高等数学考研每日一练

第1天： 月 日
【1】设函数()f x 的定义域是(0,1]，则函数(sin )f x 的定义域是（）
()11A x -<≤ ()B x ππ-<≤
()2(21)()C n x n n ππ<<+∈ ()(21)2(1)()D n x n n ππ+<<+∈
答案：选（C ）
解 由0sin 1x <≤可得函数()sin f x 的定义域是 ()221012n x n ,n ,,,
.π<<+π=±±
【2】若()()(
)
2
tan 1cos lim
2ln 121x
x a x b x c x d e -→+-=-+-，其中a ，b ，c ，d 均为常数，且220a c +≠，则必有
（ ）
()A 4b d = ()B 4b d =- ()C 4a c = ()D 4a c =-
答案：选（D).
解法1 由极限四则运算法则和等价无穷小可得
原式20tan 1cos lim 22ln(12)1x x x x
a
b
a x x c x e
c d
x x
-→-+===---+ 所以4a c =-.
解法2 由洛必达法则可得
原式220sec sin lim
222212x x
a x
b x a
c c dxe x
→-+===--+-， 所以4a c =-.
【3
】0x →=____ 填：
1
2
解 由等价无穷小与洛必达法则可得
2
2
002sin cos sin cos lim
lim 2lim 111()2
x x x x x x e x x e x x x
x x ------==---- 00cos sin 11cos sin 2lim lim 2x x x x e x x e x x
x x →→-+-+-+==
011cos sin lim(
)1012x x e x x
x x x
→--=++=++=， 故原式1
2
=
.
【4】设()f x ，()g x 均在[],a b 上连续，且()()f a g a >，()()f b g b <，证明：存在(),a b ξ∈，使得()()f g ξξ=.
证 作辅助函数()()()F x f x g x =-，则由题意可知()F x 在[],a b 上连续，且
()0F a >，()0F b <.由零点定理可知：存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ=，即()()f g ξξ=.
【5】设()y y x =是由方程()22
10x y y y +=>所确定的函数，则（）
（A ）()y x 有极小值，但无极大值 （B ）()y x 有极大值，但无极小值 （C ）()y x 既有极大值，也有极小值 （D ）()y x 无极值 答案：选（B ）
解 方程对x 求导，得22220xy yx y y ''+•+=.令0y '=，得()00x y =>. 再对x 求导，得()2
222244220y xy y xyy x y x yy y '''''''+•+++•++=
将0x =代入原方程中，得1
y =，故()0
0y '=，()0-20y ''=<，所以函数在0x =点取极大值.又因函数只有一个驻点，故函数无极小值.
【6】
证明：(
)1ln 0x x x +>>.
证
设()1ln(0)f x x x x =+≥，则()ln(0f x x '=>， 故()f x 在[)0,+∞上单调递增.从而当0x >时，()(0)0f x f >=，即得证.
【7】
cos 21sin cos x
x x +的一个原函数为（ ）
（A ）ln(2sin 2)x + （B ）ln(1sin 2)x + （C ）ln(sin 2)x x + （D ）ln(2sin 2)x -
答案：选（A ） 解 因为
[]
2cos 2cos 2ln(2sin 2)2sin 21sin cos x x x x x x
'+==++ 所以(2sin 2)ln x +为cos 21sin cos x
x x
+的一个原函数
或cos 2cos 2sin 22ln 2sin 21sin cos 2sin 22sin 2x x d x
dx dx x C x x x x
===+++++⎰⎰⎰
【8】
设()(
)sin 2,0,
ln 21,0x x f x x x ≤⎧=⎨+>⎩则在(),-∞+∞上不定积分()f x dx =⎰ 解
()()()121cos 20,2121ln 2110,
2
x C x f x dx x x C x ⎧
-+≤⎪⎪=⎨⎪++-+>⎡⎤⎣⎦⎪⎩⎰
，， 注意到原函数在0x =处连续，即有 1211
22
C C -=-，12C C =，
故
()()()111cos 20,2121ln 2110.
2
x C x f x dx x x C x ⎧
-+≤⎪⎪=⎨⎪++-+>⎡⎤⎣⎦⎪⎩⎰
，， 第2天： 月 日
【1】下列各组函数中不是．．
相同函数的为（） ()(),()sgn A f x x g x x x ==()()sin(arcsin ),()B f x x g x x == 22ln(1),1
()()ln(1),()2ln(1),1x x c f x x g x x x -<⎧=-=⎨
->⎩()(),()D y f x x f y ==
答案：选（B ）
解 因为()sin(arcsin )f x x =的定义域为[]1,1f D =-，而()g x x =的定义域为g D R =，所以
()sin(arcsin )f x x =，()g x x =是不同的函数. 【2】设函数()1
11
x x f x e
-=
-，则（ ）
()A 0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点 ()B 0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点
()C 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点 ()D 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点
答案：选（D).
解 显然，()f x 的间断点为0,1x =. 因为
()0
01
lim lim
exp 1
1x x f x x x →→==∞⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
，
所以0x =是第二类间断点.
【3】1
0lim(sin cos 2)2
x x x
x →+=___ 填：1
2
e
解 因为 00sin
11cos 2112lim (sin cos 21)lim()222
2
x x x
x x x x x x →→-+-=⋅+=， 所以原式=12
e
【4】
设函数()f x 在闭区间[]0,1连续，且()01f x ≤≤，证明：方程()f x x =在[]0,1上存在实根. 证 作辅助函数()()F x f x x =-，则由题意可知()F x 在[]0,1上连续，且
(0)(0)0F f =≥，(1)(1)10F f =-≤. 若(0)0f =或(1)1f =，则0ξ=或1ξ=为所求实根；
若(0)0f >且(1)1f <，则(0)(1)0F F <，故由零点定理可知：存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=，即()f ξξ=.
综上可得：方程()f x x =在[]0,1上存在实根.
【5】若()f x 在0x 处连续但不可导，则（）
（A ）点0x 是()f x 的极值点，但点()()00,x f x 不是曲线()y f x =的拐点 （B ）点0x 不是()f x 的极值点，但点()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点 （C ）点0x 可能是()f x 的极值点，点()()00,x f x 可能曲线()y f x =的拐点 （D ）点0x 不是()f x 的极值点，点()()00,x f x 不是曲线()y f x =的拐点 答案：选（C ）
解 例如，()()1f x x x =-在点0x =处取得极小值，且点（0,0）也是()y f x =的拐点. 【6】证明：当0x >时，()
1112
1x x
x e
+
++<.
证 原不等式可转化为22(1)ln(1)2x x x x ++<+. 设2()22(1)ln(1),0f x x x x x x =+-++≥.因为
[]()2ln(1)0f x x x '=-+>， (0)x >，
所以()f x 在[)0,+∞上单调递增.从而当0x >时，()(0)0f x f >=，即得证. 【7】3
1
sin (2csc cot )sin x x x dx x
-+
⎰=( )
（A ）2sin cot x x x C -+ （B ）2sin cot x x x C --+ （C ）2sin cot x x C --+ （D ）2sin cot x x x C +-+
答案：选（B ）
解()2
31sin 2csc cot 2cos csc 2sin cot sin x x x dx x x dx x x x C x ⎛⎫-+
=-+=--+ ⎪⎝⎭
⎰
⎰ 【8】设()y f x =
满足()y x o x ∆=
+∆，且()00f =，则()1
0f x dx =⎰
解
因为()y x o x ∆=
+∆
，所以
dy
dx
=，从而
(
)
2
212d x x f x C -===。

