考点】KC:双曲线的简单性质;K4:椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆与双曲线共焦点,确定n的值与m的范围，进一步可求椭圆C1的离心率e的取值范围
【解答】解：由题意，m+2﹣n=m+n，∴n=1
又m+2＞n，m＞0，∴m+2＞2
∵
∴
∴
故选A．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．已知两圆C1：（x+4)2+y2=2，C2:（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1,C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( ）
A．x=0 B．
C．D．
【考点】J3：轨迹方程；JA:圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由于动圆与两个定圆都相切，可分两类考虑，若动圆与两定圆相外切或与两定圆都内切，可以得出动圆与两定圆圆心的距离相等，故动圆圆心M的轨迹是一条直线，且是两定圆圆心连线段的垂直平分线．若一内切一外切，则到两圆圆心的距离差是一个常数，由双曲线的定义知，此种情况下轨迹是双曲线．
【解答】解:由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1：（x+4)2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切,
∴|MC1｜=|MC2｜，即M点在线段C1，C2的垂直平分线上
又C1，C2的坐标分别为（﹣4，0）与(4,0）
∴其垂直平分线为y轴,
∴动圆圆心M的轨迹方程是x=0
②若一内切一外切,不妨令与圆C1:（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x﹣4）2+y2=2外切,则有M到（4,0)的距离减到（﹣4，0）的距离的差是2，由双曲线的定义知,点M的轨迹是以（﹣4，0）与（4，0)为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得b2=c2﹣a2=14，故此双曲线的方程为
综①②知，动圆M的轨迹方程为
应选D．
【点评】考查圆与圆的位置关系，及垂直平分线的定义．
12．如图所示，F1,F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1｜为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．+1 B．+1 C． D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】连接AF1，可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°，F2F1=2c，AF1=c，AF2=，由双曲线的定义可知：AF2﹣AF1=﹣c=2a,变形可得离心率的值．
【解答】解：连接AF1,可得∠AF2F1=30°，∠F1AF2=90°,
由焦距的意义可知F2F1=2c，AF1=c，
由勾股定理可知AF2=，
由双曲线的定义可知:AF2﹣AF1=2a，即﹣c=2a，
变形可得双曲线的离心率==
故选B
【点评】本题考查双曲线的性质，涉及直角三角形的性质，属中档题．
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R,使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是m≤1 ．
【考点】2J：命题的否定．
【分析】利用命题的否定与原命题真假相反得到命题p是真命题，即方程有解;分离参数，求二次函数的值域．
【解答】解：命题￢p是假命题，即命题P是真命题，
即关于x的方程4x﹣2x+1+m=0有实数解，
m=﹣（4x﹣2x+1）=﹣（2x﹣1）2+1,
所以m≤1
故答案为m≤1
【点评】本题考查┐P与p真假相反;解决方程有解问题即分离参数求函数值域．
14．已知AB是过椭圆+=1左焦点F1的弦,且｜AF2｜+｜BF2｜=12，其中F2是椭圆的右焦点，则弦AB的长是8 ．
【考点】K4:椭圆的简单性质．
【分析】根据椭圆的定义,得（|AF1|+|AF2|）+(｜BF1|+|BF2|）=4a=20，由此可得|AB|=20﹣(｜AF2|+|BF2|）=8，得到本题答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1，∴a=5，b=4,可得c==3根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=｜BF1|+|BF2|=2a=10
得（｜AF1|+｜AF2|)+（｜BF1|+|BF2|)=20
∵AB是过椭圆+=1左焦点F1的弦，得｜AF1|+｜BF1|=|AB|
∴｜AB｜=20﹣(|AF2｜+｜BF2｜）=20﹣12=8
故答案为:8
【点评】本题给出椭圆经过左焦点的弦AB，在已知A、B到右焦点的距离和的情况下求弦AB长．着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．
15．△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°,以A、B为焦点且过点C 的双曲线离心率为．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】先求出边AC的长，在利用双曲线的定义，求出离心率．【解答】解：由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB,∠ABC=120°,∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，
AC﹣BC=2a，即:2c﹣2c=2a，
∴=，即：双曲线的离心率为．
故答案为．
【点评】本题考查双曲线的有关性质和双曲线定义的应用．16．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c,0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的
