安徽省迎河中学高三数学上学期第一次月考试题 理 新人

寿县迎河中学高三第一次月考数学试题（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） 1．设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z=
（ ）
（A ）1-i （B ）-1-i
（C ）1+i
（D ）-1+i
2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内位为（ ） （A ） k ＞4? （B ）k ＞5? （C ） k ＞6? （D ）k ＞7? 3．设全集U 为实数集R ，{}2|||>=x x M ，{}
034|2
<+-=x x x N 则
图中阴影部分所表示的集合是（ ）
（A ）{}12|<≤-x x （B ）{}22|≤≤-x x （C ）{}21|≤<x x （D ）{}2|<x x 4．已知函数f （x ）＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0
，若f （a ）＋f （1）＝0，则实数a
（A ）－1
（B ） －3
C ．1
D ．3
5．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为 ( )
（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <
（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有2
00x <
6．设偶函数()f x 在（0，+∞）上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x
+-<的
解集为（ ） （A ）（-1,0）∪（1，+∞） （B ）（-∞，-1）∪（0,1）
（C ）（-∞，-1）∪（1，+∞）
（D ）（-1,0）∪（0,1）
7. 设a=log 32,b=ln2,c=1
2
5
-,则（ ）
（A ）b ＞a ＞c （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D) c ＞b ＞a 8．若任取21,x x ∈[a ，b]，且21x x ≠，都有[]12121
(
)()()22
x x f f x f x +<+成立，则称f(x) 是[a ，b]上的凹函数．．．.下列函数为凹函数．．．
的是 （ ） （A ）x
x f 2)(= (B) x x f -=)( (C) x x f cos )(= (D) x x f lg )(=
9．若实数y x ,满足01
|1|=--y Ln x ,则y 是x 的函数的图象大致是 （ ）
（ ）
O 1 x y O 1 x
y
O 1
x y 1 O 1 x y 1 2 Ｕ
Ｎ
Ｍ
10．设函数()||f x x =c bx x ++给出下列四个命题：①c = 0时，)(x f y =是奇函数。

②b =0 , c >0时，方程)(x f y =只有一个零点。

③)(x f y =的图象关于(0 , c)对称④方程)(x f y =至多两个零点。

其中正确的命题是 （ ） （A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②③④ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

） 11. 函数)x 2x (log y 22
1-=的单调递减区间是
12. 函数22x y a +=-的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,
则
12
m n
+的最小值为_______ 13.曲线21x
y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 14.已知函数)(x f 满足1)2()(=+x f x f 且f （1）=2，则)99(f = _______ 15．若函数()f x 满足：“对于区间（1,2）上的任意实数1212,()x x x x ≠，
2121|()()|||f x f x x x -<- 恒成立”，则称()f x 为完美函数．．．．
．给出以下四个函数 ①1()f x x = ②()||f x x = ③x
x f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)( ④2
()f x x =
16（本小题满分12分）已知p: 23
1
1≤--
x ,q: ()011>+≤≤-m m x m ,若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围。

17（本小题满分12分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：
关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
18（本小题满分13分）设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值
分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==．
（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；
（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最
19（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y =
2
10(63
a x x +--）
，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（I ）求a 的值
（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

20(本小题满分13分）设函数2
2
()(1)f x ax a x =-+，其中0a >，区间{}0)(|>=x f x I
（Ⅰ）求I 的长度（注：区间(,)αβ的长度定义为βα-）；
（Ⅱ）给定常数(0,1)k ∈，当.1-1k a k +≤≤时，求I 长度的最小值。

21（本小题满分13分）设函数()()
22.71828...x x
f x c e e
=+=∈是自然对数的底数，c R . （Ⅰ）求()f
x 的单调区间、最大值；
（Ⅱ）试讨论函数|ln |)(x x f y -=零点的个数。