由()00f =可得0C
=。

于是()f x =
由定积分几何意义得
()1
4
f x dx π
==
⎰
⎰。

第3天： 月 日
【1】设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且[]()g f x 有意义，则[]()g f x 是（） （A)奇函数 （B ）偶函数
（C)非奇非偶函数 （D)既是奇函数也是偶函数
答案：选（B ）
解 因为()()()(
)g
f
g f x g f x g f x x D -=-=∈⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()g f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数.
【2】若2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫
--=
⎪+⎝⎭
，则（ ） ()A 1,1a b == ()B 1,1a b =-= ()C 1,1a b ==- ()D 1,1a b =-=-
答案：选（C ）
解 因为
22(1)()lim(
)lim 011x x x a x a b x b
ax b x x
→∞→∞--+---==++， 所以10,
0,a a b -=⎧⎨
+=⎩
即1,1a b ==-.
【3】1
lim(123)n
n n
n →∞
++=___ 填：3
解 因为
()()()
11133
12
3
3
33
n n
n n
n
n n
n
n
=<++<++=，
且1n =，所以由夹挤准则可得()
1lim 123
3n
n n
n →∞
++=.
【4】证明：方程
1110x a x b x c
++=---()a b c <<在开区间(),a b 和(),b c 内各有一个实根. 证 原方程可等价变形为
()()()()()()0x b x c x a x c x a x b --+--+--=.
作辅助函数
()()()()()()()f x x b x c x a x c x a x b =--+--+--，
则()f x 在[],a b ，[],b c 上分别应用零点定理可得：存在(,)a b ξ∈，(,)b c η∈，使得()()0f f ξη==.注意到()f x 为二次多项式，故原方程在开区间(,)a b 和(,)b c 内各有一个实根. 【5】若函数()f x 在0x 处()()()0000f x f x f x ''''''===，()()400f x ≠，则（） （A ）点0x 是()f x 的极值点，点()()00,x f x 不是曲线()y f x =的拐点 （B ）点0x 不是()f x 的极值点，点()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点 （C ）点0x 可能是()f x 的极值点，点()()00,x f x 可能曲线()y f x =的拐点 （D ）点0x 不是()f x 的极值点，点()()00,x f x 不是曲线()y f x =的拐点 答案：选（A ）
解 由高阶可导函数极值点与拐点判定定理即得.
【6】设a e >，02
x y π
<<<，证明：()cos cos ln y x x a a x y a a ->-.
证 原不等式可转化为
ln cos cos y x
x a a a a y x
-<--.
对函数,cos t a t 在区间[],x y 上应用柯西中值定理，可得
ln cos cos sin y x a a a a
y x ξξ
-=--， x y ξ<<.
因为02
x y π
ξ<<<<，所以0sin 1,x a a ξ
ξ<<<，从而，
ln ln sin x a a
a a ξξ<--，故得证.
【7】设()f x 在
上有原函数，则下列结论中不正确的是（ ）
（A ）()f x 的任意原函数在
上连续
（B ）()f x 的任意两个原函数之差必为常数
（C ）()f x 的任意两个原函数之和必为2()f x 的原函数
（D ）若()F x 为()f x 的原函数，()G x 为连续函数，则[]()G F x 为[]()G f x 的原函数
.答案：选（D ）
解(){
}[][]()[]()()()()G F x G F x F x G F x f x G f x ''''==≠⎡⎤⎣⎦
【8】函数x y e =在区间[]0,2上的平均值是
解 2201122
x e y e dx -==⎰。

