高2021届高2018级高三数学高考复习资料第三章3.2

高2021届高2018级高三数学复习资料§3.2导数与函数的
单调性
函数的单调性与导数的关系
条件恒有结论
函数y＝f (x)在区间(a,b)上可导f′(x)>0 f (x)在(a,b)内单调递增f′(x)<0 f (x)在(a,b)内单调递减
f′(x)＝0 f (x)在(a,b)内是常数函数
概念方法微思考
“f (x)在区间(a,b)上是增函数,则f′(x)>0在(a,b)上恒成立”,这种说法是否正确？
提示不正确,正确的说法是：
可导函数 f (x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a
,b)上的任一非空子区间内都不恒为零.
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)＝0,则f (x)在此区间内没有单调性.(√)
(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f′(x)≥0,则f (x)在此区间内单调递增.(×)
(3)在(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个,则f (x)在(a,b)内是减函数.(√)
题组二教材改编
2.如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f′(x)的图象,则下列判断正确的是()
A.在区间(－2,1)上f (x)是增函数
B.在区间(1,3)上f (x)是减函数
C.在区间(4,5)上f (x)是增函数
D.在区间(3,5)上f (x )是增函数 【参考答案】 C
【试题解析】 在(4,5)上f ′(x )>0恒成立,∴f (x )是增函数. 3.函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.增函数 D.减函数
【参考答案】 D
【试题解析】 因为在(0,π)上恒有f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.
4.函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________,单调递减区间是________. 【参考答案】 (0,＋∞) (－∞,0)
【试题解析】 由f ′(x )＝e x －1>0,解得x >0,故其单调递增区间是(0,＋∞)；由f ′(x )<0,解得x <0,故其单调递减区间为(－∞,0).
题组三 易错自纠
5.若函数f (x )＝13x 3－3
2x 2＋ax ＋4的单调减区间为[－1,4],则实数a 的值为________.
【参考答案】 －4
【试题解析】 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ,且f (x )的单调减区间为[－1,4],∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4],
∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根, 则a ＝(－1)×4＝－4.
6.若y ＝x ＋a 2
x (a >0)在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.
【参考答案】 (0,2]
【试题解析】 由y ′＝1－a 2
x 2≥0,得x ≤－a 或x ≥a .
∴y ＝x ＋a 2
x 的单调递增区间为(－∞,－a ],[a ,＋∞).
∵函数在[2,＋∞)上单调递增,
∴[2,＋∞)⊆[a ,＋∞),∴a ≤2.又a >0,∴0<a ≤2. 7.已知函数f (x )＝x 2(x －a ).
(1)若f (x )在(2,3)上单调,则实数a 的取值范围是________________； (2)若f (x )在(2,3)上不单调,则实数a 的取值范围是________. 【参考答案】 (1)(－∞,3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞ (2)⎝⎛⎭
⎫3，92
【试题解析】 由f (x )＝x 3－ax 2,得 f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝⎛⎭⎫x －2a 3. (1)令f ′(x )＝0,得x ＝0或x ＝
2a
3
, 若f (x )在(2,3)上单调递减,则有2a 3≥3,解得a ≥9
2；
若f (x )在(2,3)上单调递增,则有2a
3
≤2,解得a ≤3,
所以若f (x )在(2,3)上单调,实数a 的取值范围是(－∞,3]∪⎣⎡⎭⎫92，＋∞.
(2)若f (x )在(2,3)上不单调,则有⎩⎨⎧
2a
3≠0，
2<2a
3<3，
可得3<a <9
2
.
不含参函数的单调性
1.函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A.(0,1) B.(1,＋∞) C.(－∞,1) D.(－1,1)
【参考答案】 A
【试题解析】 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)
x (x >0),
∴当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,f (x )为减函数； 当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0,f (x )为增函数. 2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,＋∞) 【参考答案】 D
【试题解析】 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ,令f ′(x )>0,解得x >2,故选D. 3.函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________. 【参考答案】 (－∞,0) (0,1)
【试题解析】 f (x )的定义域为{x |x ≤1},
f ′(x )＝1－
1
1－x
.令f ′(x )＝0,得x ＝0. 当0<x <1时,f ′(x )<0.当x <0时,f ′(x )>0.
