2018-2019学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试卷

兰州一中2018-2019-2学期高二年级期中考试试题
数学（理科）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则实数的值为（）
A. 1
B. 0
C. -1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的运算得，得到复数在复平面内对应的点为，代入直
线的方程，即可求解．
【详解】由题意，复数，
所以复数在复平面内对应的点为，
则，解得，故选C．
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2.若函数，则（）
A.
0 B. 2 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
求函数f（x）=x3﹣f′（1）•x2﹣x的导数，得，f′（x）=x2﹣2f′（1）x﹣1，
把x=1代入，得，f′（1）=1﹣2f′（1）﹣1
∴f′（1）=0
故答案为：A.
3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数
的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点．以上推理中（）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 结论正确
【答案】A
【解析】
【分析】
使用三段论推理证明，我们分析出“对于可导函数，若，且满足当和
时导函数值异号时，此时才是函数的极值点”，得出答案.
【详解】对于可导函数，若，且满足当和时导函数值异号时，此时
才是函数的极值点，所以大前提错误
故选A
【点睛】本题主要考查了三段论以及命题的真假，属于基础题.
4.已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据函数在上是单调函数，利用，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
因为函数在上是单调函数，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是，故选C．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性求解参数问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 ( ）
A. 36个
B. 48个
C. 52个
D. 54个
【答案】B
【解析】
试题分析：第一类，当从，，中取一个数字，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个；第二类，当从，，中取一个数字不是，而从中任选两个数字时，组成无重复数字的三位数有个，综上所有不同的三位数的个数是，故选B.
考点：排列与组合．
6.函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数
的单调性判断出导函数
函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、
判断后可得正确的结论． 【详解】由图象可知，函数在
时是增函数，
因此其导函数在
时，有
（即函数
的图象在轴上方），因此排除A 、C ．
从原函数图象上可以看出在区间上原函数是
增函数，所以
，在区间
上原函
数是减函数，所以；在区间
上原函数是增函数，所以
．
所以可排除C ． 故选D ．
【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的
符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x 轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．
7.用数学归纳法证明“”，验证n =1时，左边计算所得式子为（ ） A. 1
B. 1+2
C.
D.
【答案】D 【解析】 当
时,左边计算的式子为，故选D .
8.已知函数= x ln x，则下列说法正确的是（）
A.
在上单调递增 B. 在上单调递减
C.
在上单调递减 D. 在上单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，求得函数的单调区间，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9.设函数，则是（）
A. 仅有最小值的奇函数
B. 仅有最大值的偶函数
C. 既有最大值又有最小值的偶函数
D. 非奇非偶函数
【答案】C
【解析】
试题分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．
解：∵函数f（x）=，
∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．
且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．
故选C．
点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．
10.已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（）
A. 极大值为，极小值为0
B. 极大值为0，极小值为
C. 极小值为，极大值为0
D. 极小值为0，极大值为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
因为函数的图像与轴切于点，
则，且，
联立方程组，解得，即，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的极大值为，极小值为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式
（其中e为自然对数的底数）的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：令，则，
∵，即，∴恒成立，∴g(x)在R上单调递增，
又，∴不等式，
∴不等式的解集为，故选B
考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用
点评：解决本题的关键是根据导函数确定原函数
12.已知函数，且是偶函数，若函数有且只有4个零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的图象对称性，解得的值，化简函数的解析式为，令
，把函数有且只有4个零点，转化为在区间
上有两个零点，即可求解．
【详解】由题意，函数，且是偶函数，
所以函数的图象关于对称，则，
所以，解得，
此时函数
，
令，则，
因为函数有且只有4个零点，且的图象关于对称，
即函数的图象在有两个零点，
所以在区间上有两个零点，
即与的图象在有两个交点，
当时，，如图所示，
则，解得，
即实数的取值范围是，故选A．
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟练应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、填空题.
13.计算=_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据定积分的几何意义求得，由定积分的计算公式，求得，再根据定积分的性质，即可求解．
【详解】由定积分的性质可得，
根据定积分的几何意义，可知表示的面积，即半
径为的一个个圆的面积，所以，
又由，所以，
【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
14.若，则
=_______．（用数字作答）
【答案】2017
【解析】
【分析】
由题意，根据二项式的展开式，令和可得，进而得
，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，可知，
令，可得，
令，可得，
所以
，故答案为.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
15.如图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，表中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n>1）行第二个数是____.
【答案】
【解析】
【分析】
从数表中的第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列，得到数列满足
，则数表中第n行的第2个数字为数列的第项，利用等差数列的知识，即可求解．
【详解】由题意，从第二行开始，取出数表中每一行的第二个数，构成数列满足
，
则数列满足，且，
所以数表中第n行的第2个数字为数列的第项，
所以
，
即数表中第n行的第2个数字为．
【点睛】本题主要考查了数列递推公式和等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中从第二行开始，取出每行的第二个数字，构成一个数列，利用等差数列的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
16.设有通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成个部分，则个平面将空间分成_____个部分．
【答案】2k
【解析】
【分析】
由个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，
每一部分将其所在的空间一分为二，所以，即可得到答案．
【详解】由题意，可知一个平面能把空间分成2个部分，即，
两个相交平面可以把空间分成四4个部分，即，
若第三个平面和前两个平面经过同一个单，且三个平面不经过同一直线，则这三个平面可以把空间分成8部分，即，
则个平面时，再添加1个平面，与其它的个面由条交线，条交线将个平面分为2个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，所以，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想是解答的关键，着重考查了推理与运算的能力，属于中档试题．
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）若，且，用反证法证明：中至少有一个小于2．
（2）设非等腰三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，证明：.