第4天： 月 日
【1】函数12x y e -=-的反函数是（）
()()1ln 2A y x =+- ()()2ln 1B y x =+- ()()1ln 2C y x =++ ()()2ln 1D y x =++
答案：选（C ） 解 由1
2x y e
-=-解得
1
2,1ln(2),1ln(2)x e
y x y x y -=+-=+=++，
故所求反函数为1ln(2).y x =++
【2】若当0x →时，()sin 20
sin x
f x t dt =⎰
是()34g x x x =+的（ ）
()A 等价无穷小 ()B 高阶无穷小 ()C 低阶无穷小 ()D 同阶但非等价无穷小
答案：选（D).
解 由洛必达法则可得
sin 220
34
230
0sin cos sin(sin )1
lim
lim 343
x
x x t dt
x x x x x x →→⋅==++⎰， 故当0x →时，()sin 20
sin x
f x t dt =
⎰
是()34g x x x =+的同阶但非等价无穷小.
【3】3
1
2cos lim
()13x x x x →+⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
填：16
-
. 解 由等价无穷小可得
原式3220
002cos ln
1cos 11cos 113lim
lim ln(1)lim 336
x x x x
x x x x x x →→→+--==+==- 【4】设函数()f x ，()g x 均在区间[],a b 上连续，且()0g x >， 证明：对任意给定的12...n a x x x b <<<<<，存在[],a b ξ∈，使得
()()()()()
()()()
1212......n n f f x f x f x g g x g x g x ξξ+++=
+++ 证 因为()
()f x g x 在[],a b 上连续，故存在最大值M 和最小值m ，从而，()()
i i f x m M g x ≤
≤，且()0i g x >，
即
()()()
(1,2,3,
,)i i i mg x f x Mg x i n ≤≤=.
相加可得
111
()()()n n n
i i i i i i m g x f x M g x ===≤≤∑∑∑，
即
1
1
()
()
n
i
i n i
i f x m M g x ==≤
≤∑∑.
由介值定理可得：存在[],a b ξ∈，使得
()()()()()
()()()
1212n n f f x f x f x g g x g x g x ξξ++
+=
+++.
【5】设()f x 满足()()()240f x f x f x '''-+=，且()00f x >，()00f x '=，则()f x 在点0x 处（） （A ）某邻域内单调减少 （B ）某邻域内单调增加 （B ）取得极小值 （D ）取得极大值 答案：选（D ）
解 因为000()0,()4()0,f x f x f x '''==-<所以0().f f x =极大
【6】设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，0a b <<，证明：存在两点(),,a b ξη∈，使得()()2abf f ξηη''=.
证 ()f x 在[],a b 上运用拉格朗日中值定理，可得
()()()()f b f a f b a ξ'-=- ()a b ξ<<.
1
(),f x x
在[],a b 上运用柯西中值定理，可得
2()()()
111f b f a f b a ηη
'-=
-- ()a b η<<. ② 将①带入②整理得证. 【7】若()f x 的一个原函数是2
x e
-，则()xf x dx '⎰=（ ）
（A ）2
2(12)x x e C ++ （B ）2
2(12)x x e C -+ （C ）2
2
(12)x x e C -++ （D ）2
2
(12)x x e C -++
答案：选（C ）
解 因为
()()
2
22x
x f x e xe --'
==-，()2
1x f x dx e C -=+⎰
所以，由分部积分法可得
()()()()()2
212x
xf x dx xdf x xf x f x dx x e C '==-=-++⎰⎰⎰
【8】由曲线ln y x =与直线1y e x =+-，0y =所围成的平面图形的面积A =
373.填：3
2。

解 观察易得两曲线ln y x =与线1y e x =+-的交点为(),1e ，所求面积为 ()1
1
ln 1e
e e
A xdx e x dx +=
++-⎰
⎰
()()1
213
ln 1122e e
e x x x e x +⎡⎤=-++-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣
⎦。

第5天： 月 日
【1】已知()f x 是
上的恒正函数，且满足()()1
,0()
f x T x T f x +=
∈>常数，则()f x 在上
是（）
（A)奇函数 （B ）偶函数 （C)周期函数 （D ）单调函数
答案：选（C ） 解 因为()()
()()1
2f x T f x x f x T +=
=∈
+，所以()f x 在
上是周期函数，且其周期为2T .
【2】已知当x a →时，,,αβγ均为无穷小，且(),αοββ
γ=，则极限lim
x a αβ
γ
→+（ ）
()A 等于0 ()B 等于1 ()C 为∞ ()D 不存在但不为∞
答案：选（B ） 解 lim
lim()(lim 1)lim 1x a x a x a x a →→→→α+βα+ββαβ
=⋅=+⋅=γβγ
βγ.
【3】2!
lim n n n n n
→∞=____________
填：0
解 显然，2!
0n n n n x n
=>.
因为
12
11(1)n n
n
x x n
+=≤+，即{}n x 单调减少且有下界，故存在lim n n x a →∞=.
在12
1(1)n n n x x n
+=+中令n →∞，可得2a a e =，故0a =.
【4】设12,,...,n a a a 均为常数，且满足 12sin sin 2...sin sin n a x a x a nx x +++≤， 证明：122...1n a a na +++≤
证 因为
12sin sin 2sin sin n a x a x a nx x ++
+≤，
即
12sin sin 2sin 1((0))sin n a x a x a nx
x U x
++
+≤∈，
而
12120sin sin 2sin lim
2sin n n x a x a x a nx
a a na x
→+++=+++，
故
12120sin sin 2sin lim
2sin n n x a x a x a nx
a a na x
→+++=+++.
于是， 由极限保序性可得
1221n a a na ++
+≤.
【5】设()f x 满足()()2
2f x f x x '''+=⎡⎤⎣⎦，且()00f '=，则（）
（A ）()0f 是()f x 的极大值 （B ）()0f 是()f x 的极小值 （C ）点()()0,0f 是曲线()y f x =的拐点 （D ）以上都不对 答案：选（C ）
解 因为(0)0,(0)0,(0)1f f f ''''''===,所以点(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点
【6】设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()1010,12f f f ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，证明：存在点
()0,1ξ∈，使得()1f ξ'=.
证 作辅助函数()()F x f x x =-，则()F x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，且
11
(0)0,(),(1)122
F F F ===-.
由连续函数的零点定理（介值定理）可得：必有点01
(,1)2
x ∈,使得0()0F x =.
再由罗尔定理可得：存在0(0,)(0,1)x ξ∈⊂，使得()()10F f ξξ''=-=，即()1f ξ'=. 【7】bx a dx ⎰=（ ）
（A ）
ln bx a C b a + （B ）bx a C b + （C ）ln bx a a C b + （D ）ln bx
ba C a
+ 答案：选（A ）
解()11ln bx
bx
bx a a dx a d bx C b b a
==
+⎰⎰ 【8】由曲线231y x =--与x 轴所围成的平面图形绕直线3y =旋转一周所得旋转体的体积V =
解 如图1.3.3，其中平面图形关于y 轴对称，所求旋转体体积V 为下面两立体体积之差
圆柱体体积2
13436V ππ=••=。

