步步高学习笔记必修第一册

5.2.2同角三角函数的基本关系
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．
导语
“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现．
一、利用同角三角函数的关系求值
问题1观察下表，你能发现什么？
α0π
6
π
4
π
3
π
2
sin α01
2
2
2
3
2
1
cos α1
3
2
2
2
1
2
tan α0
3
3
13不存在
提示对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
问题2若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？提示若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1.
知识梳理
同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
商数关系：sin α
cos α＝tan α⎝
⎛
⎭
⎫
α≠
π
2＋kπ，k∈Z.
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
注意点：
(1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角关系式都成立；(2)对于sin2α
＋cos 2α＝1对一切x ∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π
2＋k π(k ∈Z )成立；(3)sin 2α是(sin α)2
的缩写，不能写成sin α2.
例1 (教材183页例6改编)已知cos α＝－3
5，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－3
5<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝
1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－352＝45
， tan α＝sin αcos α＝－4
3
；
当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－
1－cos 2α＝－
1－⎝⎛⎭⎫－352＝－4
5
， tan α＝sin αcos α＝4
3
.
反思感悟 已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝
sin α
cos α
求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝
sin α
cos α
求得tan α的值． (3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin α
cos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得
cos α＝±
11＋m 2
，sin α＝±
m 1＋m 2
的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号． 跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解 ∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1， ∴cos α＝±
1010
. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时， cos α＝－
1010，sin α＝31010
； 当角α的终边在第四象限时， cos α＝
1010，sin α＝－31010
. 二、利用同角三角函数的关系化简
问题3 你能发现同角三角函数的哪些变形形式？
提示 sin 2
α＋cos 2
α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2α＝1－cos 2α；
cos 2
α＝1－sin 2
α；
sin α＝±1－cos 2α；
cos α＝±1－sin 2α；(sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α.
tan α＝sin αcos α⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
sin α＝tan αcos α；
cos α＝sin αtan α.
利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值． 例2 化简：
(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)1＋2sin 10°cos 10°cos 10°＋1－cos 210°； (3)sin 2αtan α＋
cos 2α
tan α
＋2sin αcos α. 解 (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)
(1＋sin α)(1－sin α)
＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2α
cos 2α＝－2tan 2
α. (2)原式＝(cos 10°＋sin 10°)2cos 10°＋sin 10°
＝
|cos 10°＋sin 10°|
cos 10°＋sin 10°
＝1.
(3)原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α
＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α
sin αcos α
＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.
反思感悟 三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
跟踪训练2 化简：2cos 2α－11－2sin 2
α＋(1＋tan 2α)cos 2α. 解 原式＝2cos 2α－(sin 2α＋cos 2α)sin 2α＋cos 2α－2sin 2
α＋⎝⎛⎭⎫1＋sin 2αcos 2αcos 2
α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α－sin 2α＋cos 2α＋sin 2αcos 2α·cos 2α ＝1＋1＝2.
三、一般恒等式的证明
例3 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1
.
证明 方法一 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2α
＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝
tan α＋1
tan α－1
＝右边．
所以原等式成立．
方法二 右边＝sin α
cos α
＋1sin α
cos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α
＝
(sin α＋cos α)2
(sin α－cos α)(sin α＋cos α)
＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边． 所以原等式成立．
反思感悟 证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝c
a 等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边
右边
＝1”．
注意点：(1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的的化简；(2)基本原则：由繁到简；(3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证． 跟踪训练3 求证：
tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin α
tan αsin α
.
证明 方法一 因为右边＝
tan 2α－sin 2α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝
tan 2α－tan 2αcos 2α
(tan α－sin α)tan αsin α
＝
tan 2α(1－cos 2α)
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2αsin 2α
(tan α－sin α)tan αsin α ＝
tan αsin α
tan α－sin α
＝左边． 所以原等式成立．
方法二 因为左边＝tan αsin α
tan α－tan αcos α
＝
sin α
1－cos α
，
右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α
＝1＋cos α
sin α ＝1－cos 2α
sin α(1－cos α)
＝sin 2α
sin α(1－cos α) ＝
sin α
1－cos α
，
所以左边＝右边，原等式成立．
1．知识清单：
(1)同角三角函数的基本关系．
(2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．已知锐角α满足sin α＝3
5，则tan α等于( )
A ．－43 B.43 C ．－34 D.34
答案 D
解析 ∵锐角α满足sin α＝35，
∴cos α＝
1－sin 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫352＝45，
∴tan α＝sin αcos α＝3
4
.
