北京大学(分数线,专业设置)附属中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合测试题(含答案)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．在ABC 中，D ，E 分别为,BC AC 上的点，且2AC EC =，连结,AD BE ，交于点F ，设:,:x CD BD y AF FD ==，则（ ）
A ．1y x =+
B ．1x y x +=
C ．413y x =+
D ．21x y x -=- 2．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）
A ．42
B ．2
C ．1
D ．3
3．如图，在ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：
①12DE BC =；②12S S =△DOE △COB
；③AD OE AB OB =；④16ODE ADC S S =△△．其中结论正确的是（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①③④ 4．如图，在正方形ABCD 中，点
E 是边BC 的中点，连接AE ，E
F AE ⊥交CD 边于点F ，已知4AB =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B 5
C ．3
D ．2
5．如图，矩形ABCD 中，AD m =，AB n =，要使BC 边上至少存在一点P ，使ABP △、APD △、CDP 两两相似，则m 、n 间的关系式一定满足（ ）
A ．12m n ≥
B ．m n ≥
C ．32m ≥
D ．2m n ≥ 6．如图，正方形ABCD 中，ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆，AB '、AC '分别交对角线BD 于点
E 、
F ，若4AE =则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16
7．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．5
8．有下列四种说法：其中说法正确的有（ ）
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
9．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm ，光源到屏幕的距离为90cm ，且幻灯片中的图形的高度为7cm ，则屏幕上图形的高度为（ ）
A ．21cm
B ．14cm
C ．6cm
D ．24cm
10．如图，地面上点A 处有一只兔子，距它10米的B 处有一根高1.6米的木桩，大树、木桩和兔子刚好在一条直线上．一只老鹰在9.6米高的树顶上刚好看见兔子，则大树C 离木桩B( )米．
A ．60
B ．50
C ．40
D ．45
11．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AD AB 等于（ ）
A ．2
B ．22
C ．512-
D ．2
12．如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF
=（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．1 13．如图，在矩形OABC 中，点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上．AC 与BO 交于点D ，过点C 作C
E BD ⊥于点E ，2DE BE =．若5CE =(0,0)k y k x x
=
>>经过点D ，则k =（ ）
A ．2
B ．352
C ．36
D ．30
14．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：
①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
15．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，P 是BC 边上一动点（不与B ，C 重合），DE AP ⊥于E ．若PA x =，DE y =，则y 关于x 的函数解析式为_____．
16．已知b c c a a b k a b c
+++===，0a ≠，0b ≠，0c ≠；则k =________． 17．已知::3:2:1x y z =，则x y z x y z
+--+的值为________． 18．如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC=1:n ，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，那么FC:BF 的值为______（用含有n 的代数式表示）．
19．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为
2.5m ，则路灯的高度AE 为________．
20．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123，MN ∥AB ，则MN ＝__________
21．目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一．现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a=3米和b=4米，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分为含以b 为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为____________米
22．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．
24．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结
论：①AF ⊥BG ；②BN 43=
NF ；③38
BM MG =；④S 四边形CGNF 12=S 四边形ANGD ．其中正确的结论的序号是___________．