平面图形2
31y x =--，3y =，2x =-，2x =绕3y =旋转一周所得旋转体的体积
()
()2
2
2
2
2
2
20
0233121V x dx x dx
π
π⎡⎤=---=-⎣⎦⎰
⎰
()532
4
2
02292
221205315x x x x dx x πππ
⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰
故1292448
361515
V V V πππ=-=-=。

第6天： 月 日
【1】函数()2
1x
f x x
=
+在上是（） （A)单调函数 （B ）有界函数 （C) 偶函数（D ）周期函数
答案：选（B ）
解 由均值不等式可得
2
11,,2
x x x +⋅≤∈ 所以
()2
1
,.12
x f x x x =
≤∈+ 【2】若函数()y f x =在点0x 处连续，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆时，相应的函数增量为
()()00y f x x f x ∆=+∆-，则当0x ∆→时（ ）
()A y ∆必是x ∆的高阶无穷小 ()B y ∆与x ∆是同阶无穷小 ()C y ∆必是x ∆的低阶无穷小 ()D y ∆与x ∆相比无法确定
答案：选（D). 解 因为0lim
x y
x
∆→∆∆可能存在，也可能不存在；存在时可能为零，也可能非零，故选择（D ）.
【3】220ln(1)ln(1)
lim
sec cos x x x x x x x
→+++-+=-___ 填：1
解 原式2424
2200ln(1)lim cos lim 1sin x x x x x x x x x
→→+++=⋅==. 【4】若左导数()0f x -'和右导数()0f x +'均存在，则()f x 在点0x x =处（） （A ）间断 （B ）连续 （C ）可导 （D ）可微
答案：选（B ）
解 由连续、可导与可微，连续与左右连续关系即得.
【5】设0a >，则极限()(
)2lim arctan arctan x x x a x →∞
+-=⎡⎤⎣⎦
（A ）0 （B ）a - （C ）a （D ）∞ 答案：选（C ）
解 由拉格朗日中值定理可得2
arctan()arctan ()1a
x a x x x a ξξ
+-=<<++ 从而[]222
22arctan()arctan .1()1ax ax x x a x x a x <+-<+++而2222lim lim .1()1x x ax ax a x a x
→∞→∞==+++，故由夹挤准则可得，原式=a .
【6】已知011012n n a a a
a n n -++++=+，
证明：方程10110n n n n a x a x a x a --++++=至少有一个小于1的正根
解 作辅助函数
12
011()12
n n
n n a a a f x x x x a x n n
+-=
+++
++， 则()f x 在[]01，上连续，在(0,1)内可导，(0)(1)0f f ==，且1011()n n n n f x a x a x a x a --'=++
++，
由罗尔定理可得：存在点(01)ξ∈，，使得()0f ξ'=，即原方程至少有一个小于1的正根.
【7】若()f x 在
上的导函数是sin x ，则()f x 在
上的原函数是（ ）
（A ）12sin x C x C -++ （B ）12sin x C x C ++ （B ）12cos x C x C ++ （D ）12cos x C x C -++
答案：选（A ）
解 因为()1sin cos f x xdx x C ==-+⎰
，所以()f x 在
上的原函数是
()1
2
sin f x dx x C x C
=-++⎰
【8】正弦曲线sin y x = ()0x π≤≤绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积A =
解
22sin A π
π
π
π==⎰
⎰
2cos x π
π
=-⎰
(0
2cos ln cos x π
π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
(
2ln 1π⎤=+⎦。

第7天： 月 日
【1】若数列{}n x 收敛于常数a ,则无论正数ε多么小，在区间(),a a εε-+之外的数列的 点（） （A)必不存在 （B)至多只有有限个
（C)必有无穷个 （D)可能有限个，也可能无穷多个
答案：选（B ）
解 由数列极限概念可得在区间(),a a -ε+ε之外的数列的点至多只有有限个.
【2】若函数(),0,
0,0
x e x f x x a x x ⎧<==⎨
+≥⎩在点处连续，则a =（ ） ()A -1 ()B 0 ()C 1 ()D 2
答案：选（C ） 解 因为
()()0
lim lim()0x x f x a x a f ++
→→=+==， ()()0
lim lim 10x
x x f x e f --
→→===， 所以1a =.
【3】设,a b 均为非1的正数，则11lim(
)2
x x
x
x a b →∞
+=__________
解 原式1
0011lim exp lim ln 22t
t
t t
t
t t a b a b
t x t →→⎧⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪==⎨⎬ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
⎭
01exp lim 12t t
t a b t →⎧⎫⎛⎫+⎪⎪=-⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭0111exp lim 2t t t a b t t →⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=+⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩
⎭ (
)1exp ln ln 2a b ⎧⎫
=+=⎨⎬⎩⎭
【4】设()f x 在点0x x =处可导，()g x 在点0x x =处不可导，则()()()F x f x g x =+和
()()()G x f x g x =在点0x x =处（）
（A ）都不可导 （B ）都可导 （C ）只有一个不可导 （D ）至少一个不可导 答案：选（D ）
解 由四则运算求导法则可知()F x 不可导（反证法），()G x 可能可导.
反例：()=f x x 在0x =处可导，()g x x =在0x =处不可导，但()=G x x x 在0x =处可导.
【5】设函数()f x 二阶可导，且()()0
lim
1,02x f x f x
→''==，则()20lim x f x x
x →-=_____ 填：1. 解 因为0()
lim
1,x f x x →=所以(0)0,(0) 1.f f '==于是，
2000()()1()(0)1lim lim lim (0) 1.222
x x x f x x f x f x f f x x x →→→'''---''==== 【6】求函数()2ln x f x x =的极值.
解 函数()f x 在()0,+∞内可导，且
222
2ln ln ln (2ln )
()x x x x f x x x
--'==， 得驻点21x e =，.
22243
11
(22ln )(2ln ln )22()(13ln 2ln )x x x x x
x x f x x x x x ---''==-+， 由(1)20f ''=>知=(1)0f f =极小.
又262()0f e e ''=-
<，所以2
2
4()f f e e
==极大. 注意：也可用一阶导数判别法，此略.
【7
】1
51sin()x dx -⎡+⎣⎰=（ ）
（A ） 0 （B ）π （C ）2π （D ）
2
π 答案：选（B ）
解 由奇函数定积分性质与定积分几何意义即得
【8】
2
+∞
=⎰
解 作换元1sec x t -=，则320
2cos 3
I tdt π
=
=
⎰。