2．已知tan α＝3
4，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos α的值是( ) A ．±45 B.45 C ．－45 D.3
5
答案 C
解析 由tan α＝34，可得sin αcos α＝34
，
又sin 2α＋cos 2α＝1，可得9
16cos 2α＋cos 2α＝1，
解得cos 2α＝16
25
，
因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－45
. 3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)，则cos α等于( ) A.1
2 B ．－12
C.32
D ．－
32
答案 A
解析 由三角函数定义得tan α＝
32sin α，即sin αcos α＝32sin α
，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝1
2
或cos α＝－2(舍去)．
4．已知α是三角形的内角，且tan α＝－1
3，则sin α＋cos α的值为 ．
答案 －
105
解析 由tan α＝－1
3
，
得sin α＝－1
3
cos α，
将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得10
9cos 2α＝1，
所以cos 2α＝9
10，易知cos α<0，
所以cos α＝－31010，sin α＝10
10，
故sin α＋cos α＝－
10
5
. 课时对点练
1．已知α是第四象限角，cos α＝12
13，则sin α等于( )
A.513 B ．－5
13
C.512 D ．－512
答案 B
解析 由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α＝－1－cos 2α＝－
1－⎝⎛⎭⎫12132
＝
－513
. 2．若sin α＝－5
13，且α为第三象限角，则tan α的值等于( )
A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 答案 C
解析 因为sin α＝－5
13，且α为第三象限角，
所以cos α＝－1213，所以tan α＝5
12
.
3．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14 B.12 C ．1 D.3
2 答案 C
解析 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)
＝sin 2α＋cos 2α＝1.
4．已知α为第二象限角，则2sin α
1－cos 2α＋1－sin 2αcos α等于( )
A ．3
B ．－3
C ．1
D ．－1
答案 C
解析 由题意，得
2sin α
1－cos 2α
＋
1－sin 2αcos α＝2sin α|sin α|＋|cos α|cos α，
因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以2sin α|sin α|＋|cos α|cos α＝2sin αsin α＋－cos α
cos α＝2－1＝1.
5．若sin α1＋cos α＝－23，则sin α1－cos α的值是( )
A.23 B ．－23 C.32 D ．－3
2 答案 D
解析 由sin 2α＋cos 2α＝1，得1－cos 2α＝sin 2α， ∴sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.
∵
sin α1＋cos α＝－23，
∴1－cos αsin α＝－23， 即
sin α1－cos α
＝－3
2.
6．(多选)如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( ) A ．tan α＝－sin α
cos α
B ．cos α＝－1－sin 2α
C ．sin α＝－1－cos 2α
D ．tan α＝cos α
sin α
答案 ACD
解析 由商数关系可知A ，D 均不正确；当α为第二象限角时， cos α<0，sin α>0，故B 正确，则C 不正确．
7．化简(1＋tan 215°)·cos 215°＝ . 答案 1
解析 (1＋tan 215°)·cos 215°＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 215°cos 215°·cos 215°＝cos 215°＋sin 215°cos 215°
·cos 215°＝1. 8．设a >0且a ≠1，若log a (sin x －cos x )＝0，则sin 8x ＋cos 8x ＝ . 答案 1
解析 因为a >0且a ≠1，若log a (sin x －cos x )＝0, 则sin x －cos x ＝a 0＝1，
所以(sin x －cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝1， 又sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以sin x cos x ＝0，
又由(sin 2x ＋cos 2x )2＝sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1， 得sin 4x ＋cos 4x ＝1，
所以sin 8x ＋cos 8x ＝(sin 4x ＋cos 4x )2－2sin 4x cos 4x ＝(sin 4x ＋cos 4x )2＝1. 9．已知cos α＝－8
17，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－8
17<0，
∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，则 sin α＝
1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517
， tan α＝sin αcos α＝15
17－817＝－15
8
；
当α是第三象限角时，则 sin α＝－
1－cos 2α＝－1517，tan α＝15
8
.
