北京第22中学高一数学理月考试题含解析

北京第22中学高一数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，下列关系式中成立的为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列各式中值为的是（）
A ． B．
C ． D．
参考答案：
C
3. 函数是（）
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数
参考答案：
B
略
4. 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则等于（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
由题意可知：则M为△ABC的重心，
由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，
3S△ABM=S△ABC，
∴S△ABM：S△ABC=，
5. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则
( )
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
6. 偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则不等式的解集是（）
A． B． C． D．
参考答案：
是偶函数有，所以可转化为，又时，
是增函数，所以，即.答案为D.
7. 若, 则的取值范围
是( )
A.[0,]
B.[,]
C.[,]
D.[,)
参考答案：
C
8. （5分）若函数f（x）=log a x（0＜a＜1）在区间上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．
专题：计算题．
分析：由函数f（x）=log a x（0＜a＜1）不难判断函数在（0，+∞）为减函数，则在区间上的最大值是最小值分别为f（a）与f（2a），结合最大值是最小值的3倍，可以构造一个关于a的方程，解方程即可求出a值．
解答：∵0＜a＜1，
∴f（x）=log a x是减函数．
∴log a a=3?log a2a．
∴log a2a=．
∴1+log a2=．
∴log a2=﹣．
∴a=．
故选A
点评：函数y=a x和函数y=log a x，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a﹣x和函数y=log a（﹣x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．9. 设集合，则“”是“”的（）（A）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；
（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件。

参考答案：
A
10. 下列各图中，不可能表示函数的图象的是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点且垂直于直线的直线方程是．
参考答案：
12. 已知，，且x+y=1，则的最小值是__________．
参考答案：
13. 已知，则=_______________.
参考答案：
略
14.
参考答案：
略
15. 已知
2x +2﹣x=3，则 4x +4﹣x= ．
参考答案：
7
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．
【解答】解：∵2x+2﹣x=3，
∴4x+4﹣x=（2x+2﹣x）2﹣2=32﹣2=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题．
16. 已知A（3，2），B（﹣4，1），C（0，﹣1），点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围
是．
参考答案：
【考点】直线的斜率．
【分析】k CA=1，k CB=．根据点Q线段AB上的点，即可得出直线CQ的斜率取值范围．
【解答】解：k CA==1，k CB==．
∵点Q线段AB上的点，
则直线CQ的斜率取值范围是：．
故答案为：．
17. 函数y＝的定义域为_____________，值域为_____________.Ｒ，；
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知定义在区间[]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝－sin x.
(1)作出y＝f(x)的图象；
(2)求y＝f(x)的解析式；
(3)若关于x的方程f(x)＝a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有解的和记为M a，求M a的所有
可能的值及相应的a的取值范围.
参考答案：
（1）见解析；（2）f(x)＝（3）见解析
【分析】
（1）先根据当时，f（x）＝﹣sin x画出在[，]上的图象；再根据图象关于直线对称把另一
部分添上即可；
（2）先根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]，再结合当时，f（x）＝﹣sin x即可求出y＝f（x）的
解析式；
（3）结合图象可得：关于x的方程f（x）＝a有解可以分为四个根，三个根，两个根三种情况，再分
别对每种情况求出所有的解的和M a即可．
【详解】(1)y＝f(x)的图象如图所示.
(2)任取x∈，
则－x∈，
因函数y＝f(x)图象关于直线x＝对称，
则f(x)＝f，又当x≥时，f(x)＝－sin x，
则f(x)＝f＝－sin＝－cos x，
即f(x)＝
(3)当a＝－1时，f(x)＝a的两根为0，，则Ma＝；
当a∈时，f(x)＝a的四根满足x1＜x2＜＜x3＜x4，由对称性得x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，则M a ＝π；
当a＝－时，f(x)＝a的三根满足x1＜x2＝＜x3，由对称性得x3＋x1＝，则M a＝；
当a∈时，f(x)＝a两根为x1，x2，由对称性得M a＝.
综上，当a∈时，M a＝π；
当a＝－时，M a＝；
当a∈∪{－1}时，M a＝.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及分类讨论思想的运用．解决第二问的关键在于根据x∈[﹣π，]得到x∈[，]．
19. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；KG：直线与圆锥曲线的关系；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极
坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．
（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x
﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，
∴曲线C的普通方程是，
∵点P的极坐标为，
∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），
把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，
得0﹣4+4=0，成立，
故点P在直线l上．
（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）
∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：
=，（0°≤α＜360°）
∴．
20. （本小题满分10分）
如图所示是一个半圆柱与三棱柱的组合体，其中，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为等腰直角三角形，.
试在给出的坐标纸上画出此组合体的三视图.
参考答案：
解：正视图--------------------3分
左视图--------------------3分
俯视图--------------------4分21. 如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
求证：（1）PB∥平面AEC；
（2）平面PCD⊥平面PAD．
参考答案：
（1）详证见解析；（2）详证见解析.
【分析】
（1）可通过连接交于，通过中位线证明和平行得证平面．
（2）可通过正方形得证，通过平面得证，然后通过线面垂直得证面面垂直．
【详解】（1）证明：连交于O,
因为四边形是正方形,
所以,
连，则是三角形的中位线, ,
平面，平面
所以平面
.
（2）因为平面,
所以,
因为是正方形，所以,
所以平面,
所以平面平面.
【点睛】证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．
22. 已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）x m+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）根据幂函数的性质即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，
即2m2﹣m﹣1=0，
得m=1或m=﹣，
当m=1时，f（x）=x2，符合题意；
当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．
∴f（x）=x2．
（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，
即函数的对称轴为x=a﹣1，由题意知函数在（2，3）上为单调函数，
∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，
即a≤3或a≥4．
【点评】本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．。