25．如图，BC 为半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，且BF:FC=5:1，若AB=8，AE=2，则AD 的长为__________．
26．如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是__．
三、解答题
27．如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．
（1）求AG GF
的值． （2）如果43BD =，4DF =，请找出与BDA 相似的三角形，并挑出一个进行证明． 28．如图，在ABC 中，BA BC =，以AB 为直径的
O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线与O 的切线AF 交于点F ．
（1）求证：2ABC CAF ∠=∠；
（2）若210AC =，:1:4CE EB =，求AF 的长．
29．如图，在ABC 中，正方形EFGH 内接于ABC ，点E F 、在边AB 上，点G H 、分别在BC AC 、上，且2EF AE FB =⋅，
（1）求证：90C ∠=︒
（2）求证：AH CG AE FB ⋅=⋅．
30．定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
（1）在互补四边形ABCD 中，A ∠与C ∠是一组对角，若::2:3:4,B C D ∠∠∠=则A ∠= °
（2）如图，在ABC 中，点,D E 分别在边,AB BC 上，且,BE BC AB BD ⋅=⋅求证：四边形ADEC 是互补四边形．
【参考答案】
一、选择题
1．A
2．C
3．D
4．A
5．D
6．D
7．A
8．D
9．A
10．B
11．A
12．B
13．B
14．D
二、填空题
15．【分析】根据正方形的性质以及DE⊥AP即可判定△ADE∽△PAB根据相似三角形的性质即可列出y与x之间的关系式需要注意的是x的范围【详解】解：∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝∠ABC＝90°∴∠
16．或【分析】根据题意可分情况考虑：当时根据比例的等比性质即可求得答案；当时即代入消元即可得解【详解】解：∵∴或①当时∵∴∴∴∴②当时有∴∴综上所述或故答案是：或【点睛】本题考查了比例的等比性质分式的化
17．2【分析】根据可设代入原式即可求解【详解】∵∴设∴故答案为：2【点睛】本题考查了比例的性质利用设k法表示出xyz求解更简便
18．n+1【分析】作DG平行于AF交BC于G由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG所以由等量代换证得结论【详解】证明：如图作交BC于G∵AD：DC=1：n∴AD：
19．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用
把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的
20．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM：CD=2：3由MN∥AB可得
△CMN∽△CDB再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M是△ABC的重心∴AD=BD=CM：CD=2：3∵MN
21．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B分别计算即可【详解】解：如图在Rt△ABC中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△
22．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC的长【详解】解：①如图∵且D是AB中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键
23．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A
24．①③【分析】①易证△ABF≌△BCG即可解题；②易证△BNF∽△BCG即可求得的值即可解题；③作EH⊥AF令AB=3即可求得MNBM的值即可解题；④连接AGFG根据③中结论即可求得S四边形CGNF和
25．【分析】连接BEDE则BE⊥AC由勾股定理可求得BE再证明△EBF∽△CBE列比例式可求得CF的长即BC的长由勾股定理求得CE的长进而可求得AC的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE∽△
26．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，可得△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ，根据相似三角形的性质可得x 与y 的数量关系.
【详解】
解：如图，过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，
∴△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF ， ∴BD DG BC CE =，DG DF AE AF =， ∵AC ＝2EC ，
∴AE ＝CE ，
则
BD DF BC AF
= ∴BD DF BD CD AF =+， ∴BD CD AF BD DF
+=， ∵x ＝CD ：BD ，y ＝AF ：FD ，
∴1+x ＝y ，
∴y ＝x +1，
故选：A ．
．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和应用，恰当作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．利用勾股定理求出BC ，再利用相似三角形的性质求出OH ，AH ，DH ，证明△DMH ∽△AOH ，构建关系式即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OD 交AC 于H ，连接BC ．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°， ∴226BC AB AC -=，