10．(1)化简：tan α1
sin 2 α
－1(其中α为第二象限角)； (2)求证：
sin α1－cos α·cos α·tan α
1＋cos α
＝1.
(1)解 因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0. tan α1sin 2α－1 ＝tan α1－sin 2α
sin 2α
＝tan αcos 2α
sin 2α
＝sin α
cos α·⎪⎪⎪⎪cos α
sin α＝sin αcos α·－cos α
sin α＝－1.
(2)证明 sin α
1－cos α·cos α·tan α
1＋cos α
＝sin α1－cos α·cos α·sin α
cos α
1＋cos α
＝sin α1－cos α·sin α
1＋cos α
＝sin 2α
1－cos 2α＝sin 2α
sin 2α＝1.
11．若tan α＝m ，α是第二象限角，则cos α等于( )
A ．－1
m 2＋1 B.1
m 2＋1
C ．－m m 2＋1 D.m
m 2＋1
答案 A
解析 ∵α是第二象限角，且tan α＝m ，
∴m <0，sin α>0，cos α<0，m cos α＝sin α，
代入平方关系得到m 2cos 2α＋cos 2α＝1，
∴cos 2α＝1
m 2＋1，
∴cos α＝－1
m 2＋1.
12．对于角θ，当分式tan θ＋sin θ
tan θsin θ有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子(
)
A.tan θ＋cos θtan θcos θ
B.tan θ－sin θtan θcos θ
C.tan θsin θtan θ－cos θ
D.tan θsin θtan θ－sin θ
答案 D 解析 ∵tan 2θ－sin 2θ＝sin 2θ⎝⎛⎭
⎫1cos 2θ－1 ＝sin 2θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos 2θ－1＝sin 2θtan 2θ， ∴tan θ＋sin θtan θsin θ＝tan 2θ－sin 2θtan θsin θ(tan θ－sin θ)
＝tan 2θsin 2θtan θsin θ(tan θ－sin θ)＝tan θsin θtan θ－sin θ
. 13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则1sin 2α＋9cos 2α
的最小值是( ) A ．16 B ．17 C ．18 D ．19
答案 A
解析
∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴⎝⎛⎭⎫1sin 2α＋9cos 2α(sin 2α＋cos 2α)＝10＋9sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α≥10＋29sin 2αcos 2α·cos 2αsin 2α＝16， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当且仅当sin α＝33cos α时，等号成立， ∴1sin 2α＋9cos 2α
的最小值是16. 14．关于x 的方程2x 2＋(3＋1)x ＋m ＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，则sin θ1－1tan θ
＋cos θ1－tan θ＝ .
答案 －3＋12
解析 因为方程2x 2＋(3＋1)x ＋m ＝0的两个根分别为sin θ和cos θ，
所以sin θ＋cos θ＝－3＋12，sin θcos θ＝m 2，所以sin θ1－1tan θ
＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ
＝sin θ＋cos θ＝－3＋12.
15．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5
，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则实数m ＝ . 答案 8
解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin θ>0，cos θ<0，
由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
sin θ＝m －3m ＋5>0，cos θ＝4－2m m ＋5<0，sin 2θ＋cos 2θ＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＝m －3m ＋5>0，cos θ＝4－2m m ＋5<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝8.
16．(1)分别计算sin 4π3－cos 4π3和sin 2π3－cos 2π3
的值，你有什么发现？ (2)任取一个α的值，分别计算sin 4α－cos 4α，sin 2α－cos 2α，你又有什么发现？
(3)证明：∀x ∈R ，sin 2x －cos 2x ＝sin 4x －cos 4x .
(1)解 sin 4π3－cos 4π3＝12，sin 2π3－cos 2π3＝12
， 所以sin 4π3－cos 4π3＝sin 2π3－cos 2π3
. (2)解 不妨取α＝π2.则有sin 4α－cos 4α＝1；sin 2α－cos 2α＝1.所以当α取π2
时，sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α.
(3)证明 对于任意实数x ，都有sin 2x －cos 2x ＝(sin 2x －cos 2x )·(sin 2x ＋cos 2x )＝sin 4x －cos 4x .。