∴f (x )的单调递增区间为(－∞,0),单调递减区间为(0,1).
4.已知定义在区间(－π,π)上的函数 f (x )＝x sin x ＋cos x ,则 f (x )的单调递增区间是______________________.
【参考答案】 ⎝
⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π
2 【试题解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0,
则其在区间(－π,π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π
2, 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域. (2)求f ′(x ).
(3)解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
含参数的函数的单调性
例1 已知函数f (x )＝1
2ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ,a >0,试讨论函数y ＝f (x )的单调性.
解 函数的定义域为(0,＋∞),
f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1
x
＝
(ax －1)(x －1)x
.
①当0<a <1时,1
a
>1,
∴x ∈(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时,f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭
⎫1，1
a 时,f ′(x )<0, ∴函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1，1
a 上单调递减； ②当a ＝1时,1
a
＝1,
∴f ′(x )≥0在(0,＋∞)上恒成立,
∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增； ③当a >1时,0<1
a
<1,
∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1
a 和(1,＋∞)时,f ′(x )>0； x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时,f ′(x )<0,
∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1,＋∞)上单调递增,在⎝⎛⎭
⎫1
a ，1上单调递减. 综上,当0<a <1时,函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1，1
a 上单调递减； 当a ＝1时,函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增；
当a >1时,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1,＋∞)上单调递增,在⎝⎛⎭
⎫1
a ，1上单调递减. 若将本例中参数a 的范围改为a ∈R ,其他条件不变,试讨论f (x )的单调性？
解 a >0时,讨论同上； 当a ≤0时,ax －1<0,
∴x ∈(0,1)时,f ′(x )>0；x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0, ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减.
综上,当a ≤0时,函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减； 当0<a <1时,函数f (x )在(0,1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫1，1
a 上单调递减； 当a ＝1时,函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增；
当a >1时,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1,＋∞)上单调递增,在⎝⎛⎭
⎫1
a ，1上单调递减. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点. 跟踪训练1 (2020·重庆一中模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋
b (a ,b ∈R ),试讨论f (x )的单调性. 解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ,令f ′(x )＝0, 解得x 1＝0,x 2＝－2a
3
.
当a ＝0时,因为f ′(x )＝3x 2≥0,所以函数f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增； 当a >0时,x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a
3∪(0,＋∞)时,f ′(x )>0, x ∈⎝⎛⎭
⎫－2a
3，0时,f ′(x )<0, 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3,(0,＋∞)上单调递增,在⎝⎛⎭
⎫－2a
3，0上单调递减；
当a <0时,x ∈(－∞,0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞时,f ′(x )>0,x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a
3时,f ′(x )<0, 所以函数f (x )在(－∞,0),⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增,在⎝
⎛⎭⎫0，－2a
3上单调递减. 综上,当a ＝0时,f (x )在R 上单调递增；当a >0时,f (x )在⎝
⎛⎭⎫－∞，－2a
3,(0,＋∞)上单调递增,在⎝⎛⎭⎫－2a 3，0上单调递减；当a <0时,f (x )在(－∞,0),⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增,在⎝
⎛⎭⎫0，－2a 3上单调递减.
函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例2 (1)已知函数f (x )＝x sin x ,x ∈R ,则f ⎝⎛⎭⎫π5,f (1),f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A.f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π
5 B.f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π
5 C.f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D.f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π
5>f (1) 【参考答案】 A
【试题解析】 因为f (x )＝x sin x ,所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x ),所以函数f (x )是偶函数,所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0,所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π
2上是增函数,所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3,即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭
⎫π5,故选A. (2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x ),当x <0时,xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )
e ,b ＝
f (ln 2)ln 2,c ＝f (3)
3,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b <a <c B.a <c <b C.a <b <c D.c <a <b 【参考答案】 D
【试题解析】 设g (x )＝f (x )x ,则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2,
又当x <0时,xf ′(x )－f (x )<0,
所以g ′(x )<0,即函数g (x )在区间(－∞,0)内单调递减.因为f (x )为R 上的偶函数,所以g (x )为(－∞,0)∪(0,＋∞)上的奇函数,所以函数g (x )在区间(0,＋∞)内单调递减.由0<ln 2<e<3,可得g (3)<g (e)<g (ln 2),即c <a <b ,故选D.