∵AD DB =，
∴OD ⊥AB ，
∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，
∴△AOH ∽△ACB ， ∴
OH OA AH BC AC AB
== ∴56810
OH AH == ∴1525,44OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-
=， ∵DM ⊥AC ，
∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，
∴△DMH ∽△AOH ， ∴DM DH AO AH
=， ∴5
4255
4
DM =， ∴DM=1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识．
3．D
解析：D
【分析】
先判断DE 为ABC 的中位线，则根据三角形中位线性质得到//DE BC ，12
DE BC =，于是可对①进行判断；证明DOE △∽COB △，利用相似比得到12OE DE OD OB BC OC ===，14DOE COB S S =△△，则可对②进行判断；加上12
AD AB =，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到13ODE DCE S S =
△△，12DCE ADC S S =△△，则可对④进行判断．
【详解】
解：∵BE 、CD 为ABC 的中线，
∴DE 为ABC 的中位线，
∴//DE BC ，
12DE BC =，所以①正确； ∵//DE BC ，
∴DOE △∽COB △， ∴12OE DE OD OB BC OC ===，214
DOE COB S DE S CB ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，所以②错误； ∵
12AD AB =， ∴AD OE AB OB
=，所以③正确； ∵:1:2OD OC =， ∴13
ODE DCE S S =
△△， ∵AE CE =， ∴12DCE ADC S S =
△△， ∴16
ODE ADC S S =
△△，所以④正确． 故选D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质和判定定理． 4．A
解析：A
【分析】
根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2BE CE ==，
∵90AEF B C ∠=∠=∠=︒，
∴BAE AEB AEB CEF ∠+∠=∠+∠，
∴BAE CEF ∠=∠，
∴AEB EFC ∆∆∽， ∴
AB BE CE CF =， ∴422CF
=， ∴1CF =，
故选：A ．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
5．D
解析：D
【分析】
由于△MNP 和△DCP 相似，可得出关于MN 、PC 、NP 、CD 的比例关系式．设PC=x ，那么NP=m-x ，根据比例关系式可得出关于x 的一元二次方程，由于NC 边上至少有一点符合条件的P 点，因此方程的△≥0，由此可求出m 、n 的大小关系．
【详解】
解：若设PC=x ，则NP=m-x ，
∵△ABP ∽△PCD ，
AB BP PC CD ∴=即,n m x x n
-= 即x 2-mx+n 2=0方程有解的条件是：
m 2-4n 2≥0，
∴（m+2n ）（m-2n ）≥0，则m-2n≥0，
∴m≥2n ．
故选：D ．
【点睛】
本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决． 6．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质得到∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质得到∠EAF=∠BAC=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE EF
=，
DE AE
∴EF•ED=AE2，
∵AE=4，
∴EF•ED的值为16，
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出相关的相似三角形是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据位似图形的性质可得DF=2AC，然后根据两点间的距离公式求出AC即可解决问题．【详解】
解：∵DEF与ABC是位似图形，且相似比为2:1，
∴DF=2AC，
∵
AC==
∴
DF=
故选：A．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．8．D
解析：D
【分析】
直接利用相似图形的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：①两个菱形不一定相似，因为对应角不一定相等；
②两个矩形不一定相似，因为对应边不一定成比例；
③两个平行四边形不一定相似，因为形状不一定相同；
④两个正方形相似，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似多边形的判定，正确掌握判定方法是解题的关键．9．A
解析：A
【分析】
根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】
解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴AE DE
AC BC
=，
设屏幕上的图形高是x cm，则307 90x
=，
解得：x=21．
答：屏幕上图形的高度为21cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
10．B
解析：B
【分析】
如图，证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质列式求解即可．
【详解】
解：如图，
根据题意得，△ABE∽△ACD，
∴AB BE AC CD
= ∵AB=10m ，BE=1.6m ，CD=9.6m ∴
10 1.6=9.6
AC ∴AC=60m ∴BC=AC-AB=60-10=50m