第8天： 月 日
【1】数列有界是数列收敛的（）
（A)必要条件 （B)充分条件
（C)充要条件 （D)既非必要也非充分条件
答案：选（A ）
解 由收敛数列的有界性可知：数列有界是数列收敛的必要条件.
【2】方程410x x --=至少有一个根的区间是（ ）
()A （-1，0） ()B （0，1） ()C （1，2） ()D （2，3）
答案：选（C ）
解 设()4
1f x x x =--，则()f x 在[]1,2上连续，且()()110,250f f =-<=>，故由零点定理可知方
程410x x --=在()1,2内至少有一个根.
【3】设0
2x →=，则()0
lim x f x →=______________.
填：6. 解 因为
2x →=，30
lim(1)0x x e ®-=，
所以由极限的四则运算法则可得
3
00
1)lim(1)
x
x x
e
→→
⎤
⎥
=-
⎢⎥
⎣⎦
3
00
lim(1)200
x
x x
e
→→
=-=⋅=，
从而()
lim sin20
x
f x x
→
=.
由等价无穷小可得
()
()
000
1
sin21
2
lim lim2
33
x x x
f x x
f x
x
→→→
====，
故()
lim6
x
f x
→
=.
【4】已知函数()
f x在点
x x
=处二阶可导，则
()()()
()
000
lim
1cosh
h
f x h f x h f x
→
'
+--
=
-
（A）()0
f x
''（B）()0
f x
''
-（C）()0
2f x
''（D）()0
2f x
''
-
答案：选（A）
解原式
()()()()()
()
00000
2
00
=2lim lim
h h
f x h f x h f x f x h f x
f x
h h
→→
'''
+--+-
''
==
【5】若()
2
sin
lim
n
n
n x
f x
n
→∞
⎛⎫
-
= ⎪
⎝⎭
，则()
f x
'=________________.
填：2sin
sin2,x
xe-
-
解先求极限再求导：
【6】求下列函数在所给区间上的最大值、最小值：
（1）()[]
432
441,2,2;
f x x x x
=-++-
（
2）()()
,0,
f x x
=+∞.
解（ⅰ）闭区间上连续函数的最值求法.因为
32
()41284(1)(2)
f x x x x x x x
'=-+=--，
所以()
f x在()
2,2
-内的驻点有0,1
x=，其函数值为
{}
{}
(0)1,(1)2,(2)65,(2) 1.
=max(0)(1)(2)(2)=(2)65
=min(0)(1)(2)(2)=(0) 1.
f f f f
f f f f f f
f x f f f f f
==-==
--=
-=
最大
最小
，，，，
，，，
（ⅱ）无穷区间内最值的求法.因为
()f x '=
= 所以驻点为2x e -=，其函数值为22
()f e e
-=-.
因为
000001
ln lim ()lim lim ()lim 2lim 011x x x x x x x f x x L +++++
→→→→→∞'===-=∞
，lim ()lim
x x f x x →+∞
==+∞，
所以()f x x =在(0,)+∞内只有最小值22
()f e e
-=-.
【7】101
()1
n x dx n -+⎰=( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
答案：选（A ） 解 直接积分即得
【8】若函数()f x
满足1
2
1
1
()()1f x f x dx x -=+⎰
，则1
1
()f x dx -=⎰
解 记()1
1
I f x dx -=⎰，则将所给等式在[]1,1-上积分可得
1
1
2111I I dx x --=
++⎰
⎰
，即22I I ππ=+，故2I π
π
=
-。

