四川省自贡市2012届高三数学第三次诊断性检测试题 理 旧人教版

自贡市普高2012届第三次诊断性考试
数学（理工类）
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.第一部分1至3页，第二部分4至6页，共6页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，只交回答题卡，试题卷学生自己保留. 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 球的表面积公式
()()()
P A B P A P B +=+ 2
4S R π=
如果事件A ，B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
()()()
P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 3
43V R π=
那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()()
()
1,0,1,2,,n k
k k
n n P k C p k k n -=-=
第一部分（选择题共60分） 注意事项：
1. 选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.
2. 本部分共12小题，每小题5分，共60分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.*
1. 已知集合M= {0，1，2，3，4}，N = {1，3，5}，P=M N,则P 的子集共有 (A) 2 个 （B) 4 个（C) 6 个（D) 8 个
2. 设复数
（其中a ，b R, i 为虚数单位），则
(A) a = 0,b = 0 (B) a = 0,b 0
(C) a 0,6 = 0 (D) a 0，b 0 3. 要得到
的图象只需将y =3sin2x 太的图象
(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位
(C)向左平移个单位 （D)向右平移个单位
4. 设函数
在定义域内可导，
的图象如图1所示，则其导
函数的图像可能为
5. 已知数列为等差数列，为其前项和，且，则=
(A) 25 (B) 27 (C) 50 (D) 54
6. 表示两个不同的平面，l表示既不在a内也不在内的直线，存在以下三种情况：
.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，
其中正确命题的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
7. 已知G是的重心，且，其中a，b，c分别为角A、B、C的对边，则cosC＝
(A) (B) (C) (D)
8.设O为坐标原点，A（-1，1),平面区域M为随机从区域中抽取一整点P（横、纵坐标都是整数)，则的概率是
(A) (B) (C) (D)
9 F1 F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是的内心，且，则=
(A) (B) (C) (D)
10. 已知抛物线，莨线，PA，PB为曲线C的两条切线，切点为A, B,令甲：若P在l上，乙：，则甲是乙的
(A)充要条件 (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
11. 某两个三口之家，拟乘“富康”，“桑塔纳”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多.只能坐4个人，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能单独坐一辆车，则不同的杀车方法种数为.
(A) 58 (B) 50 (C) 48 (D) 40、
12. 定义域在R上的函数f(x)满足：①是奇函数；②当时，.
又.，则的值
(A)恒小于0 (B)恒大于0
(C)恒大于等于0 (D)恒小于等于0
第二部分(非选择题共90分）
注意事项：
1. 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效
2. 本部分共10小题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13.若的展幵式中的常数项为，则实数a = ______.
14. 已知圆C:和直线，当直线l被圆C截得
弦长为时，则a=______.
15. 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，ΔABC，ΔACD, ΔADB的面积分别为
，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为. ______
16. 对于三次函数，定义是的导函数
的导函数，若方程有实数解x0，则称点为函数的“拐点”，可以发现，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一发现判断下列命题：
①任意三次函数都关于点对称：
②存在三次函数有实数解，点为麵的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数，则，
.
其中正确命题的序号为_______(把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题共12分）
在ΔABC中，a，b, c分别是角A，B, C的对边，向量，，.
且
(I) 求角B的大小；
(II) 设，且的最小正周期为，求在区间上的最大值和最小值.
18. (本小题共12分）
某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会，拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
(I)从这50名教师中随机选出2名教师发言，求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版的概率；
(II )设使用北师大版的5名教师中有3名男教师，2名女教师，若随机选出2名用北师大版的教师发言，求抽到男教师个数的分布列和期望.
19•(本小题共12分）
如图所示，己知三棱柱的侧棱与底面垂直，
’ M,N.分别是的中点，
P点在上，且满足
(I)证明：
(II) 当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？
并求出该最大角的正切值；
(III) 在（II)条件下求P到平而AMN的距离.
20 (本小题共12分）
己知椭圆C:.的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y + 2 = 0相切,A,B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II) M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
21. (本小题共12分）
已知数列中a1= 2,点在函数的图象上，.数列的前n项和为Sn，且满足b1=1，当n2时，.
(I)证明数列是等比数列；
(II)求Sn
(III) 设
求的值.
22. (本小题共14分）
已知函数，
.
