2025届陕西省实验中学高考数学一模试卷含解析

2025届陕西省实验中学高考数学一模试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为e ，抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲
线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±
B ．22y x =±
C ．52
y x =±
D ．22
y x =±
2．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036
g g π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，函数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移
3
π
个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 2f x x =
B ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ==，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A 3
B 3
C 15
D 10 4．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切
正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：
π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
，根据该公式绘制出了估
计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．设函数1()ln
1x
f x x x
+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
6．已知向量a ，b 夹角为30，()
1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2
B ．4
C ．23
D ．27
7．集合}{
2
20A x x x =--≤，{}
10B x x =-<，则A
B =( )
A ．}{
1x x < B ．}{
11x x -≤< C ．{}2x x ≤
D ．{}
21x x -≤<
8．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．
110
B ．
15
C ．
140
D ．
940
10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48
B ．72
C ．90
D ．96
11．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= (
)·cos ?cos AB AC AB B
AC C
+
，
(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
12．已知全集，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=
CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N
分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值2
3
时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.
14．已知0m >，若5(1)mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30，则m =______．
15．如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC =，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45
AF BC ⋅=-，则AE AC ⋅=____.
16．已知椭圆Г：22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г
于点B ，若1ABF 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且11
6,AB AC AB BC ==⊥．
（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；
（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的正弦值．
18．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为
1
3
，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润
记为100元.
①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.
19．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数()()()ln f x x x ax a R =-∈． （1）若1a =，求函数()f x 的图像在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()21
2
f x >-
． 20．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的焦点为()(
)
12
3,0,3,0,F F M -为椭圆C 上任意一点，且
124MF MF +=.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线():0,0l y kx m k m =+>>交椭圆C 于,P Q 两点，且满足2
PQ OP OQ k k k =⋅（,,PQ OP OQ k k k 分别为直线
,,PQ OP OQ 的斜率），求OPQ ∆的面积为32
时直线PQ 的方程.
21．（12分）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面
直角坐标系,直线l 的参数方程是:2
2
{
22
x m t y t =+
=
（t 是参数）.
（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且||14AB =,试求实数m 值. （2）设
为曲线
上任意一点，求2x y +的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1212x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ
为参数），以原点为极点，x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为6
6θααπ
π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为2πθα=+.
（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】
抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，
又e ＝p ，所以e c
a
==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 2、A 【解析】
由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即
可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662
T πππ
=-⨯=，即T π=， 所以2T π
ω
=，解得2ω=，
又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以
()3
k k ϕπ
+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23
ϕπ=或53π
，
又()0g =
所以sin A ϕ=()0A >， 所以23
ϕπ
=
，2A =，
即()22sin 23
g x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
， 因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3
π
个单位长度而得到， 所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤
⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
. 故选：A 【点睛】
本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题. 3、C 【解析】
在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得
1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.
【详解】
在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，
AB ⊥平面11AA D D ，
DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB
AD D ∴⊥=，
DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，
在1111,Rt ADD DD AA AD AD ∆==∴=
111cos DD DD A AD ∴∠=
==， ∴直线1DD 与平面1ABC
故选:C.
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 4、B 【解析】
初始：1k =，2T =，第一次循环：228
2 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；
第二次循环：844128
2.833545
T =⨯⨯=
>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 5、B 【解析】
根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11
()22
ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】
1()ln
1x
f x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x x
f x x x f x x x
-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C
11
()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】
本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 6、A 【解析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】 由于(
)
2
22
2244a b a b
a a
b b -=-=-⋅+=
3
43432422
⨯-⨯⨯⨯
+=， 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 7、C 【解析】
先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】
解得集合()(){}{
}
21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}
1B x x =< 所以{}
2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 8、B 【解析】 考点：程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案． 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ． 9、A 【解析】
根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率. 【详解】
五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有2
510C =种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关， 故甲和乙恰好在同一组的概率是1
10
. 故选：A. 【点睛】
本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题. 10、D 【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有1
3C •3
4A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有4
4A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 11、B 【解析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键． 12、C 【解析】
先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】
由题意得，
∵，
∴．
故选C ． 【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、32π 【解析】
设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】
设ED ＝a ，则CD 2=
.可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.
