用变分迭代方法求解自变量分段连续型微分方程

用变分迭代方法求解自变量分段连续型微分方程
汪圣祥;金朝永;陈玲
【摘要】本文主要利用变分迭代方法求解自变量分段连续型延迟微分方程,得到的变分迭代解收敛于真实解,由此得到了变分迭代法也可以作为求解向前型EPCA方程的一种有效方法.
【期刊名称】《汕头大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(032)002
【总页数】8页(P18-25)
【关键词】变分迭代法;延迟微分方程;拉氏乘子;限制变分
【作者】汪圣祥;金朝永;陈玲
【作者单位】广东工业大学应用数学学院广东广州510520;广东工业大学应用数学学院广东广州510520;广东工业大学应用数学学院广东广州510520
【正文语种】中文
【中图分类】O175
变分迭代是由Inokuti[1]提出来的，何吉欢[2-4]推广了的，用来解一些线性、非线性和具有初值以及边值条件等问题一种方法.变分迭代法对于解非线性问题是一种有力的方法已经被验证.随着变分迭代法的发展，研究者们[5-9]用变分迭代法求解了许多微分方程的近似解，并且得到了较好的结果，但是没有用变分迭代法求解EPCA方程，因此用变分迭代法求解EPCA方程作为一个新的课题，具有一定的研究价值.本文主要用这种方法来求解自变量分段连续型延迟微分方程，并用数值实
例说明此方法对于解自变量分段连续型延迟微分方程是有效的.
1.1 超前型EPCA的解析解
本章主要考虑下面的微分方程：
其中a，b为常数，表示最大取整函数.
定理1[10]如果对于任意给定的x0，方程（1）在［0，＋∞）上有唯一的解x （t）：
证明下面用数学归纳法给出定理1的证明
当n＝0和1时成立，
假设当n＝k时成立，则
由迭代公式（5）得
即当n＝k＋1时成立，故定理2正确.
当t∈［1，2）时，迭代格式为
即当i＝k＋1时成立，故原定理正确.
在本节中，将结合具体的例子来说明用变分迭代法可以快速、便捷的求出超前型EPCA的近似解，并且近似解和精确解的形式一致.
例考虑下面的方程
当i＝0时，解析近似解的图像与真实解的图像如图1.
当i＝1时，解析近似解的图像与真实解的图像如图2.
当i＝8时，解析近似解的图像与真实解的图像如下图3.
当i＝15时，解析近似解的图像与真实解的图像如图4.
由图1-4可知随着迭代次数的增加，变分迭代解越来越接近于真实解.
本文用变分迭代法来解方程（3），得到了很好的结论，用理论和数值实验验证了变分迭代法解求解自变量分段连续型微分方程的可行性，求解过程比较简单，能够
快速的得出结果.
【相关文献】
[1]INOKUTI M，SEKINE H，MURA T.General use of the lagrange multiplier in nonlinear mathematical physics[M]//Variational Methods in the Mechanics ofSolids.[S.l.]：Pergamon，1980：156-162.
[2]HE J H.Some asymptotic methods for strongly nonlinear equation[J].Int J Mod Phys，2006，20（10）：1144-1199.
[3]HE J H.Variational iteration method-some recent results and new interpretations[J].J Comput Appl Math，2007，207（1）：3-17.
[4]HE J H，WU X.Variational iteration method：newdevelopments and
applications[J].Comput Math Appl，2007，54（7/8）：881-894.
[5]HE J H.Variational iteration method-a kind of non-linear analytical technique：some examples[J]. International Journal ofNon-linear Mechanics，1999，34：699-708.
[6]HE J H.Variational iteration method for autonomous ordinary differential
systems[J].Applied Mathematics and Computation，2000，114（2/3）：115-123.
[7]SHANG X，HAN D.Application of the variational iteration method for solving n n mathContainer Loading Mathjax th-order integro-differential equations[J].Journal of Computational&Applied Mathematics，2010，234（5）：1442-1447.
[8]LIU H L，XIAO A G，ZHAO Y X.Variational iteration method for delay differential-algebraic equations[J]. Mathematical and Computational Application，2010，15（5）：834-839.
[9]李歆.延迟微分方程的变分迭代法[D].武汉：华中科技大学，2012
[10]WIENER J.Generalized solutions of functional differential equations[M]//Generalized solutions of Functional Differential Equations.Singapore：World Scientific，1993：170-182.。