2.4正态总体分布 共40页

B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
4、设ξ～N(1,4)，试求：(1)P(－1＜ξ≤3)；(2)P(3＜ξ≤5) ；(3)P(ξ≥5)．
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
我们从上图看到，正态总体在2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3 以
解： 由x于 服从正N态 4， 0.2分 5 布
由正态分布的性质知，
正态分布N4，0.25 在 4 3×0.5, 4 3×0. 5
之外取值的 概率只有0.003,而 5 .7 2 .5 , 5 .5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发 生的小概率事件.
据此可认为该批零件是不合格的。
画频率分布直方图的步骤
1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)
知道这组数据的变动范围4.3-0.2=4.1 2、决定组距与组数（将数据分组） 组距：指每个小组的两个端点的距离，
组数：将数据分组，当数据在100个以内时， 按数据多少常分5-12组。 组数=极 组差 距04..518.2
3、 将数据分组(8.2取整,分为9组) 4、列出频率分布表.(学生填写频率/组距一栏) 5、画出频率分布直方图。
总体密度曲线的形状特征． “中间高，两头低，
左右对称”
频率 概率密度曲线
组距
总体在区间 (a,b)内取值的概率
ab
产品 尺寸 （mm）
知识点二：正态分布与密度曲线
上图中总体密度曲线具有“中间高，两头低” 的特征，像这种类型的概率密度曲线,叫做 “正态密度曲线”，它的函数表达式是
f(x) 1 e(x22)2,x( , )
在实际遇到的许多随机现象都服从或近似 服从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
y
μ=0 σ=1
(3) f (x) 的图象关于 x=μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
x （4）当 ∈（－∞，μ] 时f ( x)为增函数.
x 当 ∈（μ，+∞） 时f ( x)为减函数. 标准正态曲线
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A. f(x)2 1 e(x2 2)2,,(0)都 是 实 数
2
式中的实数 、(0)是参数,分别表示总体的 平均数与标准差.其分布叫做正态分布,由参数 , 唯
一确定.正态分布常记作 N(,2) .它的图象被称
为正态曲线.
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示横坐标,则X是一个随机变量.X落在区间 (a,b]的概率为:
P(aXb)ab,(x)dx
产品 尺寸 (mm)
复习
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
总体密度曲线
频率 组距
月均用 水量/t ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内取值的百分比）。
知识点一：正态密度曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布 直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称 此曲线为总体密度曲线．
(2)成绩在 80～90 内的学生的比为 12[P(70－2×10＜x≤70＋2×10)－0.682 6] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. …………10 分 即成绩在 80～90 间的学生约有 1 000×0.135 9≈136(人). …………………12 分
• [题后感悟] 解答此类题目的关键在于将待求 的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ －3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用 上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依 然会用到化归思想及数形结合思想．
5、设在一次数学考试中，某级有 1000 名学生的分数服从x ～ N (100 ,20 2 ) ，满分 150 分
求这次数学考试中及格（不少于 90 分）的人和 130 分以上的人数。
6、(2019·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)
，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态密度曲线的图像特征
f (x)
1
2