当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x . 则四面体C ﹣EMN 的体积13=⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a ×x 22212⨯=ax （a ﹣x ）222
()1223
x a x a +-≤=，当且仅当x 2a =时
取等号. 解得a ＝2此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力. 14、2 【解析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m 的值． 【详解】
()
5
1mx +展开式通项为：15r r r
r T C m x +=
0m >且()5
1mx +的展开式中2x 的系数比x 的系数大30
221
5530C m C m ∴-=，即：2260m m --=
解得：3
2
m =-
（舍去）或2m = 本题正确结果：2 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 15、
229
【解析】
过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+由45AF BC ⋅=-可得2cos 3
BAC ∠=，可得541
()655
AE AC AB AC AC ⋅=+⋅，代入可得答案. 【详解】
解：如图，过点D 做DG AF ,
易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =, 12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：1
6
EF AF =， 同理：
12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得1
5
BF BC =, 1141
()5555
AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,
由4
5AF BC ⋅=-，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅-=-+⋅=-,
可得：14244422cos 5555BAC ⨯-⨯+⨯⨯∠=-,可得：2cos 3
BAC ∠=，
255412122122
()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯=,
故答案为：229
. 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.
163
【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率 【详解】
如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB |.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a −t ，所以|AB |=a +t =|BF 1|=2a −t ，解得a =2t ，即|AB |=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO =θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e =22||
||
OF c a AF =
=sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ=
=-，所以21sin 3θ=，即e =sin θ =33
，
故答案为：
3
3
.
【点睛】
此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（225
. 【解析】
（1）根据菱形的特征和题中条件得到1B C ⊥平面1ABC ，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，
11B C BC ⊥∴，
11,,AB B C AB BC B ⊥⋂=
1B C ∴⊥平面1ABC
AO ⊂平面1ABC ， 1B C AO ∴⊥
又
1,AB AC O =是1BC 的中点，
1AO BC ∴⊥，
又
11B C BC O =
AO ∴⊥平面11BB C C
（2）
11//AB A B
∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角．
AO ⊥平面11BB C C ，
∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠，即45ABO ∠=︒． 因为16AB AC ==，则在等腰直角三角形1ABC 中123BC =， 所以1
3,tan301BO CO BO BO ===⋅︒=． 在Rt ABO 中，由45ABO ∠=︒得3AO BO ==，
以O 为原点，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．
则113),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)A B B C - 所以1111(3,0,3),(3,1,0)A B AB BC ==-=-- 设平面111A B C 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则111133030
n A B x z n B C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得1(1,3,1)n =-， 取平面11BB C C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，
则1212121cos ,5||||5
n n n n n
n ⋅〈〉=
==
所以二面角111A B
C B --． （注：问题（2）可以转化为求二面角1A BC B --
的正弦值，求出AO BO ==Rt
OBC 中，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，连接AH ，则AHO ∠
就是所求二面角平面角的补角，先求出OH =AH =，
最后在Rt AOH 中求出sin AHO ∠=） 【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题． 18、（1）16
（2）①2 ②期望值为13100
【解析】
（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为1
22311116C (1)(1)33381
⨯⨯-⨯-=.
（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为223
3331117C ()(1)C ()33327
⨯⨯-+⨯=，
设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7
~(10,
)27
B ξ， 则1010720()
C ()()2727k
k k P k ξ-==,
1
19101010720C (
)()
(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得50
27
k <，所以当1k =时，
(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由
70712020k k -<+得50
27
k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，
所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.