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 11．A
解析：A
【分析】 首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为AD AB AB BF =，又根据12
BF AD =，可得出
2212
AD AB =，据此进行求解即可． 【详解】
∵各种开本的矩形都相似，
∴矩形ABCD 与矩形BFEA 相似， ∴AD AB AB BF
=， ∴AD•BF=AB•AB ，
又∵12BF AD =
， ∴
2212AD AB =，
∴AD AB
=， 故选A ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】
解：∵a ∥b ∥c ，
∴12DE AB EF BC ==． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13．B
解析：B
【分析】
作DF ⊥OC 于F ，根据矩形的性质和相似三角形的性质求得OD=3，OE=5，根据勾股定理求得30OC =
，然后通过三角形相似求得DF 和OF ，从而求得D 的坐标，代入解析式即可求得k 的值．
【详解】
解：作DF ⊥OC 于F ，
在矩形OABC 中，∠OCB=90°，OD=BD ，
90,OCE BCE ∴∠+∠=︒
∵CE ⊥OB ，
90,CEO BEC ∴∠=∠=︒
90,OCE COE ∴∠+∠=︒
,COE BCE ∴∠=∠
,COE BCE ∴∽
,CE OE BE CE
∴= ∴2,CE BE OE =
∵2DE BE =，5,CE = 设,BE x =则DE=2x ，3,OD BD x ==
∴OE=5x ，
∴255,x x =
解得，x=1（负根舍去），
∴OD=3，OE=5，
∴()22225530,OC OE CE =+=+=
∵∠OFD=∠OEC=90°，∠DOF=∠EOC ，
∴△DOF ∽△COE ， ∴
,DF OF OD CE OE OC
==
5OF ==
∴OF DF ==
∴D 的坐标为⎝⎭
，
∵反比例函数k y x =
（k ＞0，x ＞0）经过点D ，
∴k == 故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得D 的坐标是解题的关键．
14．D
解析：D
【分析】
证明△ABE ≌△DCE ，可得结论①正确；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE ≌△DCE ，△ABG ≌△CBG ，可得∠BCF=∠CDE ，由余角的性质可得结论②；证明△DCE ≌△CBF 可得结论③，证明△CHF ∽△CBF 即可得结论④正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，
∴AB=AD=BC=CD ，BE=CE ，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
∴∠DEC=∠AEB ，∠BAE=∠CDE ，DE=AE ，故①正确，
∵AB=BC ，∠ABG=∠CBG ，BG=BG ，
∴△ABG ≌△CBG （SAS ）
∴∠BAE=∠BCF ，
∴∠BCF=∠CDE ，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF ⊥DE ，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF ，DC=BC ，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE ≌△CBF （ASA ），
∴CE=BF ，
∵CE=
12BC=12AB ， ∴BF=12
AB ， ∴AF=BF ，故③正确，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF ∽△CBF ∴
CH CE BC CF
= ∵BC=2CE ， ∴2BC CE CE CE CH CF CF
== ∴22CE CH CF =⋅
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
二、填空题
15．【分析】根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB 根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式需要注意的是x 的范围【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°∴∠
解析：(164y x x =
<< 【分析】 根据正方形的性质以及DE ⊥AP 即可判定△ADE ∽△PAB ，根据相似三角形的性质即可列出y 与x 之间的关系式，需要注意的是x 的范围．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴∠BAD ＝∠ABC ＝90°，
∴∠EAD +∠BAP ＝90°，
∠BAP +∠APB ＝90°，
∴∠EAD ＝∠APB ，
又∵DE ⊥AP ，∠AED ＝∠B ＝90°，
∴△ADE ∽△PAB ． ∴=AD DE AP AB ，即4=4
y x
∴(164y x x =<<．
故答案为：(164y x x =
<< 【点睛】 本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
16．或【分析】根据题意可分情况考虑：当时根据比例的等比性质即可求得答案；当时即代入消元即可得解【详解】解：∵∴或①当时∵∴∴∴∴②当时有∴∴综上所述或故答案是：或【点睛】本题考查了比例的等比性质分式的化 解析：2或1-
【分析】
根据题意可分情况考虑：当0a b c ++≠时根据比例的等比性质即可求得答案；当0a b c ++=时，即a b c +=-，代入消元即可得解．
【详解】
解：∵0a ≠，0b ≠，0c ≠
∴0a b c ++≠或0a b c ++=
①当0a b c ++≠时， ∵b c c a a b k a b c
+++=== ∴b c ak +=，c a bk +=，a b ck +=
∴()()()b c c a a b ak bk ck +++++=++
∴()()2a b c k a b c ++=++
∴()22a b c k a b c