命题点2 根据函数单调性求参数
例3 已知函数f (x )＝ln x －1
2
ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围.
解 因为f (x )在[1,4]上单调递减,所以当x ∈[1,4]时,f ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2
x 恒
成立.
设G (x )＝1x 2－2
x
,x ∈[1,4],
所以a ≥G (x )max ,而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12
－1, 因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎡⎦⎤
14，1, 所以G (x )max ＝－7
16(此时x ＝4),
所以a ≥－7
16
,又因为a ≠0,
所以a 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫－7
16，0∪(0,＋∞). 本例中,若f (x )在[1,4]上存在单调递减区间,求a 的取值范围.
解 因为f (x )在[1,4]上存在单调递减区间, 则f ′(x )<0在[1,4]上有解, 所以当x ∈[1,4]时,a >1x 2－2
x
有解,
又当x ∈[1,4]时,⎝⎛⎭⎫
1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1), 所以a >－1,又因为a ≠0,
所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0,＋∞).
本例中,若f (x )在[1,4]上单调递增,求a 的取值范围.
解 因为f (x )在[1,4]上单调递增, 所以当x ∈[1,4]时,f ′(x )≥0恒成立, 所以当x ∈[1,4]时,a ≤1x 2－2
x 恒成立,
又当x ∈[1,4]时,⎝⎛⎭⎫
1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1),
所以a ≤－1,即a 的取值范围是(－∞,－1]. 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增(减)函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
跟踪训练2 (1)已知函数 f (x )＝x 3－2x ＋e x －1
e x ,其中e 是自然对数的底数,若
f (a －1)＋f
(2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________. 【参考答案】 ⎣
⎡⎦⎤－1，12 【试题解析】 由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1
e x ,
得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1
e x －e x ＝－
f (x ),
所以f (x )是R 上的奇函数,
又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1
e x ≥3x 2－2＋2
e x ·1
e
x ＝3x 2, 当且仅当x ＝0时取等号,
所以f ′(x )≥0,所以f (x )在其定义域内单调递增,
所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2, 解得－1≤a ≤1
2
,故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. (2)(2020·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数f (x )＝－1
2x 2－3x ＋4ln x 在(t ,t ＋1)上不单调,则实数t
的取值范围是________. 【参考答案】 (0,1)
【试题解析】 ∵函数f (x )＝－1
2x 2－3x ＋4ln x (x >0),
∴f ′(x )＝－x －3＋4
x
,
∵函数f (x )＝－1
2x 2－3x ＋4ln x 在(t ,t ＋1)上不单调,
∴f ′(x )＝－x －3＋4
x 在(t ,t ＋1)上有变号零点,
∴x 2＋3x －4x ＝0在(t ,t ＋1)上有解,
∴x 2＋3x －4＝0在(t ,t ＋1)上有解, 由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去),
∴1∈(t ,t ＋1),∴t ∈(0,1), 故实数t 的取值范围是(0,1).
1.当x >0时,f (x )＝x ＋4
x 的单调递减区间是( )
A.(2,＋∞)
B.(0,2)
C.(2,＋∞)
D.(0,2)
【参考答案】 B
【试题解析】 由f ′(x )＝1－4x 2＝(x －2)(x ＋2)
x 2<0,
又x >0,∴x ∈(0,2).故选B.
2.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫
π2，3π2 B.(π,2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D.(2π,3π) 【参考答案】 B
【试题解析】 y ′＝－x sin x , 经验证,只有在(π,2π)内y ′>0恒成立, ∴y ＝x cos x －sin x 在(π,2π)上是增函数.
3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝
⎛⎭⎫－∞，1a D.(－∞,a ) 【参考答案】 A
【试题解析】 由f ′(x )＝1x －a >0,x >0,得0<x <1a .
∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫0，1a . 4.(2019·济南模拟)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示,则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
【参考答案】 D
【试题解析】 利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )>0的解集对应y ＝f (x )的增区间,f ′(x )<0的解集对应y ＝f (x )的减区间,验证只有D 选项符合.