②由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681
，
一件手工艺品质量为C 级的概率为121
2321111120C (1)[C (1)()]3333381
⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，
一件手工艺品质量为D 级的概率为
727
，
所以X 的分布列为
则期望为81620713100()9006003001002781812727
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 19、（1） 0x y += （2）见解析 【解析】
试题分析：（1）分别求得()1f 和()'1f ，由点斜式可得切线方程；
（2）由已知条件可得()12f x lnx ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ，进而再求导可得1
02
a <<，结合函数的单调性可得()()21
12
f x f a >=->-，从而得证. 试题解析：
（1）由已知条件，()()ln f x x x x =-，当1x =时，()1f x =-，
()ln 12f x x x +'=-，当1x =时，()1f x '=-，所以所求切线方程为0x y +=
（2）由已知条件可得()ln 12f x x ax +'=-有两个相异实根1x ，2x ， 令()()'f x h x =，则()1
'2h x a x
=
-， 1）若0a ≤，则()'0h x >，()h x 单调递增，()'f x 不可能有两根； 2）若0a >， 令()'0h x =得12x a =
，可知()h x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
令1'02f a ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
解得102a <<， 由
112e a <有120a f e e ⎛⎫
=-
< ⎪⎝⎭
'， 由2112a a >有2122ln 10f a a a ⎛⎫=-'+-< ⎪
⎝⎭
， 从而1
02
a <<
时函数()f x 有两个极值点，
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表
单调递减 单调递增 单调递减
因为()1120f a =->'，所以121x x <<，()f x 在区间[]
21,x 上单调递增， ()()21
12
f x f a ∴>=->-．
另解：由已知可得()ln 12f x x ax +'=-，则1ln 2x a x +=，令()1ln x
g x x
+=， 则()2ln 'x
g x x
-=
，可知函数()g x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， 若()'f x 有两个根，则可得121x x <<， 当()21,x x ∈时，
1ln 2,x
a x
+> ()ln 120f x x ax =+->'， 所以()f x 在区间[]
21,x 上单调递增， 所以()()2112
f x f a >=->-
． 20、（1）2214x y +=（2）122y x =+
或16
2y x =+ 【解析】
（1）根据椭圆定义求得,a b ，得椭圆方程；
（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由22
14
y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
148440k x kmx m +++-=，应用韦达定理得1212,x x x x +，代入已知条件2
PQ OP OQ k k k =⋅可得1
2
k =
，再由椭圆中弦长公式求得弦长PQ ，原点O 到直线PQ 的距离d ，得三角形面积，从而可求得m ，得直线方程． 【详解】
解：（1）据题意设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>
则22224a c c a b =⎧⎪
=⎨⎪=+⎩
22,1a b ∴==
椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=.
（2）据22
14
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222
148440k x kmx m +++-= ()()222264414440k m k m ∴-+->
2241m k ∴<+
设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222
844
,1414km m x x x x k k
-+=-=++ 2
PQ OP OQ k k k =⋅
212
12
y y k x x ∴=
⋅ ()()21212kx m kx m k x x ∴++= ()2120mk x x m ∴++=
2222
8014k m m k
-∴+=+ 又
0,0k m >>
12
k ∴=
PQ ∴==
原点O 到直线
PQ 的距离d =
)102OPQ
S PQ d m ∆∴=⨯⨯===>
解得22m =
或6
2
=
m ∴所求直线PQ 的方程为1222y x =+或1622
y x =+
【点睛】
本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时采取设而不求思想，即设交点坐标为
()()1122,,,P x y Q x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，把这个结论代入题中条件求得
参数，用它求弦长等等，从而解决问题． 21、（1）或
；（2）[225,225]-+.
【解析】 （1）将曲线
的极坐标方程
化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线
的圆心坐标和半径，将直
线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆
化为参数方程形式，代入
由三角公
式化简可求其取值范围． 【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l 的距离（弦心距）
圆心(2,0)到直线
的距离为 ：
或
（2）曲线
的方程可化为
22
2)4x y -+=（，其参数方程为：22cos {2sin x y θ
θ
=+=(θ为参数）
(),M x y 为曲线上任意一点，225)x y θα+=++ 2x y ∴+的取值范围是[25,25]-+
22、（Ⅰ）2cos 2sin =+，曲线C 是以()1,12为半径的圆；（Ⅱ）[]1,2. 【解析】
（Ⅰ）由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．
（Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+，22cos 2sin 22OB ρααππ⎛⎫⎛⎫==+
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1212S ρρ∆OAB =，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围； 【详解】
解：
（Ⅰ）由11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()()22
112x y -+-=
()()
22
cos 1sin 12ρθρθ-+-=，整理得2cos 2sin =+
曲线C 是以()1,1
为圆心，为半径的圆. （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+
22cos 2sin 2sin 2cos 22
OB ρααααππ⎛⎫
⎛⎫
==+++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()22121
2cos sin 2cos 22
S ρρααα∆OAB =
=-= 66
αππ-
≤≤，233αππ∴-≤≤，1
cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，
ABO ∆面积的取值范围为[]1,2
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．。