离心率的范围．
【考点】KC:双曲线的简单性质．
【分析】先根据正弦定理得=，又由已知，得
，最后根据P在双曲线右支上,可得关于e的不等式，进而根据三角函数的范围确定e的范围．
【解答】解：根据已知，点P不是双曲线的顶点,否则=无意义．
因为在△PF1F2中，由正弦定理得=．
又由已知，得，即|PF1|=｜PF2｜,且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF1|﹣|PF2｜=2a，则｜PF2｜﹣|PF2｜=2a，即｜PF2|=，由双曲线的几何性质，知
｜PF2｜＞c﹣a，则＞c﹣a，即c2﹣2ac﹣a2＜0,∴e2﹣2e﹣1＜0，解得﹣＜e＜，
又e＞1，故双曲线的离心率的范围是(1,）．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．
三。

解答题（本大题共6小题，共70分；解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2017春•湖北月考）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3，若p∨q为真,p∧q为假，求实数a的取值范围．
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，
利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真,p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．
【解答】解：若p真，则f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减,
∴0＜2a﹣6＜1，
∴3＜a＜．
若q真，令f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，则应满足:
，
∴，
∴a＞，
又由题意应有p真q假或p假q真．
①若p真q假，则，a无解．
②若p假q真,则，
∴由2a﹣6＞0且2a﹣6≠1，可得a＞．
【点评】本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．
18．（12分）（2010•新课标）设F1，F2分别是椭圆E:x2+=1（0
＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且｜AF2|，｜AB｜，｜BF2｜成等差数列．
（Ⅰ）求|AB｜；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1,求b的值．
【考点】K5：椭圆的应用．
【分析】(1）由椭圆定义知|AF2｜+｜AB|+｜BF2|=4,再由｜AF2｜，｜AB|,|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值．
（2）L的方程式为y=x+c,其中,设A（x1，y1）,B（x1，y1）,
则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣
2b2=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知｜AF2|+｜AB|+|BF2｜=4
又2｜AB｜=|AF2|+｜BF2｜，得
（2）L的方程式为y=x+c,其中
设A(x1,y1），B(x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．
则．
因为直线AB的斜率为1，所以
即．
则．
解得．
【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关
系,解题时要注意公式的灵活运用．
19．（12分)(2017春•湖北月考）双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为,其中A（0，﹣b），B （a,0）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，｜PQ|=10．求直线l的方程．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】（1）利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，建立方程,求出a，b，即可求双曲线的标准方程；
（2）设直线方程为y=k(x﹣2），代入双曲线方程，整理可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣(4k2+3）=0，利用韦达定理，及弦长公式,建立方程，即可求直线l的方程．
【解答】解:(1）直线AB的方程为bx﹣ay﹣ab=0．
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2,坐标原点到直线AB 的距离为,
∴=4，=，∴a=1,b=，
∴双曲线的标准方程是=1;
（2)设直线方程为y=k（x﹣2）
代入双曲线方程，整理可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0
设P(x1，y1），Q(x2,y2），则可得x1+x2=﹣,x1x2=﹣,
∵|PQ｜=10，
∴（1+k2）2•[（﹣）2﹣4（﹣）]=100
解得,k=±，
∴直线l的方程为y=±（x﹣2）．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线位置关系的运用，考查弦长的计算，属于中档题．
20．（12分）（2014•肇庆一模)设双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的一个焦点坐标为(,0），离心率e=,A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1,2)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求直线AB方程；
（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么?