(1)求曲线f(x)在点A 处的切线方程；
(II)讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数，使当时恒成立？若存在，求 出实数
a;若不存在，请说明理由
自贡市普高2012级第三次诊断性考试 数学参考答案及评分意见 一、（理）BACDB CCDDA CD （文）BCCCD BCACD AB 二、（理）13. 2±216π 16. ①②
（文）13. 0 14. 3
56π 16. ①②④
解答题
17． (12分) (Ⅰ)由m//n ，得B c a C b cos )2(cos -=, …………2分 ∴ 由正弦定理，得B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+， …………4分
即B A C B cos sin 2)sin(=+--------5分 ∴
21cos =
B ，∴3π
=B ----------6分
(Ⅱ)由题意知，)6sin(3sin )6cos()(πωωπω+=+-=x x x x f ,∵ π
ωπ
=2，∴2=ω
----8分
)
62sin(3)(π
+
=x x f 当
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∈+67,662πππx --------------10分 当
6π
=
x 时，()f x 的最大值为3，当
2π
=
x 时，()f x 的最小值为
23
-
…………12分
18．(12分)文 (Ⅰ)从使用北师大版的5名教师中任选2名共有10种情况，满足题意的有6
种情况，∴ 所求的概率为：
53
1061=
=
P --------6分
（文）(Ⅱ) 理(Ⅰ)只考虑首位发言教师的情况：共有50种，符合题意的有5种，
∴ 所求的概率为
2515010P =
=
------12分 ……（理）6分
理(Ⅱ)设抽到男教师个数ξ则ξ可取0、1、2 ---------------7分
P(
ξ
=0)=
110
P(
ξ
=1)=
610
P(
ξ
=2)=
310
------10分
E ξ=
163012101010⨯
+⨯+⨯=126105=----12分
19．(Ⅰ) (12分) (Ⅰ)以1,,AA
AC AB 分别为z y x ,,轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则)1,0,(λP ，)21,1,0(),0,21,21(M N 11(,,1)22PN λ=--，1
(0,1,)2AM = ----2分 从而11
22PN AM ⋅=-=，-------4分 ………理（3分）
∴AM PN ⊥ -------5分 ………理（4分）
(Ⅱ)平面ABC 的一个法向量为n=（0，0，1）---------6分……理（5分）
则sin θ=∣cos<PN n ⋅>∣=PN n
PN n ⋅⋅=45)21(1
2+-λ------8分…理（6分）
而
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πθ，当θ最大时，sin θ最大，tan θ最大，-----10分…理（7分）
C 1
B 1
B
C
M
P
A
N
A 1
故
21=
λ时，sin θ取到最大值55
2时，tan θ=2 ………12分 ……理（8分）
理(Ⅲ)设平面AMN 的法向量为→
n =(x,y ,z) 由 →
n .AN =0 ，→
n .AM =0
得 →
n =（1，1-，2）AP =(12,0,1) ……理（10分）
||5612||AP n d n ⋅==
……理（12分）
20.（文）(Ⅰ)∵)(x f '=1232-+mx x ，…1分，由题意)(x f '=1232-+mx x <0的解集为
)1,31(-，则1232-+mx x =0的两根分别为1
,31
-，------4分∴可解得1-=m ，故
2)(23+--=x x x x f -----6分
(Ⅱ)由题意有1232
-+mx x ≥)1(2m -在),0(+∞∈x 时恒成立 …………8分
由于),0(+∞∈x ，于是)1(32x m -≥，……10分∵)1(3x -<3， ∴32≥m ，则
23
≥
m -----12分
20（理）．解：（Ⅰ）由题意可设圆的方程为2
2
2
x y b +=，(0)b > (1)
分
∵直线20x y -+=
与圆相切，∴
d b =
=
，即b = …………2分
又
3c e a =
=，即a
=，222a b c =+，解得a =1c =， …………3分
∴ 椭圆方程为22
132x y +=．
…………4分
（Ⅱ）设(
,)M x y ，其中[x ∈．
由已知
22
2
OP
OM
λ=及点P 在椭圆C 上可得
22
2
2
222222633()x x x x y x y λ+-
+==++，
整理得
2222(31)36x y λλ-+=
，其中[x ∈．……6分
①当
λ=
时，化简得2
6y =， …………7分
∴点M
的轨迹方程为y x =≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段；……8分
②当λ≠
时，方程变形为22
22166313x y λλ+=-
，其中[x ∈， ……9分
当
03λ<<
时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y
轴上的双曲线满足x ≤的部分；…10分
当1λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x
轴上的椭圆满足x ≤部分；… 11分
当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆． …………12分
21(理).解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+， 2
11(1)n n a a +∴+=+ ………2分
12a =11n a ∴+>，两边取对数得
1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，即1lg(1)
2
lg(1)n n a a ++=+