第9天： 月 日
【1】若极限0
lim ()x x f x →存在，则函数值()0f x （）
（A)必存在且等于极限值 （B ）必存在但未必等于极限值
（C)可以不存在 （D)如果存在的话必等于极限值
答案：选（C ）
解 由函数极限概念可知：极限()0
lim x x f x →存在，函数值()0f x 可以不存在.
【2】点1x =是函数()21lim
1n
n x
f x x →∞+=+的（ ）
()A 连续点 ()B 跳跃间断点 ()C 可去间断点 ()D 无穷间断点
答案：选（B ） 解 因为
()21,1,0,1,
1lim 1,1,10,1,n
n x x x x f x x x x →∞⎧+<⎪
=-+⎪==⎨
=+⎪⎪>⎩
所以点1x =是函数()f x 的跳跃间断点.
【3】若()()21
3lim 1x f x x x f x →=++，则()f x =_________________.
填：231x x -+.
解 在所给等式两边取1x →可得
()()1
1
lim 23lim x x f x f x →→=+，
即()1
lim 1x f x →=-，故()2
31f x x x =-+.
【4】设()2sin y x =，则
()
()3dy
d x =
（A ）()22cos x x （B ）()22cos 3x x x
（C ）()
2cos x
（D ）()22cos 3x x x
-
答案：选（B ）
解 因为()
2
sin y x =，所以()
()()2223
cos 22cos 33x xdx x dy
x dx x d x •== 【5】设()()00,00f f '>=，则()1lim 0n
n f n f →∞
⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢
⎥
⎝⎭⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
_____________. 填：1.
解 设1(),(0)n
n f n x f ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则
[]0
1
ln ()ln (0)
(0)
lim ln lim ln ()0.1
(0)
n x n n f f f n x f x f n
=→∞→∞-''
===
= 所以原式0 1.e ==
【6】设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，证明：在(),a b 内存在点ξ，使得
(
)(
)
()f b f a ξ'-=，其中0a b <<.
证 法1（柯西中值定理）.
因为()f x [],a b 上满足柯西中值定理的条件，所以存在点
(),a b ξ∈
()
1f ξ'=，即
()()(f b f a ξ'-=.
法2（罗尔定理）.
设]()(()()F x f x f b f a ''=-，则积分可得
]()(()()F x f x f b f a =-.
因为[]()(),(),F x C a b F x D a b ∈∈，
，且()()()()F a F b a b ==，所以由罗尔定理可得：存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=.即在(,)a b 内存在点ξ，使得
()()(f b f a ξ'-=.
【7
】设()()f x dx C x =∈⎰，则1
0(2)f x dx '=⎰（ ）
（A ）
（B
（C
）16 （D
）8
答案：选（B ） 解 因为
(
)()f x dx C x =∈
⎰
所以(
)
)3f x x '=
=
∈
于是，
()()()()()(
)1
1100
0111222220222f x dx f x d x f x f f ''===-=⎡⎤⎣⎦⎰
⎰【8】函数()1220
f x t x dt =-⎰的极大值是
解 由定积分可加性可得()32
241,1,33
1, 1.3x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
显然，()f x 是偶函数，故只需考虑0x ≥。

因为()242,012,1x x x f x x x ⎧-≤<'=⎨>⎩ ，所以，当0x =时，()max 1
03f f ==
第10天： 月 日
【1】如果()lim 0n x x a a →∞
=≠，则下列结论中不正确的是（）
()221lim
lim n n x x A x x +→∞
→∞= ()2
2lim n x B x a →∞
= ()()()2
2lim 10n
n
x C x a →∞
--= ()lim n x D x a
→∞
=
答案：选（D).
解 特殊值法.取()1n
n x =-即可知()lim 1n
n →∞
-不存在.
【2】下列函数中在定义域上连续的函数是（ ）
()A ()sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ()B ()1sin ,0
,0x x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩ ()C (
)1,00,0x f x x
x ≠=⎨⎪=⎩
()D ()1
,00,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩ 答案：选（B ）
解 当0x ≠时，初等函数()1
sin f x x x
=连续；当0x =时，由 ()001
lim lim sin 0(0)x x f x x f x
→→===
可知()f x 也连续.因此，()f x
在定义域
上连续.
【3】已知当0x →时，sin n x x 是21cos x -
的高阶无穷小，又是1的低阶无穷小，则正整数n 的取值范围是__________
填：4，5，6. 解 当0x →时，
+1sin n n x x x ，2
4
11cos 2
x x
-，()81
132
x -
-， 故由题意可得814n >+>，即4,5,6n =.
【4】()(
)sin 0
lim 1x
t t d
t dx →+=
（A ）sin cos x e x （B ）sin cos x e x - （C ）cos cos x e x - （D ）sin sin x e x 答案：选（A ）
解 ()()()sin sin sin 0lim 1cos x
x x t t d d
f x t e e x dx dx
→=+==
【5】设()()()n
f x x a x ϕ=-，其中函数()x ϕ在点a 的某邻域内具有1n -阶导数，则
(
)
()n f a =__________.
填：!()n a ϕ
解 由高阶导数的莱布尼兹公式可得
(1)
(2)
(1)
(1)2(1)2()()()(1)()()...()()!()()(1)(1)...3()()...()()!()()()(),
n n n n n
n n n n f x x a x n x a x x a x n x a x n n n x a x x a x n x a x x a g x ϕϕϕϕϕϕϕ-----'⎡⎤⎡⎤=-+--++-⎣⎦⎣⎦
'=-+---++--+-记 (
)
()10n f a -=
再由导数定义可得
(1)(1)2()
()()!()()()()()lim lim !().n n n x a x a f x f a n x a x x a g x f a n a x a x a
ϕϕ--→→--+-===--
【6】设()f x 在[]0,2a 上连续()0a >，且()(0)2f f a =，证明：存在点[]0,a ξ∈，使得
()()f f a ξξ=+.
证 作辅助函数[]()()()0,F x f x a f x x a =+-∈，，则只需证存在[]0,a ξ∈，使得()0F ξ=.
因为[]()0,2,(0)(2)f x C a f f a ∈=，所以[]()0,F x C a ∈，且
()(2)()(0)()(0)F a f a f a f f a F =-=-=-.
于是，
（ⅰ）若(0)(2)()f f a f a ==，则(0)()0F F a ==.即可取0a ξ=或，使得()0F ξ=； （ⅱ）若(0)(2)()f f a f a =≠，则(0)()0(0)()0F F a F F a =≠<，，由零点定理可得：存在点
(0,)a ξ∈，使得()0F ξ=.
综上可得：存在点[]0,a ξ∈，使得()()f f a ξξ=+.
【7】2sin ()sin x t x
F x e tdt π+=⎰
（ ）
（A ）为正的常数（B ）为负的常数（C ）为零 （D ）不是常数
答案：选（A ）
解 因为sin sin t e t 是以2π为周期的周期函数，所以 ()()2sin 0
0sin t F x F e tdt π
==⎰
为常数，又因为
()22sin sin 0
0sin cos t t F e tdt e d t π
π
=
=-⎰⎰
()
2sin 2sin 20
cos cos t
t e t e tdt π
π=-+⎰
()2sin 2sin 20
cos 0cos 0,02t t e tdt
e t t π
π=≤≤⎰
所以()F x 为正的常数
【8】)()
n n n →∞
+=
解 取对数并由定积分定义可得 ()101
1lim
ln 1ln 12ln 21n
n i i x dx n n →∞
=⎛
⎫+•=+=- ⎪⎝⎭∑⎰， 故原式4
e
=。