5.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示,则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为(
)
A.(－∞,－1)∪(0,1)
B.(－1,0)∪(1,＋∞)
C.(－2,－1)∪(1,2)
D.(－∞,－2)∪(2,＋∞) 【参考答案】 A
【试题解析】 在(－∞,－1)和(1,＋∞)上,f (x )单调递增,所以f ′(x )>0,使xf ′(x )<0的范围为(－∞,－1)；
在(－1,1)上,f (x )单调递减,所以f ′(x )<0,使xf ′(x )<0的范围为(0,1). 综上,关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为(－∞,－1)∪(0,1). 6.若0<x 1<x 2<1,则( ) A.21e e x
x
－>ln x 2－ln x 1 B.21e e x x
－<ln x 2－ln x 1 C.1221e e x
x
x x > D. 1221e e x
x
x x <
【参考答案】 C
【试题解析】 设f (x )＝e x
x ,则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2.
当0<x <1时,f ′(x )<0,即f (x )在(0,1)上单调递减, ∵0<x 1<x 2<1,∴f (x 2)<f (x 1),
即2121
e e <x x x x ,∴1221e e x x
x x >,故选C. 7.(多选)已知函数 f (x )的定义域为R ,其导函数f ′(x )的图象如图所示,则对于任意
x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),下列结论正确的是( )
A.f (x )＜0恒成立
B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0
C.f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞
f (x 1)＋f (x 2)2 D.f ⎝⎛
⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2 【参考答案】 BD
【试题解析】 由导函数的图象可知,导函数f ′(x )的图象在x 轴下方,即f ′(x )＜0,故原函数为减函数,并且递减的速度是先快后慢.所以f (x )的图象如图所示：
f (x )＜0恒成立,没有依据,故A 不正确；
B 表示(x 1－x 2)与[f (x 1)－f (x 2)]异号,即f (x )为减函数.故B 正确；
C,D 左边的式子意义为x 1,x 2中点对应的函数值,即图中点B 的纵坐标值,
右边式子代表的是函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标值,显然有左边小于右边,
故C 不正确,D 正确.
8.(多选)若函数e x f (x )(e ＝2.718…,e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质.下列函数不具有M 性质的为( )
A.f (x )＝ln x
B.f (x )＝x 2＋1
C.f (x )＝sin x
D.f (x )＝x 3
【参考答案】 ACD
【试题解析】 对于A,f (x )＝ln x ,则g (x )＝e x ln x ,
则g ′(x )＝e x ⎝
⎛⎭⎫ln x ＋1x ,函数g (x )＝e x ln x 在(0,＋∞)先递减后递增； 对于B,f (x )＝x 2＋1,则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋1),
g ′(x )＝e x (x 2＋1)＋2x e x ＝e x (x ＋1)2＞0在实数集R 上恒成立,
∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上是增函数；
对于C,f (x )＝sin x ,则g (x )＝e x sin x ,g ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4,显然g (x )不单调； 对于D,f (x )＝x 3,则g (x )＝e x f (x )＝e x x 3,g ′(x )＝e x x 3＋3e x x 2＝e x (x 3＋3x 2)＝e x x 2(x ＋3),当x ＜－3时,g ′(x )＜0,∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上先递减后递增；
∴具有M 性质的函数的选项为B,不具有M 性质的函数的选项为A,C,D.
9.已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0).
(1)若f (x )的单调递减区间是(0,4),则实数k 的值为________；
(2)若f (x )在(0,4)上为减函数,则实数k 的取值范围是________.
【参考答案】 (1)13
(2)⎝⎛⎦⎤0，13 【试题解析】 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ,
由题意知f ′(4)＝0,解得k ＝13
. (2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0(k >0),
并结合导函数的图象可知,必有－2(k －1)k
≥4, 解得k ≤13,故0<k ≤13
. 10.若函数 f (x )＝－13x 3＋12
x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间,则a 的取值范围是________.
【参考答案】 ⎝⎛⎭
⎫－19，＋∞ 【试题解析】 对f (x )求导,得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a
＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14
＋2a . 由题意知,f ′(x )>0在⎣⎡⎭
⎫23，＋∞上有解, 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时,f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29
＋2a . 令29＋2a >0,解得a >－19
, 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－19，＋∞. 11.(2020·福州质检)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x
(k 为常数),曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与x 轴平行.