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出双曲线C的方程．
(2)设A（x1，y1），B(x2，y2)，利用点差法能求出直线AB的方程．（3）假设A、B、C、D四点共圆,且圆心为P．只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=｜MC｜=|MD|即可得到A、B、C、D四点共
【解答】解：（1)依题意得，解得a=1．（1分）
所以b2=c2﹣a2=3﹣1=2,（2分)
故双曲线C的方程为．（3分）
（2)设A（x1,y1），B（x2,y2），
则有．
两式相减得：，（4分）
由题意得x1≠x2，x1+x2=2，y1+y2=4，
所以，即k AB=1．（6分）
故直线AB的方程为y=x+1．（7分）
（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P．
∵AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上，
又CD为圆P的弦且垂直平分AB，
圆心P为CD中点M．（8分）
下面只需证CD的中点M满足｜MA|=｜MB｜=｜MC|=｜MD｜即可．
由，得:A（﹣1，0)，B（3,4）．(9分）
由（1）得直线CD方程：y=﹣x+3，（10分）
由，得：C（﹣3+，6﹣)，D(﹣3﹣，6+)，（11
∴CD的中点M(﹣3，6）．(12分）
∵，，
，,（13分）
∴｜MA｜=|MB|=|MC｜=｜MD｜,
即A、B、C、D四点在以点M（﹣3，6)为圆心，为半径的圆上．（14分）
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查四点共圆的判断与证明，解题时要认真审题,注意点差法的合理运用．
21．(12分）（2010•沈阳模拟）已知定点，B是圆
（C为圆心）上的动点,AB的垂直平分线与BC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与E的轨迹交于P,Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（﹣1，0）,求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．
【考点】K3:椭圆的标准方程；IG：直线的一般式方程；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】(1)根据|EA｜=|EB｜可判断出|EA|+｜EC｜=｜EB｜+｜EC|进而根据椭圆的定义可知点E的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，E的轨迹方程可得．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）将直线方程与椭圆方程联立消去y，根据判别式大于0求得k与m的不等
式关系；同时根据AB的垂直平分线与BC，可分别表示出两直线的斜率使其乘积等于﹣1求得k和m的关系式，进而可求得k的范围．设O到直线l的距离为d，根据三角形面积公式可得△OPQ的面积的表达式,根据k的范围确定△OPQ的面积的最大值．求出此时的k和m，所求的直线方程可得．
【解答】解：（1）由题知|EA|=｜EB｜
∴｜EA｜+|EC|=｜EB|+｜EC｜=4
又∵∴点E的轨迹是以A，C为焦点,长轴长为4的椭圆,∴E的轨迹方程为
（2）设P（x1,y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x0，y0）
将直线y=kx+m与
联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0△=16（4k2+1﹣m2）＞0,即4k2+1＞m2①
又
依题意有,
整理得3km=4k2+1②
由①②可得,∵m＞0，∴k＞0，∴
设O到直线l的距离为d，则
=
当时，△OPQ的面积取最大值1，
此时，∴直线方程为
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的关系，考
查了学生对圆锥曲线综合知识的把握．
22．（10分）(2017春•湖北月考）椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点M（﹣4,)在抛物线y2=2px(p＞0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点．
（1）求椭圆方程；
(2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线,垂足为Q，求｜MN|+｜NQ｜的最小值．
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意求得c=4,得到p=8，再由点M(﹣4,）在椭圆上,结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2)由题意画出图形，由抛物线定义把|MN｜+|NQ|的最小值转化为|MF｜求解，由两点的距离公式，即可得到所求最小值．
【解答】解：（1）∵椭圆+=1上的M（﹣4,)
在抛物线y2=2px（p＞0）的准线l：x=﹣上,
抛物线的焦点也是椭圆焦点．
∴c=4,p=8…①
∵M（﹣4，）在椭圆上，
∴+=1…②
又∵a2=b2+c2…③
∴由①②③解得：a=5,b=3，
∴椭圆为+=1；
（2)由p=8得抛物线为y2=16x．
设抛物线的焦点为F(4，0），由抛物线的定义得｜NQ|=｜NF｜,∴|MN|+|NQ｜=|MN｜+｜NF|≥|MF｜==，即为所求的最小值．
【点评】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，考查了数学转化思想方法，运用三点共线取得最小值是解题的关键，考查运算能力，是中档题．。