四川省资阳市高三第二次高考模拟考试数学(理)试题 (2013资阳二模)

资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数 学（理工农医类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．全卷共150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把选择题答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束时，监考人将第Ⅰ卷的机读答题卡和第Ⅱ卷的答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，3}，B ={3，5}，则()U A B =U ð （A ）{3} （B ）{4，5} （C ）{3，4，5} （D ）{1，4，5} 2．函数12()1f x x =-的图象大致是3．下列命题是真命题的是（A ）a b >是22ac bc >的充要条件 （B ）1a >，1b >是1ab >的充分条件 （C ）x ∀∈R ，22x x > （D ）0x ∃∈R ，0e 0x ≤ 4．已知直线l ，m 和平面α， 则下列命题正确的是 （A ）若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α （B ）若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m （C ）若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m （D ）若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α5．若双曲线2214x y -=的渐近线与圆222(5)x y r -+=（0r >）相切，则r =（A ）5 （B ）5 （C ）2 （D ）26．下列不等式成立的是（A ）9tan()tan()86ππ>（B ）3sin()sin()105ππ->-（C ）sinsin1810ππ>（D ）723cos()cos()45ππ->- 7. 执行右图所示的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）48．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料l 千克、B 原料2千克；生产乙产品l 桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 （A ）2200元 （B ）2400元（C ）2600元（D ）2800元9．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 10．已知定义在[1,)+∞上的函数4|812|,12,()1(),2,22x x f x x f x --≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩则（A ）函数()f x 的值域为[1,4]（B ）关于x 的方程1()02n f x -=（*n ∈N ）有2n ＋4个不相等的实数根（C ）当1[2,2]n n x -∈（*n ∈N ）时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为2 （D ）存在实数0x ，使得不等式00()6x f x >成立第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：1．第Ⅱ卷共2页，请用0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，不能直接答在此试题卷上．2．答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案直接填在题目中的横线上．11．已知i 是虚数单位，x ，y ∈R ，若3i (8)i x x y -=-，则x y +=___________．12．若二项式7()x a +的展开式中含5x 项的系数为7，则实数a = ．13．已知右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .14．椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，直线3y x =-与椭圆C 交于A 、B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为 ．15．如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+u u u r u r u u r （其中1e u r ，2e u u r分别是x 轴，y 轴同方向的单位向量），则P 点的斜坐标为(x ，y )，向量OP u u u r的斜坐标为(x ，y )．给出以下结论：①若60θ=o ，P (2,－1)，则||3OP =u u u r；②若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则1212(,)OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r；③若11(,)OP x y =u u u r ，22(,)OQ x y =u u u r ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+u u u r u u u r ； ④若60θ=o ，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=． 其中所有正确的结论的序号是______________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且32sin 0a c A -=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2c =，求a ＋b 的最大值.17．（本小题满分12分）某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査，并在已被问卷调查的居民中随机抽选部分居民参加“幸福职业”或“幸福愿景”的座谈会，被邀请的居民只能选择其中一场座谈会参加．已知A 小区有1人，B 小区有3人收到邀请并将参加一场座谈会，若A 小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是34， B小区已经收到邀请的人选择参加“幸福愿景”座谈会的概率是12．（Ⅰ）求A 、B 两个小区已收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等的概率； （Ⅱ）在参加“幸福愿景”座谈会的人中，记A 、B 两个小区参会人数的和为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =（1t ≠），12334n n a S n ++=+（其中*n ∈N ）．（Ⅰ）当t 为何值时，数列{1}n a -是等比数列？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设2n n b a n λλ=--，若在数列{}n b 中，有12b b >，34b b >，…，212n n b b ->，…成立，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分13分）若抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于x 轴对称，且经过点(1,2)M ．（Ⅰ）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在该抛物线上，求该等边三角形的边长；（Ⅱ）过点M 作抛物线C 的两条弦,MA MB ，设,MA MB 所在直线的斜率分别为12k k ,, 当12k k ,变化且满足121k k +=-时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点坐标．21．（本小题满分14分）已知函数211()2f x x =，2()ln f x a x =（其中0a >）．（Ⅰ）求函数12()()()f x f x f x =⋅的极值；（Ⅱ）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,e)e内有两个零点，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0x >时，231ln 04ex x x +->．（说明：e 是自然对数的底数，e=2.71828…）资阳市2012—2013学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理工农医类）参考答案及评分意见一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1－5. CABCB ；6－10.DADCC.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．11．3； 12． 13．16123π+；141；15．①②④． 三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析 2sin 0c A -=及正弦定理，得2sin sin 0A C A -=（sin 0A ≠），∴sin C =，∵△ABC 是锐角三角形， ∴3C π=． ··························································································· 6分（Ⅱ）∵2c =，3C π=，由余弦定理，222cos43a b ab π+-=，即224a b ab +-=．·········································································································· 8分 ∴22()4343()2a b a b ab ++=+≤+⋅，即2()16a b +≤， ∴4a b +≤，当且仅当2a b ==取“=”，故a b +的最大值是4． ························ 12分 17．