绥阳县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

绥阳县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ） A ．
725
B ．725- C. 725± D ．2425
3． 设x ，y 满足线性约束条件，若z=ax ﹣y （a ＞0）取得最大值的最优解有数多个，则实数a
的值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．3
4． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5． 已知平面向量与的夹角为
3
π
，且32|2|=+b a ，1||=b ，则=||a （ ） A ． B ．3 C ． D ．
6． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30 7． 设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4，其中a ，b ，α，β均为非零的常数，f （1988）=3，则f （2008）
的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．不确定
8． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
9． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
10．记集合{
}
22
(,)1A x y x y =+?和集合{
}(,)1,0,0B x y x y x
y =+３?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．
12p B ．1p C ．2
p
D ．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 11．已知圆C 方程为2
2
2x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++=
12．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线
EF 相交
的是（ ）
A ．直线1AA
B ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11B C
二、填空题
13．抛物线
的准线与双曲线
的两条渐近线所围成的三角形面积为__________
14．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣
APQC 的体积为 ．
15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．
16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；
②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
17．【南通中学2018届高三10月月考】定义在
上的函数满足，为的导函数，且
对
恒成立，则
的取值范围是__________________.
18．在空间直角坐标系中，设)1,3(，
m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m . 三、解答题
19．（本小题满分12分）已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
20．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；
（2）若四边形BCC
1B 1是正方形，且A 1D=
，求直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值．
21．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f ．
（I ）若R x ∈∃0，使得不等式m x f ≤)(0成立，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=，证明：31
3b a
+≥.
22．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[
，+∞）上是增
函数．
（1）已知函数f （x ）=x+，x ∈[1，3]，利用上述性质，求函数f （x ）的单调区间和值域；
（2）已知函数g （x ）=
和函数h （x ）=﹣x ﹣2a ，若对任意x 1∈[0，1]，总存在x 2∈[0，1]，
使得h （x 2）=g （x 1）成立，求实数a 的值．
23．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．
⑴若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1
sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．
24．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
绥阳县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：双曲线的顶点为（0，﹣2
）和（0，2
），焦点为（0，
﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2
），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为．
故选D ．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
2． 【答案】A 【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化. 3． 【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax ﹣y （a ＞0）得y=ax ﹣z ， ∵a ＞0，∴目标函数的斜率k=a ＞0． 平移直线y=ax ﹣z ，
由图象可知当直线y=ax ﹣z 和直线2x ﹣y+2=0平行时，当直线经过B 时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件．
当直线y=ax ﹣z 和直线x ﹣3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．
此时a=．
故选：B．
4．【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
5．【答案】C
考点：平面向量数量积的运算．
6．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．7．【答案】B
【解析】解：∵f（1988）=asin（1988π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，
∴asinα+bcosβ=﹣1，
故f（2008）=asin（2008π+α）+bcos（2008π+β）+4=asinα+bcosβ+4=﹣1+4=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．
8．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
9．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB D
及其内部，由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为1
1
2P ==p 2p
，故选A.
11．【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=
+∴-+
+=，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 12．【答案】D 【解析】
试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线
EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断.
二、填空题
13．【答案】
【解析】【知识点】抛物线双曲线
【试题解析】抛物线的准线方程为：x=2;
双曲线的两条渐近线方程为：
所以
故答案为：
14．【答案】V
【解析】
【分析】四棱锥B﹣APQC的体积，底面面积是侧面ACC′A′的一半，B到侧面的距离是常数，求解即可．【解答】解：由于四棱锥B﹣APQC的底面面积是侧面ACC′A′的一半，不妨把P移到A′，Q移到C，
所求四棱锥B﹣APQC的体积，转化为三棱锥A′﹣ABC体积，就是：
故答案为：
15．【答案】[]．
【解析】解：由题设知C41p（1﹣p）3≤C42p2（1﹣p）2，
解得p，
∵0≤p≤1，
∴，
故答案为：[]．
16．【答案】①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
17．【答案】
【解析】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这
是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。

许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。

18．【答案】1 【解析】 试题分析：()()()()22131112
22=-+--+-=
m AB ，解得：1=m ，故填：1.
考点：空间向量的坐标运算
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=． 【解析】
试题分析：（1）L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可
证明；（2）由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.
1111]
（2）圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点：直线方程；直线与圆的位置关系. 20．【答案】
【解析】证明：（1）连AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点O ，连DO ，则O 为AC 1中点， ∵D 为AB 的中点， ∴DO ∥BC 1，
∵BC 1⊄平面A 1CD ，DO ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD ．
解：∵底面△ABC 是边长为2等边三角形，D 为AB 的中点， 四边形BCC
1B 1是正方形，且A 1D=，
∴CD ⊥AB ，CD=
=
，AD=1，
∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，
∵，∴，
∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．
以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），A（1，0，），D（，0，），A1（1，2，），
=（，﹣2，﹣），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），
设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ，
则sinθ===．
∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f （x ）在x ∈[1，2]上单调递减，在x ∈[2，3]上单调递增，
f （x ）min =f （2）=2+2=4，又f （1）=1+4=5，f （3）=3+=；
f （1）＞f （3）所以f （x ）max =f （1）=5 所以f （x ）在x ∈[1，3]的值域为[4，5]．
（2）y=g （x ）=
=2x+1+
﹣8
设μ=2x+1，x ∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，
由已知性质得，
当1≤u ≤2，即0≤x ≤时，g （x ）单调递减，所以递减区间为[0，]；
当2≤u ≤3，即≤x ≤1时，g （x ）单调递增，所以递增区间为[，1]；
由g （0）=﹣3，g （）=﹣4，g （1）=﹣
，得g （x ）的值域为[﹣4，﹣3]．
因为h （x ）=﹣x ﹣2a 为减函数，故h （x ）∈[﹣1﹣2a ，﹣2a]，x ∈[0，1]． 根据题意，g （x ）的值域为h （x ）的值域的子集，
从而有，所以a=．
23．【答案】⑴2a =⑵11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
⑶2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）
在点
11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），
分析可得必有()()2
15
218
f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：
⑵
()()()
211'ax x f x x
-+=
，
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≥∴-≥，得14a ≥；
若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{
610
a a -≤∴-≤，得1
6a ≤，
综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
；
⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，
()min 158f x ∴≥，即()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥，
由()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；
当0a >时，由()'0f x =，得1
2x a
=
或1x =-（舍去），
当1
02x a
<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 115
28
f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117
ln 2228a a -⋅
≥， 设()1ln 2h x x x =-，()211
02h x x x
∴=+>'，()h x ∴单调递增，
a Z ∈，2a ∴为偶数，
又()172ln248h =-<，()17
4ln488
h =->，
24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

24．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析. 【解析】
试
题解析：
（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴1c =，
2222
221121,1a b c b a b +==+=+， ∴22
1,2b a ==，
即2
212
x y +=；
（2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22
221
,112
2
A B A B kb b x x x x k k --+==++，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()
11
2A B A B A B A B MA MB A B
A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=，
∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．。