(1)求实数k 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间.
解 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x (x >0). 又由题意知
f ′(1)＝1－k e
＝0,所以k ＝1. (2)f ′(x )＝1x －ln x －1e x
(x >0). 设h (x )＝1x
－ln x －1(x >0), 则h ′(x )＝－1x 2－1x
<0, 所以h (x )在(0,＋∞)上单调递减.
由h (1)＝0知,当0<x <1时,h (x )>0,所以f ′(x )>0；
当x >1时,h (x )<0,所以f ′(x )<0.
综上,f (x )的单调递增区间是(0,1),
单调递减区间是(1,＋∞).
12.讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性.
解 f (x )的定义域为(0,＋∞),
f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x
. ①当a ≥1时,f ′(x )>0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增；
②当a ≤0时,f ′(x )<0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减；
③当0<a <1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝
1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－a 2a ，＋∞时, f ′(x )>0,故f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增. 综上,当a ≥1时,f (x )在(0,＋∞)上单调递增；当a ≤0时,f (x )在(0,＋∞)上单调递减；当0<a <1时,f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝
⎛⎭
⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增. 13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ,g (x )为f (x )的导函数.若f (x )在(0,1)上单调递减,则下列结论正确的是( )
A.a 2－3b 有最小值3
B.a 2－3b 有最大值2 3
C.f (0)·f (1)≤0
D.g (0)·g (1)≥0
【参考答案】 D
【试题解析】 由题意可得g (x )＝f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为 f (x )在(0,1)上单调递减,所以g (x )≤0在(0,1)上恒成立,即g (0)≤0,g (1)≤0,所以g (0)·g (1)≥0,故选D.
14.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1,f (x )的导数f ′(x )<12,则不等式f (x 2)<x 22＋12
的解集为____________.
【参考答案】 {x |x <－1或x >1}
【试题解析】 设F (x )＝f (x )－12x ,∴F ′(x )＝f ′(x )－12
, ∵f ′(x )<12,∴F ′(x )＝f ′(x )－12
<0, 即函数F (x )在R 上单调递减.
∵f (x 2)<x 22＋12,∴f (x 2)－x 22<f (1)－12
, ∴F (x 2)<F (1),而函数F (x )在R 上单调递减,
∴x 2>1,即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}.
15.定义在区间(0,＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立,其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数,则( )
A.8<f (2)f (1)
<16 B.4<f (2)f (1)<8 C.3<f (2)f (1)
<4 D.2<f (2)f (1)
<3 【参考答案】 B 【试题解析】 ∵xf ′(x )－2f (x )>0,x >0,
∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0, 令g (x )＝f (x )x
2, ∴g (x )＝f (x )x
2在(0,＋∞)上单调递增, ∴g (2)>g (1),即f (2)22>f (1)1
2, 又由2f (x )<3f (x ),得f (x )>0,即f (2)f (1)
>4. ∵xf ′(x )－3f (x )<0,x >0,
∴⎣⎡⎦
⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0, 令h (x )＝f (x )x 3,
∴h (x )＝f (x )x 3在(0,＋∞)上单调递减, ∴h (2)<h (1),即f (2)23<f (1)13,即f (2)f (1)
<8. 综上,4<f (2)f (1)
<8. 16.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ).
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t ∈[1,2],函数g (x )＝
x 3＋x 2·⎣
⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数,求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f ′(x )＝a (1－x )x
, 当a >0时,f (x )的递增区间为(0,1),递减区间为(1,＋∞)；
当a <0时,f (x )的递增区间为(1,＋∞),递减区间为(0,1)；
当a ＝0时,f (x )为常函数.
(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2
＝1,即a ＝－2, ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3,f ′(x )＝
2x －2x (x >0). ∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ,
∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.
∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数,
即g ′(x )在区间(t,3)上有变号零点.
由于g ′(0)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧
g ′(t )<0，g ′(3)>0， 当g ′(t )<0时,即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1,2]恒成立,
由于g ′(0)<0,故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0,
即m <－5且m <－9,即m <－9,
由g ′(3)>0,即m >－373
. ∴－373
<m <－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。