解析 （Ⅰ）记“A 、B 两小区已经收到邀请的人选择“幸福愿景”座谈会的人数相等”为事件A ，则03133331315()(1)()()424216P A C C =-⨯+⨯=． ········································ 4分 （Ⅱ）随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4．3311(0)(1)(1)4232P ξ==-⨯-=；313331316(1)(1)(1)()424232P C ξ==⨯-+-⨯=；132333313112(2)()(1)()424232P C C ξ==⨯+-⨯=；2333313110(3)()(1)()424232P C ξ==⨯+-⨯=； 3313(4)()4232P ξ==⨯=．（每对一个给1分） ··············································· 9分 ξ的分布列如下：分∴ξ的数学期望161210390123432323232324E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ····················· 12分 18．（Ⅰ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =Q ，F ∴为AM 的中点，又E Q 为1AA 的中点，∴1//EF A M ， 在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 1//A D BM ∴，且1A D BM =，则四边形A 1DBM 为平行四边形，1//A M BD ∴，//EF BD ∴，又BD ⊆Q 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D ，//EF ∴平面1BC D ． ··············································································· 6分 （Ⅱ）连接DM ，分别以MB u u u r 、MC u u u u r 、MD u u u u r所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,1)E -，(0,0,2)D ，1(0,3,2)C ，∴(1,0,2)BD =-u u u r，(2,0,1)BE =-u u u r ，1(1,3,2)BC =-u u u u r ．设面BC 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，面BC 1E 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，则由10,0,BD BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r m m 得1111120,320,x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(2,0,1)=m ， 又由10,0,BE BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r n n 得2222220,320,x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(1,3,2)=-n ， 则10cos ,||||58⋅<>===⋅m n m n m n ，故二面角E －BC 1－D 的余弦值为10． ····················································· 12分 19．解析 （Ⅰ）由12334n n a S n ++=+，得12331n n a S n -+=+（2n ≥），两式相减得11223()3n n n n a a S S +--+-=，即123n n a a ++=， ····························· 2分∴11322n n a a +=-+，则111(1)2n n a a +-=--（2n ≥）， ······························································· 4分由1a t =，又21237a S +=，则23722a t =-+，又∵数列{1}n a -是等比数列，∴只需要213711122112t a a t -+--==---，∴2t =． 此时，数列{1}n a -是以111a -=为首项，12-为公比的等比数列．···················· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，111111(1)()()22n n n a a ---=-⋅-=-，∴11()12n n a -=-+， ········ 8分121211[()1]()22n n n b n n λλλ--=-+--=--，由题意得212n n b b ->，则有22221211()(21)()(2)22n n n n λλ----->--，即222211()[1()](21)(2)22n n n λ---->--，ABCA 1B 1C 1EF D M∴(41)46nn λ-⋅>-， ·············································································· 10分而(41)46n n -⋅-对于*n ∈N 时单调递减，则(41)46n n -⋅-的最大值为(41)426-⨯-=-，故2λ>-． ··························································································· 12分 20．解析 （Ⅰ）根据题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠，点(1,2)M 的坐标代入该方程，得4a =，故抛物线C 的方程为24y x =．2分 设这个等边三角形OEF 的顶点E ，F 在抛物线上，且坐标为(,)E E x y ，(,)F F x y ．则24EE y x =，24F F y x =，又||||OE OF =， ∴2222E E F F x y x y +=+，即22440EF E F x x x x -+-=， ∴()(4)0E F E F x x x x -++=，因0E x >，0F x >， ∴E F x x =，即线段EF 关于x 轴对称． 则30EOx ∠=o，所以tan 30E E y x =o ，即E E x =，代入24EE y x =得E y =，故等边三角形的边长为 ··································································· 6分（Ⅱ）设11,)A x y （、22,)B x y （，则直线MA 方程1(1)2y k x =-+，MB 方程2(1)2y k x =-+， 联立直线MA 方程与抛物线方程，得12(1)2,4,y k x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x ，得2114840k y y k -+-=，∴1142y k =-， ①同理2242y k =-， ②而AB 直线方程为211121()y y y y x x x x --=--，消去x 1，x 2，得221112221()444y y y y y x y y --=--，化简得即1212124y y y x y y y y =+++ ③由①、②，得y 1+y 2＝1212124444k k k k k k +-⋅-=-，12121212122()464[1]4(1)k k y y k k k k k k +=-+=+，代入③，整理得12(1)60k k x y y ++++=．由10,60,x y y ++=⎧⎨+=⎩得5,6.x y =⎧⎨=-⎩故直线AB 经过定点(5，－6). ······························· 13分21．解析 （Ⅰ）2121()()()ln 2f x f x f x ax x =⋅=⋅，∴11()ln (2ln 1)22f x ax x ax ax x '=+=+（0x >，0a >），由()0f x '>，得12ex ->，由()0f x '<，得120e x -<<，故函数()f x 在12(0,e )-上单调递减，在12(e ,)-+∞上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为12(e )4eaf -=-，无极大值． ···································· 4分（Ⅱ）函数21()ln (1)2g x x a x a x =-+-， 则2(1)()(1)a x a x a g x x a x x +--'=-+-=()(1)x a x x+-=， 令()0g x '=，∵0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．函数()g x 在区间1(,e)e内有两个零点，只需1()0,e (1)0,(e)0,g g g ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即22110,2e e 110,2e (1)e 0,2a a a a a -⎧++>⎪⎪⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩∴222e 1,2e 2e 1,22e e ,2e 2a a a -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->⎪-⎩故实数a 的取值范围是22e 11(,)2e 2e 2-+． ························································ 9分 （Ⅲ）问题等价于223ln e 4x x x x >-．由（Ⅰ）知2()ln f x x x =的最小值为12e-．设23()e 4x x h x =-，(2)()e xx x h x -'=-得()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．∴max 243()(2)e 4h x h ==-，∵2143()2e e 4---231442e e=--=2223e 2e 16(3e 8)(e 2)04e 4e ---+==>，∴min max ()()f x h x >，∴223ln e 4x x x x >-，故当0x >时，231ln 04e x x x +->． ······· 14分。