++==++ ②当0a b c ++=时，有a b c +=- ∴1a b c k c c +-=
==- ∴综上所述，2k =或1k =-．
故答案是：2或1-
【点睛】
本题考查了比例的等比性质、分式的化简求值等，注意需要分类讨论．
17．2【分析】根据可设代入原式即可求解【详解】∵∴设∴故答案为：2【点
睛】本题考查了比例的性质利用设k 法表示出xyz 求解更简便
解析：2
【分析】
根据::3:2:1x y z =，可设3x k =，2y k =，z k =，代入原式，即可求解．
【详解】
∵::3:2:1x y z =，
∴设3x k =，2y k =，z k =， ∴3242322x y z k k k k x y z k k k k
+-+-===-+-+． 故答案为：2．
【点睛】 本题考查了比例的性质，利用“设k 法”表示出x 、y 、z 求解更简便．
18．n+1【分析】作DG 平行于AF 交BC 于G 由平行线分线段成比例定理比例的性质求得；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG 所以由等量代换证得结论
【详解】证明：如图作交BC 于G ∵AD ：DC=1：n ∴AD ：
解析：n+1
【分析】
作DG 平行于AF 交BC 于G ．由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得
1AC FC n AD FG
==+；然后根据三角形中位线的定义知BF=FG ，所以由等量代换证得结论． 【详解】
证明：如图，作//DG AF 交BC 于G
∵AD ：DC=1：n ，
∴AD ：AC=1：（n+1）．
∵//DG AF ，
∴AC FC CD GC
=， 根据比例的性质知，
1AC FC n AD FG ==+， 又E 是BD 的中点，
∴EF 是△BGD 的中位线，
∴BF=FG ．
∴FC:BF=FC BF =1FC n FG
=+．
故填：n+1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例．列比例式时，一定要找准对应线段，以防错解． 19．【分析】由于人和地面是垂直的即和路灯平行构成相似三角形根据对应边成比例列方程解答即可【详解】即解得：即路灯的高度为48米【点睛】本题考查了相似三角形的应用把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的 解析：4.8m
【分析】
由于人和地面是垂直的，即和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【详解】
//CE AB ，
ADB EDC ∴∽，
::AB CE BD CD ∴=，即:1.67.5:2.5AB =，
解得： 4.8m AB =．
即路灯的高度为4.8米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用．把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了转化的思想．
20．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN
解析：【分析】
根据三角形重心的性质可得AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵点M 是△ABC 的重心，
∴AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，
∴△CMN ∽△CDB ， ∴
23MN CM DB CD ==，
2
3
=，解得MN =．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 21．16或10+2或【分析】分三种情形讨论即可
①AB=BE1②AB=AE3③E2A=E2B 分别计算即可【详解】解：如图在Rt △ABC 中∵∠ACB=BC=3AC=4∴①当BA=BE1=5时CE1=2∴∴△
解析：16或10+25或
403
【分析】
分三种情形讨论即可，①AB=BE 1，②AB=AE 3，③E 2A=E 2B ，分别计算即可．
【详解】
解：如图
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90，BC=3，AC=4 ∴225AB BC AC =+=
①当BA=BE 1=5时，CE 1=2， ∴221125AE AC CE =
+=∴△ABE 1周长为（5
②当AB=AE 3=5时，CE 3=BC=3，BE 3=6，
∴△ABE 3周长为16米．
③当E 2A=E 2B 时，作E 2H ⊥AB ，则BH=AH=2.5， ∵∠B=∠B ，∠ACB=∠BHE 2=90∘，
∴△BAC ∽△BE 2H ，
∴
2BE BH BC AB
= ∴BE 2=256，
∴△ABE 2周长为25402563⨯+=米． 综上所述扩充后等腰三角形的周长为16或10+25或
403米 故答案为：16或10+25或
403
【点睛】 本题考查等腰三角形的定义、勾股定理、相似三角形的性质与判定、三角形周长等知识，正确理解题意是解题的关键，运用了分类讨论的数学思想，注意漏解．
22．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长
【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或
254 【分析】
分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．
【详解】
解：①如图，90CPD ∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，
∴AD BD CD ==，
∴DCP ABC ∠=∠，
∵90CPD BCA ∠=∠=︒，
∴
CPD BCA ， ∴CP CD BC BA
=， ∵6AC =，8BC =，
∴10AB =，5AD BD CD ===，
∴5810
CP =，解得4CP =；
②如图，90CDP ∠=︒，
此时CDP BCA ，
∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254
CP =．
故答案是：4或
254
． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 23．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC ∥AD 进而可判定△ADF ∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD 的面积【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BCAD ＝BC ∴△A
解析：18
【分析】
根据平行四边形的性质可得BC ∥AD ，进而可判定△ADF ∽△EBF ，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD 的面积．
【详解】
解：∵ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∴△ADF ∽△EBF ，
∵EC ＝2BE ，
∴BC ＝3BE ，即AD ＝3BE ，
∴S △AFD ＝9S △EFB ＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
24．①③【分析】①易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接AGFG 根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和 解析：①③
【分析】
①易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；
②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF
的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；
④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=BC=CD ，
∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，
∴BF=CG ，
∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△BCG ，
∴∠BAF=∠CBG ，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF ⊥BG ；①正确；
②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩
， ∴△BNF ∽△BCG ， 32BN BC NF CG ∴==， BN 32
NF =，②错误； ③作EH ⊥AF ，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1， 2213AF AB BF =+=
1122ABF AF BN AB BF S ∆=
⋅=⋅， 6132413N B 3NF BN ===3AN 91AF NF =
∴=-， ∵E 是BF 中点，
∴EH 是△BFN 的中位线，
313213NH EH ==∴BN ∥EH ，
111313AH AN MN AH EH ∴==，，解得：MN=2713143， ∴BM=BN-MN=31311
，MG=BG-BM=81311， 38
BM MG ∴=，③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，
则713 11142712213S 13
CFG GNF CGNF S S CG CF NF NG ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形， 11633512226213ANG ADG ANGD S S S AN GN AD DG ∆∆=+=
⋅+⋅=+=四边形， S 12
CGNF S ≠四边形，④错误； 故答案为 ①③．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN ，BN ，NG ，NF 的值是解题的关键．
25．【分析】连接BEDE 则BE ⊥AC 由勾股定理可求得BE 再证明△EBF ∽△CBE 列比例式可求得CF 的长即BC 的长由勾股定理求得CE 的长进而可求得AC 的长再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△
13+【分析】
连接BE ，DE ，则BE ⊥AC ，由勾股定理可求得BE ，再证明△EBF ∽△CBE ，列比例式可求得CF 的长，即BC 的长，由勾股定理求得CE 的长，进而可求得AC 的长，再根据圆内接四边形的外角等于内对角证明△ADE ∽△ACB ，则有
AD AE AC AB
=， 即可求得AD 的长． 【详解】
解：连接BE ，
∵BC 为半圆O 的直径，
∴BE ⊥AC ，即∠AEB=∠BEC=90°，
在Rt △ABE 中，AB=8，AE=2，
由勾股定理得：BE= 222282215AB AE -=-=， ∵EF ⊥BC ，
∴∠EFB=∠BEC=90°，又∠EBF=∠EBC ，
∴△EBF ∽△CBE ， ∴
BE BF BC BE
=， ∵BF:FC=5:1， ∴BF=5FC ，BC=6CF ，
∴21556215
CF CF =， 解得：CF=2，则BC=62，
∴在Rt △BEC 中，CE=2222(62)(215)23BC BE -=-=，
∴AC=2+23，
∵∠DAE=∠CAB ，∠ADE=∠ACB ，
∴△ADE ∽△ACB,
∴AD AE AC AB
=， 即28
223AD =+， 解得：AD=2(223)1382
⨯++=， 故答案为：
132+．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形外角性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
26．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线
解析：125 【分析】
过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，证明DE DG MN ==（设为)λ，得到AM AN λ=-；证明△∽△ADG ABC ，列出比例式446
λλ-=，求出λ即可解决问题． 【详解】
解：如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，