第11天： 月 日
【1】已知+
lim ()lim ()x x x x f x f x -→→与都存在，则（ ） ()0
lim
()x x A f x →必存在 0
lim ()x x
B f x →（）未必存在 +0
lim ()=lim ()x x x x C f x f x -→→（） +
lim ()lim ()x x x x f x f x -→→≠（D ） 答案：选（B ）
解 由函数极限与左右极限关系可得：当()lim o
x x f x -→与()lim o
x x f x +
→都存在时，()lim o
x x f x →未必存在. 【2】设函数()1ln
1x f x x +=-，则函数()1
()()2x g x f f x
=+的定义域为____________________. 填：()
()2,11,2-.
解 因为()1ln
1x
f x x
+=-的定义域为:11f D x -<<，所以()g x 的定义域为 11,2,2
:1
11,0,1,g x
x D x x
⎧-<<≠⎪⎪
⎨
⎪-<<≠⎪⎩
即()
()2,11,2g D =--.
【3】已知23
ln ,0,,1,
()(),0,,0,
x x x x f x g x x x x x ⎧>≤⎧⎪==⎨⎨≤>⎪⎩⎩，求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦. 解
[]2ln (),()0,
()ln (),()0
(),
()0ln ,1,0,3ln ,1,0,
0.g x g x f g x g x g x g x g x x x x x x x ⎧>⎪==>⎨≤⎪⎩⎧≤≠⎪⎪
=>⎨⎪⎪=⎩
[]2
2
2
33
ln ,0(),()1,(),0,(),()1ln ,.x x e f x f x g f x x x f x f x x x e ⎧<≤⎪⎧≤⎪⎪==≤⎨⎨>⎪⎩⎪>⎪⎩
【4】若函数()f x 与()g x 在R 上均可导，且()()f x g x <，则在R 上必有（）
（A ）
()()
f x
g x ->-
（B ）()()
f x
g x ''<
（C ）()()
lim lim x x f x x g x x ∆→∆→+∆<+∆
（D ）()()0
x
x
f t dt
g t dt
<⎰⎰
答案：选（C ） 解 显然，（A ），（B ）不正确.当0x <时，（D ）也不正确. 【5
】数列
中的最大项是______________
解 考虑函数1/()(0)x f x x x =>，因为
1/2
0,0,1ln ()0,,0,,
x x e x f x x x e x x e ><<⎧-⎪
'=•==⎨⎪
<>⎩ 所以max ().f f e =
注意到
max
=
从而(3)f =
中的最大项
【6】 设函数()f x 可导，证明()()()1sin F x f x x =+在点0x =处可导的充要条件是()00f = 证 必要性。

因为 0
0()(0)()(1sin )(0)
(0)lim lim x x F x F f x x f F x x
-
-
-→→---'== 0()(0)sin lim ()(0)(0)x f x f x f x f f x x -→-⎡⎤
'=-=-⎢⎥⎣⎦
0()(0)()(1sin )(0)
(0)lim
lim x x F x F f x x f F x x
++
+→→-+-'== 0()(0)sin lim ()(0)(0)x f x f x f x f f x x -→-⎡⎤'=+=+⎢⎥⎣⎦
所以由()F x 在点0x =处可导，即(0)(0)(0)(0)f f f f ''-=+可得(0)0f = 充分性。

因为(0)0f =，所以同上可得(0)(0)F F f -+'''==，即(0)(0)F f ''=
【7】设34,01,
()5,15,
x x f x x x ⎧≤≤=⎨
-<≤⎩0
()()(05),x F x f t dt x =≤≤⎰则()F x =（ ） （A ）42,0115,152x x x x x ⎧≤≤⎪⎨+-<≤⎪⎩ （B ）42,0175,1522x x x x x ⎧≤≤⎪⎨-+-<≤⎪⎩ （C ）424,015,152x x x x x x ⎧≤≤⎪⎨+-<≤⎪⎩ （D ）42,015,152
x x x x x ⎧≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩
答案：选（B ）
解：()()0x
F x f t dt =⎰()30130
14,0145,15x
x
x dx x x dx x dx x ≤≤+-≤⎧⎰=⎨⎰⎰⎩
42
,
0175,
1522x x x x x ≤≤-+-≤⎧⎪=⎨⎪⎩
【8】设()()
ln 1ln x f x x
+=
，计算()f x dx ⎰。

