高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》单元汇编及解析

新数学高考《不等式》专题解析(1)
一、选择题
1．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
2．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由3log (2)1a b +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为3log (2)1a b +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>，
所以12118211642(42)()(8)(83333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
3．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+
当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
4．已知函数())
2
log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足
()()310f a f b +-=，则31
a b
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．12
D ．24
【答案】C 【解析】 【分析】
先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】
0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，
因为()
2log f x =，所以()f x 为减函数
因为()
2
log f x =，())
2
log f x x -=,所以
()()()f x f x f x =--，为奇函数，
因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以
()3131936b a a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，
因为
96b a a b +≥=， 所以
3112a b +≥（当且仅当12a =，1
6b =时，等号成立），选C. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
5．在ABC V 中，,,a b c 分别为A ∠，B Ð，C ∠所对的边，函数
3
2
()1f x x bx x =+++的导函数为()f x '
，当函数[]()ln ()g x f x '=的定
义域为R 时，B Ð的取值范围为( )
A ．,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
B ．,6ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出函数的导数，依题意即2
()320f x x bx '=+>
恒成立，所以
()
222(2)40b a c ∆=-+-<，再结合余弦定理即可求出B 的取值范围；
【详解】
解：因为3
2
()1f x x bx x =+++，
所以2
()32f x x bx '=++()g x 的定义域为R
，则有
()
222(2)40b a c ∆=-+-<
，即222a c b +->
，结合余弦定理，222cos 2a c b B ac +-=>，故0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D. 【点睛】
本题考查导数的计算，对数函数的定义域以及不等式恒成立问题，属于中档题.
6．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，则
AB 的最小值为（ ）
A ．5 B
C
D
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点
B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.
【详解】
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩
，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=
故选：C ． 【点睛】
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
7．已知α，β均为锐角，且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=，则αβ-的最大值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则
,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差
的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以
()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==
+++，
又因为β为锐角，所以tan 0β>，
根据基本不等式
2
1
33tan tan ββ
≤
=
+，
当且仅当tan 3
β=
时等号成立， 因为,22
ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝
⎭
，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上单调递增， 则αβ-的最大值为6
π
. 故选:B . 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
8．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为
（ ） A
B ．25
C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据2
2x
y +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线
10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z +≥恒成立，只需(
)
22
min
z x y
≥+，
因为2
2x
y +表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小， 其中最小值距离为22
122
11d -==
+，则2
12d =，即12z ≤
所以数z 的最大值1
2
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合2
2x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．
9．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．已知,x y满足
330
250
10
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则
3
6
y
z
x
-
=
-
的最小值为（）
A．
15
7
B．
9
13
C．
1
7
D．
3
13
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，目标函数
3
6
y
z
x
-
=
-
的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)
P连接的斜率，根据图像得到答案.
【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数
3
6
y
z
x
-
=
-
的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)
P连接的斜率.
直线330
x y
-+=与直线10
x y
+-=交于点13
(,)
22
A-，
由图可知，当可行域内的点为A时，PA
k最小，故
min
3
33
2
113
6
2
z
-
==
--
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11．设x∈R，则“|1|1
x-<”是“220
x x
--<”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
1111102
x x x
-<⇔-<-<⇔<<，22012
x x x
--<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
12．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立，
∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.
故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
14．已知函数1
()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =
+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ） A ．14
-
B ．1 C
．D
1
【答案】D 【解析】 【分析】
2()sin (2)sin 2
m
f x m x m x =-+-+，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2
m
y mt m t =-+-+，结合12m ≤≤可得()2211
2
2(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案.
【详解】 由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =
-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2
(2)2
m
y mt m t =-+-+，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111
[0,]222
m t m m -=
=-∈，所以 (
)22112
2(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
m =
. 故选：D 【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
15．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，
M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）
A
．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ B ．[)1,+∞ C
．)+∞ D ．[)2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果.
【详解】
由抛物线方程知：()0,1F ，
设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，
设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，
M Q 为线段AB 的中点，12022
x x x k +∴==， M Q 在直线l 上，200121y kx k ∴=+=+，
20021122OM y k k k x k k +∴===+≥=
2
k =时取等号）， 即直线OM
斜率的取值范围为)+∞.
故选：C .
【点睛】
本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.
16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1- 【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.
【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
17．已知正数x ，y 满足144x y
+=，则x y +的最小值是（ ）
A ．9
B ．6
C ．94
D ．52 【答案】C
【解析】
【分析】
先把x y +转化成
114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】 Q 正数x ，y 满足
144x y +=，
1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
18．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22
a b a b
+-的最小值等于（ ）． A
B
．C
．2 D
．【答案】D
【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =
所以lg lg a b =- 所以1a b
=，即1ab =，0a b >> 22a b a b
+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+--
-≥= 当且仅当2a b a b
-=-
，即a b -=时等号成立 所以22
a b a b
+-
的最下值为故答案选D
考点：基本不等式．
19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}
n a 的前n 项和，则263
n n S a ++的最小值为（ ） A ．4
B ．3 C
．2 D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+．
得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)2
n n n S n +-∴==， ∴()()2221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263
n n S a ++的最小值为2． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．
20．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ） A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案.
【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2x y y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.。