寿县迎河中学高三第一次月考
数学试题（理）参考答案
11．()2,+∞; 12．8 ; 13．31y x =+; 14．
2
1
; 16．①③ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．解：由p ：23
1
1≤--
x .102≤≤-⇒x .
921101.,,
11:,210:.11≥⎩⎨
⎧-≤-≥+⌝⇒⌝⌝⌝-<+>⌝-<>⌝+≤≤-m m m q p q p m x m x p x x p m x m 所以故只需满足所以的必要不充分条件是因为或或所以由
17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立
⎩
⎨⎧<∆>=⇔00
0a a 或40<≤⇔a ；…………………………………………4分 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根4
1
041≤
⇔≥-⇔a a ；……………6分 如果p 正确，且q 不正确，有44
14
1
,40<<∴><≤a a a 且；……………8分 如果q 正确，且p 不正确，有04
1,40<∴≤≥<a a a a 且或．…………10分
所以实数a 的取值范围为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞-4,4
10,Y …………………………………12分
18. （1）由(0)22f c ==可知，……………………………1分
又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，
，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a
⎧
⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩…………3分 1,2a b ==-解得…………4分
[]22()22(1)1,
2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即……………………………5分 max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………6分
（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+a c
a b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分
∴f （x ）=ax 2
+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x=
=
-a a 214-1a
21
又a ≥1，故1-
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分
m=a
a a f 41
1)212(
-=- ……………………………11分 g （a ）=M+m=9a-a
41
-1
[)min 63
()1,1().4
g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………12分
19．命题意图】本题考查运用函数、导数等基础知识解函数最优化应用题，考查应用意识、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题.
【解析】（I ）∵当x =5时，y =11，∴2
10(5653
a +--）
=11，解得a =2； （II ）由（I ）知该商品每日的销售量y =2
210(63
x x +--）
（3＜x ＜6）， ∴该商城每日的销售该商品的利润
()f x =2
2[
10(6](3)3
x x x +---）=2210(3)(6)x x +--（3＜x ＜6）
， ∴()f x '=2
10[(6)2(3)(6)]x x x -+--=30(4)(6)x x --
当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：
由上表可得，x =4是函数()f x 在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点， ∴当x =4时，max ()f x =42.
答：当销售价格定为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 20．【解析】 （Ⅰ）2
2
100])1([)(a a
x x a a x x f +<
<⇒>+-=.
所以区间长度为
2
1a a
+. （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，a a a a I 1
1
12+=
+= 恒成立令已知k k k k k k a k k -111
0-111.1-10),1,0(2>+∴>⇒>++≤≤<∈。

22)
1(11)1(1111)(k k
k k l k a a a a g -+-=-+-≥⇒-=+
=⇒这时时取最大值在 所以2
)1(111k k
I k a -+--=取最小值
时，当.
21．解（1）x
e x
x f 2'
21)(-=
， 令0)('>x f ，解得21<x ，令0)('
<x f ，解得2
1>x
所以)(x f 的单调递增区间为)21,(-∞，单调递减区间为),2
1
(+∞，
)(x f 的最大值为c e f +=
21
)2
1( （2）令|ln ||ln |)()(2x c e
x
x x f x g x -+=-=，
①当10<<x 时
x c e
x x g x ln )(2++==，所以x
x x xe e x x x e x x g 2222'
2121)(+-=+-= 在10<<x 时，函数x
e y 2=的值域为),1(e ，函数x x y -=2
2的值域为)1,8
1
(-，所以在
10<<x 上，
恒有x e x x 222<-，即022
2>-+x x e x ，所以)('x g y =对任意)1,0(∈x 大于零恒成立，所以)(x g 在)1,0(上单调递增； ②当1≥x 时，
x c e x x g x ln )(2-+==，所以x x x xe e x x x e x x g 2222'
2121)(--=
--=，显然在1≥x 时有函数0)21(22<-=-=x x x x y 恒成立，所以函数0222<--=x e x x y 在1≥x 时恒成立，所
以0)('
<x g 对任意),1(+∞∈x 恒成立，所以)(x g 在),1(+∞上单调递减；
由①②得，函数|ln |)(2x c e x
x g x -+=在)1,0(上单调递增，在),1(+∞上单调递减，所以)(x g 的最大值为c e
g +=21
)1(
当012=+c e
，即21
e c -=时，函数|ln |)(x x
f y -=有且只有一个零点；
当012>+c e
，即21
e c ->时，函数|ln |)(x x
f y -=有两个不等的零点；
当012<+c e
，即21
e c -<时，函数|ln |)(x x
f y -=没有零点。