434.解 由已知条件可得()()ln 1x x
e f x e +=
，故由分部积分法可得
()()()()ln 11ln 1ln 11x x x x x
x x e f x dx dx e de e e dx e e
--+==-+=-+++⎰
⎰⎰⎰ ()()
1ln 1x x e e x C -=--+++
第12天： 月 日
【1】若极限()
lim
()
x a
f x
g x →存在，且lim ()0x a g x →=，则lim ()x a f x →（ ）
()A 必存在但未必为零 ()B 未必存在 ()C 必存在且为零 ()D 存在且非零
答案：选（C ）
解 由极限的乘积法则可得
()()
()()lim lim lim 00x a x a x a
f x f x
g x A g x →→→=⋅=⋅=
【2】设()1,1
0,1
x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则()f f x =⎡⎤⎣⎦
_________________________. 填：()1x ∈
.
解 因为()1f x ≤，所以()()1f f x x =∈
⎡⎤⎣⎦.
【3
】求极限lim n n →∞⎛+ ⎝
解 利用立方和公式3322()(a b a b a ab b +=+-+）可得
3
23(lim(1
lim .3n n n n n n n n →∞
→∞+-+=-==
【4】曲线ln y x =上切线平行于直线23y x =-的点是（）
（A ）1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭ （B ）1,ln 22⎛⎫
⎪⎝⎭
（C ）()2,ln 2 （D ）()2,ln 2-
选（
A ）
解 设切点为
()00,x y ，则切线的斜率为()001y x x '=
.由题意可得012x =，故0
01
ln 22
x
y ==-， 【5】曲线2
x y e -=的凸区间是______________________ 填：(
解 因为2
2,x y xe -'=-
2
22(12)0(x y x e x -''=--<<<
故所求凸区间为( 【6】设0,x a e >>，证明：()a
a x a x a ++<，并由此比较e π与e π的大小 证 原不等式等价于ln()()ln a a x a x a +<+，即
ln ln()a a x a a x +>
+，故只需证明ln ()x
f x x
=在(,)e +∞内单调减少.
因为21ln ()0()x f x x e x -'=
<>，所以ln ()x
f x x
=在(,)e +∞内单调减少。

从而，由a x a e +>>可得()()f a x f a +<，即得证。

取,a e a x π=+=可得，e e ππ<。

【7】若(),()f x g x 在[]0,1上满足()0,()0f x g x ''''><，且(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，则
定积分110
()I f x dx =⎰，120
()I g x dx =⎰，1
30
I axdx =⎰之间的大小关系为（ ）
（A ）123I I I ≥≥（B ）321I I I ≥≥ （C ）231I I I ≥≥（D ）213I I I ≥≥
答案：选（C ）
解 由曲线的凹凸性与定积分几何意义可知231I ≥I ≥I
【8】{}2
23
min 2,x dx -⎰
解 2
2
3
10I dx dx dx -=++=⎰
第13天： 月 日
【1】若lim lim n n x x x y →∞
→∞
与与都不存在，则（）
()A ()lim n n x x y →∞+一定不存在()B ()lim n n x x y →∞
-一定不存在 ()C ()22lim n n x x y →∞
-可能存在 ()D ()lim n n x x y →∞-与()lim n n x x y →∞
+中只要有一个存在，另一个也一定存在 答案：选（C ）
解 取()()1,1n
n
n n x y =-=-，排除(A)，(D)；取()1n
n n x y ==-，排除（B)，选择(C ）
【2】设()1,2,
0,2,1,2,x x f x x x x +<⎧⎪
==⎨⎪->⎩
，()1x g x e =+，则()f g x =⎡⎤⎣⎦_____________________.
填：()2,0,0,0,
,0,x x e x f g x x e x ⎧+<⎪
==⎡⎤⎨⎣⎦⎪>⎩
解 ()()()()()()1,2,0,2,1,2g x g x f g x g x g x g x +<⎧⎪==⎡⎤⎨⎣⎦
⎪
->⎩
2,0,0,0,,0,x x e x x e x ⎧+<⎪
==⎨⎪>⎩ 【3】求极限12
1(1)lim (1)n x x n x n
x +→-++-，其中n 为正整数.
解 注意到当1x =时，分子为零，故分子含因子()1x -.为此，因式分解，可得
11212
(1)(1)(1)(1)()
(1)2(1)n n n n n n x n x n x x n x x x x x n x x x n x n +----++=---=-++
+-⎡⎤=-+++-+⎣
⎦
，
故 原式12
1
(1)
lim 2(1)12(1)=
2
n n x n n x x n x n n n --→+⎡⎤=+++-+=++
+-+⎣
⎦ 【4】设()3
f x x =，则在点0x =处()()0n f 存在的最大正整数n 等于（） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
答案：选（B ）
解 因为()33,0,0,0,,0,x x f x x x x ⎧-<⎪
==⎨⎪>⎩
所以()223,0,0,0,3,0,x x f x x x x ⎧-<⎪'==⎨⎪>⎩
，()6,0,0,0,6,0,x x f x x x x -<⎧⎪''==⎨⎪>⎩，
()6,0,,0,6,0,
x f x x x -<⎧⎪
'''==⎨⎪>⎩不存在 【5】设3()1x f x x =-，则1
()=_______2f ''
填：14
解 因为3
2()66()2,111x x x f x x x x ⎛⎫''=++ ⎪---⎝⎭
故1()14.2f ''=
【6】求函数(
)f x =的极值点、拐点与渐近线，并作函数的图形 295.解 因为 12453
3
3
3
48(),()(6)
(6)
x f x f x x x x x -'''=
=
⋅-⋅-，
所以()f x 的单增区间为[]0,4，单减区间为(,0)-∞，(4,)+∞，极小值(0)0f =，
极大值(4)f =
凸区间为(,0)-∞，[]0,6，凹区间为(6,)+∞，拐点为(6,0)；曲线()y f x =有斜渐进线2y x =-（图略）
【7
】=⎰（ ）
（A
）(12x x C ++ （B
）1(122x
x C ++ (C)
1
(1(1)2
x x C +++
(D) (1)ln x x C ++
答案：选（A ） 解
()()111ln(1)(1)1ln 1222
x d x x x x C =
++=++-+⎰⎰ 【8】设()f x 为连续函数，证明：
（2） 220
(sin )(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰⎰； (2)0
(sin )(sin )2xf x dx f x dx π
π
π
=
⎰⎰，并由此计算20
sin 1cos x x
I dx x
π
=+⎰
.。