e
(x)2 22
x(,)
（1）当x= μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
正态曲线的性质
1
(x) 2
e(x2 2)2
,x(,)
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平
x= μ
产品
尺寸
(mm)
x3
x4 x1
平均x数2
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1
若固定,
随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的
频率分布直方图如下：
频率 组距
(1)第 几 组 频 率第 样 几 本 组 容 频 量 数
频率 (2)纵坐标为: 组 距
中间高，两头低， 左右大致对称
0.50
0.40
0.30 0.20 0.10
小长方形的面积=? 月均用水量/t
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
100个产品尺寸的频率分布直方图
外取值的概率只有0.3 ％。 由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），
通常称这些情况发生为小概率事件。
小概率事件的含义
区间 （μ －σ ，μ ＋σ ） （μ －2σ ，μ ＋2σ ） （μ －3σ ，μ ＋3σ ）
取值概率 68.3% 95.4% 99.7%
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实
• 3.设在一次数学考试中，某班学生的分数服从 X～N(110,202)，且知满分150分，这个班的学 生共54人．求这个班在这次数学考试中及格( 不小于90分)的人数和130分以上的人数．
解析： 因为 X～N(110,202)， 所以 μ＝110，σ＝20， P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6. 所以 X>130 的概率为12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以 X≥90 的概率为 0.682 6＋0.158 7＝0.841 3， 所以及格的人数为 54×0.841 3≈45(人)， 130 分以上的人数为 54×0.158 7≈9(人)．
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
正态曲线的性质
y
X=μ
σ=0.5
(x)
1 e(x22)2
2
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
集中与分散的程度
1
平均数
2
产品 尺寸
(mm)
均数相等、方差不等的正态分布图示
μ=0
=0.5 =1
若 固定, 大
时, 曲线矮而胖；
小时, 曲线瘦 而高, 故称
为形状参数。
=2

正态总体的函数表示式
f (x)
1 e
2
(x)2 22
x(,)
当μ= 0，σ=1时
际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
例5、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 正态分布，即 x ~N(90,100). （1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率
是多少？
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成 绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习：1、知一次考试共有60名同学参加，考生的
率等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
2、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0) = 0.5 ,
P(2X2) = 0.9544 .
3、已知 x ~ n(0,2)，且 P (2x0)0.4，
则 P(x 2) 等于( A ) A.0.1
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2 x2 x1
1、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概
2 2
3.设随机变量ζ～N(2,4),则D(x2 )等于
(A)1
(B)2
(C)0.5
(D)4
例2.正态总体N（0，1）的概率密度函数是：
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
（1）求证：f ( x)是偶函数；
（2）求f ( x)的最大值；
（3）求f ( x)的单调区间.
正态曲线下的面积规律
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(aXb)ab,(x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯 一确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态
曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作X~ N（ μ，σ2） 注：式中的实数 μ、σ 是参数,分别表示总体的 平均数与标准差
成绩X~(1 0 0, 5 2 ) ，据此估计，大约应有57人的分
数在下列哪个区间内？（ C ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态
分布 N4, 0.2，5 质检人员从该厂生产的1000件
零件中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm， 试问该厂生产的这批零件是否合格？
B.
f (x)
2
x2
e2
C.
2
f (x)
1
(x1)2
e4
2 2
D.
f (x)
1
x2
e2
2
例2:给出下列两个正态总体的函数表达式， 请找出其均值μ和标准差σ。
（１） f(x)
1
x2
e 2,x( , )
2
（２） f(x)
1
(x1)2
e 8 ,x( , )
A．0.6
B．0.4 C．0.3 D．0.2
[规范解答] (1)设学生的得分情况为随机变量 X，X～ N(70,102)，则 μ＝70，σ＝10.
分析在 60～80 之间的学生的比为 P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6. …………2 分 所以成绩低于 60 分的学生的比为 12(1－0.682 6)＝0.158 7，……………………4 分 即成绩低于 60 分的学生约有 1 000×0.158 7≈159(人). …………………………………………………6 分
y μ=0
标准正态总体的函数表示式
σ=1
f (x)
x2
1

e2
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
x(,)
标准正态曲线
正态曲线的性质
(x)
(x)2
1 e 22
2
,x(,)
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态
分布 N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
（1）成绩不及格的人数占多少？ （2）成绩在80~90内的学生占多少？
4、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 x （单位：小时），已知x ～ N (1000 ,30 2 ) ，要使灯泡
的平均寿命为 1000 小时的概率为 99.74%，则灯光的最低寿命应控制在多少小时以上。
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
200个产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
25.235 25.295 25.355
25.415
产品 尺寸 （mm)
25.475 25.535
样本容量增大时 频率分布直方图
频率 组距
总体密度曲 线