【答案】（1）见证明；（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）利用反证法，即可作出证明；
（2）利用分析法，即可作出证明．
【详解】（1）证明：假设，即，
，这与矛盾．∴假设不成立
∴中至少有一个小于2．
（2）证明：要证，只要证，
只要证，
只要证，
只要证，只要证，
只要证，只要证A，B，C成等差数列，故结论成立.
【点睛】本题主要考查了反证法和分析法的应用，其中解答中合理选择反证法和分析法进行证明是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18.已知复数满足
（1）求w在复平面上对应点P的轨迹C．
（2）在复平面上点Q（0，4）向轨迹C做切线，分别切于A、B两点，求直线AB的方程．【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，求得，再根据，化简求得
，即可得到答案．
（2）求得过点切线方程分别为，根据点
在两条切线上，利用同一法，即可求解．
【详解】（1）设，
则由得
∵复数z满足，
∴，
即，即w在复平面上对应点P的轨迹C为．
（2）设切点，
则对应的切线方程分别为，
∵Q（0，4）在两条切线上，，
因此A，B两点都在直线，即AB为：．
【点睛】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记复数的运算与几何性质，以及合理利用直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
19.（设，是否存在使等式：
对任意都成立，并证明你的结论．
【答案】（1）
【解析】
试题分析：由，得的值，归纳猜想，再利用数学归纳法证明．
试题解析：当时，由，
得，
当时，由，得，
猜想，下面用数学归纳法证明：
当时，等式恒成立．
（1）当时，由上面计算可知，等式成立；
（2）假设且时，等式成立，即
成立，
那么当时，
，
∴当时，等式也成立．
由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．
考点：归纳猜想及数学归纳法的应用．
【方法点晴】本题主要考查了归纳猜想、数学归纳法的应用，属于中档试题，本题中根据
的值，归纳猜想，再用数学归纳法的一般步骤：（1）验证时，命题成立；（2）假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立；（3）由上述（1）（2）得命题成立，其中假设时成立，利用假设和已知条件证明也成立过程中，忽视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜想也是本题的一个难点．
20.已知函数.
（1）设实数使得恒成立，求
的取值范围；（2）设，若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）
【解析】【分析】（1）由恒成立，即恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．
（2）令，得，由（1）知，求得函数的单调性与极值，列出相应
的不等式，即可求解．
【详解】（1）由题意，可知恒成立，即恒成立，
设，则，
令，解得，
当单调递增；当单调递减，
所以时，取得最大值,
所以实数的取值范围为.
（2）令，得．
由（1）知，单调递增；单调递减，
且.
当时，函数在上有两个零点.
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化
与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研
究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可
分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
21.已知函数（m为常数）. （1）当m=4时，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个极值点，求实数m的取值范围.
【答案】依题意，函数的定义域为（1，＋∞）.
（Ⅰ）当m＝4时，
.
＝=＝.………………2分
令，解得或.令，解得.
可知函数f(x)的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．……6分（Ⅱ）＝＋x－(m＋2)＝. ………………………8分
若函数y＝f (x)有两个极值点,则
，…………10分
解得m＞3.
【解析】
(I)利用导数的正负确定其增减区间.
（II ）因为＝＋x－(m＋2)＝
，说明函数
有两个不同交点，然后借助二次函数零点的分布借
助图像求解.
22.设函数.
（1）若对定义域内任意，都有成立，求实数的值；（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若，证明对任意的正整数，. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由，得的定义域为，因为对，都有
成立，所以是函数的最小值，所以，即可求解的值；（2）由，函数在定义域上单调函数，知或在上恒成立，由此能求出实数的取值范围；（3）当时，函数，令，则，由此入手能够证明.
试题解析：（1）由,得．∴的定义域为．
因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．
解得．
经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．（2）∵又函数在定义域上是单调函数，
∴或在上恒成立．
若，则在上恒成立,
即=恒成立,由此得；
若,则在上恒成立,
即=恒成立．
因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．
综上所述，实数的取值范围是．
（3）当时，函数．
令，
则．
当时，，所以函数在上单调递减．
又，当时，恒有，即恒成立．
故当时，有．
而，．取，则有．
．所以结论成立．
考点：利用导数求曲线上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的极值、最值的应用，利用导数研究函数的饿单调性及不等关系的证明，综合性强，难度大，计算繁琐，是高考的重点内容之一，解答时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化，同时着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，平时要注意总结.。