四边形DEFG 是正方形，
DE DG MN ∴==（设为)λ，则AM AN λ=-；
6BC =，ABC 的面积为12，
∴1
6122
AN ⨯=， 4AN ∴=，4AM λ=-；
//DG BC ，
ADG ABC ∴∽，
∴446
λλ-=， 解得：125
λ=． 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
27．
（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析
【分析】
（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证．
【详解】
解：（1）D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，
BD CD ∴=，AE CE =，
//GE BC ，
AGE ADC ∴∽△△，
12
AG GE AE AD CD AC ∴===， AG GD ∴=，2GE CD BD ==，
//GE BC ，
GEF DBF ∴∽△△，
12
GE GF BD DF ∴==， 2DF GF ∴=，
3AG DG GF ∴==，
3AG GF
∴=．
（2）当BD =4DF =时，
由（1）可得
122GF DF =
=，36AG DG GF ===，212AD AG ==， 1
2
GE BD ==， 4
BD DF ==AD BD ==， AD BD BD DF ∴=， 又BDG ADB ∠=∠，
BDA FDB ∴∽△△，
3GE
GF =AD BD == AD GE BD GF
∴=， //GE BC ，
ADB EGF ∴∠=∠，
BDA FGE ∴∽△△．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
28．
（1）见解析；（2）152
【分析】 （1）根据切线性质可知90CAB CAF ∠+∠=︒，所得等式两边同乘2可得
22180CAB CAF ∠+∠=︒，在等腰三角形ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒，联立两个等式即可证明．
（2）连接AE ，设CE x =，根据等腰三角形性质及勾股定理可得3AE x =，在Rt AEC 中运用勾股定理得出CE 、AE 的值，再根据AEF BEA ∽△△计算得出AF 的值．
【详解】
（1）证明：∵AB 为O 的直径，AF 是O 的切线，
∴AF AB ⊥，90CAB CAF ∠+∠=︒，
等式两边同乘2可得：22180CAB CAF ∠+∠=︒①；
∵BA=BC ，
∴CAB ACB ∠=∠,
∴在ABC 中，2180CAB ABC ∠+∠=︒②，
联立①和②可得：222CAB CAF CAB ABC ∠+∠=∠+∠，
∴2ABC CAF ∠=∠．
（2）解：连接AE ，如图：
∵:1:4CE EB =，BA=BC ，设CE x =，90AEB =︒∠（直径所对圆周角是直角）， ∴在Rt AEB 中，45AB CE EB x x x =+=+=，4BE x =，
22=(5)(4)3AE x x x -=，
∵在Rt AEC 中，222AE CE AC +=，即()(2223210
40x x +==，
∴解得：2x =，AE=6，AB=10，
∵AE ⊥BF ，FAE ABE ∠=∠（弦切角度数等于它所夹弧度所对圆周角度数）， ∴
FAE ABE ∽，
∴FA AB AE BE =，即1068FA =， 解得：152
FA =．
【点睛】
本题考查切线性质的综合运用，用勾股定理解三角形，灵活运用切线性质和勾股定理是解题关键．
29．
（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）由已知可得RT △AEH ∽RT △GFB ，从而可得∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，进一步得到∠C=180°-90°=90°；
（2）根据由（1）所得RT △AEH ∽RT △HCG 的性质和已知条件可以得到解答．
【详解】
（1）证明：由已知，EF=EH=GF ，
∴由2EF AE FB =⋅可得：
AE EF EF FB =，即AE EH GF FB
=， 又四边形 EFGH 是正方形 ，∴∠AEH=∠GFB=90°,
∴RT △AEH ∽RT △GFB ，∴∠A=∠FGB ，
∴∠A+∠B=∠FGB+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°； （2）∵四边形 EFGH 是正方形 ，∴HG ∥AB ，∴∠A=∠CHG ，
又∠AEH=∠C=90°，∴RT △AEH ∽RT △HCG ， ∴,?·AH EH AH CG HG EH HG GC
==， 由已知得：EF=EH=GH ，∴2··AH CG EF AE FB ==．
【点睛】
本题考查正方形与相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
30．
（1）90；（2）见解析
【分析】
（1）根据互补四边形的定义得到180A C ∠+∠=︒，由四边形内角和得
180B D ∠+∠=︒，根据三个角的比例，列式求出各个角的度数；
（2）根据两组对应边成比例且夹角相等，证明BDE BCA ，得到BED A ∠=∠，可以证明180A CED ∠+∠=︒，就可以证明四边形ADEC 是互补四边形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是互补四边形，且A ∠与C ∠是一组对角，
∴180A C ∠+∠=︒，
∵四边形内角和是360︒，
∴180B D ∠+∠=︒，
∵::2:3:4B C D ∠∠∠=，
∴设2B x ∠=，3C x ∠=，4D x ∠=，
24180x x +=︒，解得30x =︒， ∴390C x ∠==︒，则1809090A ∠=-=︒︒︒， 故答案是：90；
（2）∵BE BC AB BD ⋅=⋅， ∴BE BD AB BC
=， ∵B B ∠=∠，
∴
BDE BCA ，
∴BED A ∠=∠， ∴180A CED BED CED ∠+∠=∠+∠=︒， ∴四边形ADEC 是互补四边形．
【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．。