{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列． ………4分
（Ⅱ）当2≥n 时,
()⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-212112
n n n n n n S S S S b S 展开整理得：112--=-n n n n S S S S ，…5分
若
0=n S ，则有0=n b ，则0122≠+=b S 矛盾，所以0≠n S ， ………6分
∴ 在等式两侧同除以1-n n S S 得21
11=--n n S S ，
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧∴n S 1为等差数列 ………7分 121
121-=∴-=∴
n S n S n n ………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知11lg(1)2lg(1)n n a a -+=⋅+112
2lg3lg3n n --=⋅=1
213n n a -∴+= (9)
分 12(1)(1)n T a a ∴=++n ...(1+a )012222333=⋅⋅⋅⋅n-12...321223+++=n-1...+2=n 2-13 (10)
分
121
121)12)(12(2+-
-=+-=
n n n n c n
2
1
2
21
311111
(1)335212131
31
n
n
n
n
n
k k T c n n -=∴
⋅=
⋅-+-++
--+++∑
2
113(1)121
13n n =
⋅-
++
……11分
21
1
lim[
]331
n
n
n k n k T c →∞
=∴⋅=
+∑． ………12分
21（文）．(12分) (Ⅰ)椭圆方程为1
422
=+y x -------------5分
(Ⅱ)由题意设直线方程为
56
-
=ty x ， …6分 联立椭圆方程得
02564512)4(22=--
+ty y t ， …7分
设),(),,(2211y x N y x M ， 则
1212
221264
,5(4)25(4)t y y y y t t -+=
=++ ……9分
又)0,2(-A ， ∴ 21212416
(1)()0
525AM AN t y y t y y ⋅=++++= ……11分
∴∠MAN 为定值2π
． ------12分
22（理）．解 (Ⅰ)∵ a ＞0，
ax e a
x a x x f )12()(2+-
=，∴
ax
ax e a a x a x e a x x f ⋅⋅+-+-=')12()22()(2 =ax ax e a a ax e x ax a x )2()1222(22-+=+-+-， …… 2分 于是a f 1)0(=，a a f 2)0(-='，所以曲线y = f （x ）在点A （0，f （0））处的切线方程为
)0(21--=-x a a a y ，即（a －2）x －ay + 1 = 0． ……… 4分
(Ⅱ)∵ a ＞0，eax ＞0，∴ 只需讨论
a a ax 22-+的符号． ………… 5分 ⅰ）当a ＞2时，a a ax 22-+＞0，这时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（－∞，+∞）上
为增函数．
ⅱ）当a = 2时，f ′（x ）= 2x2e2x ≥0，函数f （x ）在（－∞，+∞）上为增函数． ……6分
ⅲ）当0＜a ＜2时，令f ′（x ）= 0，解得
a a x --=21，a a x -=22．
∴f(x)在)2,(a a ---∞，),2(+∞-a a ,为增函数,f(x)在)2,2(a a a a ---为减函数． …… 9分
(Ⅲ)当a ∈（1，2）时，a a -2∈（0，1）．由(Ⅱ)知f （x ）在)2,0(a a -上是减函数，在
)1,2(a a -上是增函数，故当x ∈（0，1）时，a e a a a a f x f ---=-=22min )21(2)2()(，……10分
∴22)(a x f >当x ∈（0，1）时恒成立，等价于1)21(2>---a e a 恒成立．……11分
当a ∈（1，2）时，)1,0(2∈-a ，设)1,0(,)1()(∈-=t e t t g t ，则0)(<-=--='t t t t te te e e t g ，
表明g(t) 在（0，1）上单调递减，于是可得)1,0()(∈t g ，即a ∈（1，2）时1)21(2<---a e a 恒成立，……13分 符合条件的实数a 不存在． …… 14分
(文)22．解：(Ⅰ)∵),(n n n b a P ,)0,1(-n ,)0,(n 构成以n P 为顶点的等腰三角形, ∴
2122)1(-=+-=n n n a n ……2分 又因为),(n n n b a P 在函数x y 2log 3=的图像上，∴ )12(log 3-=n b n ……4分
(Ⅱ)①∵n b n c 3=，+∈N n , ∴12-=n c n
------------------5分
设n D =n n c c c 22
2221+++ ,则n D =n n 21223212-+++ . ① ∴ 143221223225232121+-+-++++=n n n n n D ② ……6分
由①－②得:1122122121212121+---++++=n n n n D .
∴
n n n n D 2122121112--++++=- n n n 2122
11)21(111
----+=-n n n 2122132---=-<3--------9分 ②由已知得)(121223412n g n n n k =--⨯⨯⨯≤ 对一切+∈N n 均成立.
∴
1223412123212221223412)()1(-⨯⨯⨯+⨯+++⨯-⨯⨯⨯=+n n n n n n n n n g n g 384222+++=n n n 38448422++++=n n n n >1-------12分 ∴)(n g 单调递增.最小值为
33
232
)1(==g .--------13分
又∵)(n g k ≤对一切+∈N n 均成立.∴
332≤k .332max =k . …………14分。