6.3 电通量 高斯定理

x E 0
d
例3 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+ 求 电场强度分布。
解 电场分布具有轴对称性
例3 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+ 求 电场强度分布。
dS
r
解 电场分布具有轴对称性 ，以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量 E e E dS
E
d 2 0
S
x
S 2 x 板内： e 2 ES 0
x E 0
d
讨论
无限大均匀带电板
E
E 垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。
x
Sd 板外： e 2 ES 0
E
o
x
d 2 0
S 2 x 0
S
板内： e 2 ES
侧 左底 右底

0
左底
E dS E dS
右底
0 E1S E2 S
根据高斯定理
两个底面对称
E1 E2 E
e S / 0
E 2 0
讨论
无限大均匀带电板

E 垂直带电平面 ，取关于平
板对称的圆柱面为高斯面。 S d
Sd 板外： e 2 ES 0
E dS E dS
dS
E
解 E 沿球面法线方向。取过P点的
同心球面为高斯面，电通量为
+
R
+
O
+ P rr +
E dS EdS E dS
+
+
E
E 4πr 2
由高斯定理 E 4πr
2
q
内
0
E 0
O R
1 E 2 r
• P点在球外 ( r > R )
q
内
Q
Q E 4 π 0 r 2
r
• P点在球内 ( r < R )
q
内
0
E 0
讨论
均匀带电球体
r + +r + + + + + R + +
E 沿球面法线方向。 取同心
球面为高斯面，电通量为
2 E 4 π r E dS
• 球外( r > R )
q
E dS E dS
1 2
E5dS
E 由所有电荷决定，但 e EdS 与外部电荷无关,只
取决于内部电荷。
0
q1

0
q2

0
q3

1
0
q内
静电场高斯定理
1 e E dS
S
0
q内
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
E


n
d e dN EdS E cos dS dS n E 矢量面元 dS dS n d e E dS
2. 曲面的电通量
dS
dS
dS E
e d e E dS S
3. 闭合曲面电通量 e 说明 (1)
S
穿出、穿入闭合面 电力线条数之差
闭合曲面电通量 = 正的电通量 - 负的电通量 穿出闭合面 = 电力线条数 穿入闭合面 电力线条数
例 均匀电场中有一个半径为R 的半球面 求 通过此半球面的电通量。 解 方法1: 通过dS 面元的电通量 d r
E
900-
d e E dS E cos(90 )dS
6.3 电通量
一、电力线（电场线） E
dN
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
+
-
dS
dN E dS
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量
E E1 E2 (r1 r2 ) o o 1 2 3 0 3 0
均匀电场
0
内
4 3 q内 3 πR
• 球内 ( r < R ) 4 3 q内 3 πr
R E 3 0 r 2
3
E
E
R
1 r2
E r 3 0
O
r
例2 “无限大”均匀带电平面，电荷面密度为
求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S e E dS E dS E dS E dS
d
e


S
E dS
n 方向的规定
闭合曲面 向外为正，向内为负。
2
dS2
n2
(2)电通量是代数量
d e E dS dΦe1 E dS1 0 穿入为负 dΦe 2 E dS2 0 穿出为正
dS1
n1
1
E
(3)通过闭合曲面的电通量 e d e E dS

R
dS 2π rdl r R cos
π 2 0
dl Rd
2 e d e Eπ R sin 2 d π R 2 E
方法2：构成一闭合面，电通量
电荷分布
e
半球面

E dS
底面

E dS 0
电场分布
闭合面电通量
2 π R E E d S E d S
S
E
l
E dS
侧
上底
E dS
下底
E dS
dS
EdS E dS E 2πrl
侧 侧
根据高斯定理 E 2πrl l / 0
E
E 2π 0 r
r
总结： 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理求解电场分布 场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分布的对称性 电荷 均匀
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0
说明 (1)
E是所有电荷产生的 ; e 只与内部电荷有关。
q 4 π 0r
2
(2) 反映静电场的性质—— 有源场。 (3) 库仑定律 E
， 小于十亿分之一。
四、高斯定理的应用
例1 均匀带电球面，电量Q，半径R 。 求 电场强度分布。
半球q
d e E dS EdS E
• q 在球心处，球面电通量为
dS
e E dS EdS E dS
S
S
S

q 4 π 0r
2
4π r
2
q
q
r
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
• q 在任意闭合面内，电通量为 • q 在闭合面外，电通量为
1 E dS 0 q内
建立的高斯面是否合适 球面 圆柱面
球面、球体
无限大平面、平板
分布 无限长圆柱面、圆柱体
圆柱面
例 电荷体密度 半径为 R1 ,
R2

r1
r2
求 重叠区域的电场。 解
4 3 3 πr1 r 1 r1 E1 ( ) 2 3 0 4π 0 r1 r1 4 3 r2 ( ) r 2 E2 3 ( ) r2 2 r2 3 0 40 r2
e q / 0
e 0
穿出、穿入闭合面电力线条数相等
内部电荷对 e 有贡献；外部电荷对
e 没有贡献。
2. 多个电荷
P 点的电场强度
q5
q3
q2
E E1 E2
闭合面电通量为
E5
q4
q1
e EdS ( E1 E2
E5 )dS