博弈论混合策略纳什均衡

§ 期望支付 • 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可
用期望支付(expected payoff)来描述——有个n可能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生 的概率分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指标的期望值定义为发生概率作为权 重的所有可能取值的加权平均，也就是
同学A
上r 下1-r
同学B
左c
右1-c
2，1
0，0
0，0
1，2
• 根据上表，参与人A的期望收益为：2rc+(1-r)(1-c)。即：2rc+1-r-c+rc。
混合战略纳什均衡
• p *=a/（a+F）， q*=C/（a+F）即税收机关以a/（a+F）的概率检查，纳税人以C/（a+F）的 概率选择逃税。
• 这个均衡的另一个可能的解释是，经济中有许多个纳税人，其中有C/（a+F）的比例的纳税 人选择逃税，（1- C/（a+F））比例选择不逃税；税收机关随机地检查a/（a+F）比例的纳 税人的纳税情况。
个博弈。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规定参与人在一个给定的信息情况下只选择一种特定 的行动。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策略规定参与人在给定的信息情况下，以某种概率分 布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，混合策略是不同行动之间的随机选择。
• -(a+F) p +0(1- p)= -a • 得p *=a/(a+F)
说明
• 如果税收机关检查概率小于p*, • 即p<a/（a+F），纳税人的最优选择是逃税； • 如果税收机关检查的概率大于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的最优选择是不逃税； • 如果税收机关检查的概率等于p*, • 即p=a/（a+F），纳税人的选择无差异。
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G,1 即政府 的以 概率选1择 的 救概 济率 ，选择不
2、流浪汉的混合策略为：
L,1 即流浪 的汉 概以 率选择 1寻 的找 概工 率作 选， 择
解一:支付最大化 那么，政府的期望效用函数为：
v G G , L 3 1 1 1 0 1 5 1
策略
得益
博弈方1 （0.75，0.25） 0.67
博弈方2
（1/3，2/3）
0.75
夫妻之争博弈
r
1
qR2(r)
1/3
(r,1-r)：丈夫的混合策略概率分布
(q,1-q)：妻子的混合策略概率分布
rR1(r)
1/3
1
q
练习如何画反应曲线
• 在以下收益矩阵，我们令参与人A选择“上”的概率为r，选择“下”的概率为1-r，同 样，我们令参与人B选择“左”的概率为c，选择“右”的概率为1-c。当r和c等于0时， 相应的策略为纯策略。根据收益矩阵和参与人选择的概率，可以得到参与人的期望收益。
博弈方1 （0.8，0.2） 2.6
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
夫妻之争的混合策略纳什均衡
看看这个博弈有几个均衡?
时装 妻 子
足球
时装 2， 1
丈夫
足球 0， 0
0， 0
1， 3
夫妻之争
存在两个纯策略均衡
时装 妻 子
足球
时装 2， 1
丈夫
足球 0， 0
0， 0
1， 3
夫妻之争
还存在混合策略纳什均衡
可以通过单独改变策略而反输为赢。如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏好，他就能猜 测到对手的策略而采用针对性策略从而保证赢。
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定要避免
自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好，预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢得这
解二:支付等值法 • 政府选择不救济策略
1
期望效用
0 期望效用
vG1, 3 11 vG0, 1 01
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
v G 1 ,4 1 v G 0 , 0 .2
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异 的，即：
博弈论混合策略纳什均衡
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石头、布的游戏. • 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们的选择
寻找工作
游闲
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这个博弈有没有纯策略的纳什均衡？ • ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直采用纯策略吗？ • 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针对性的策略，使自己的支付增加。
•
0， 如果q>1/2
1， 如果p>1/2
• p [0,1], 如果q=1/2 q [0,1], 如果p=1/2
•
1, 如果q<1/2
0, 如果p<1/2
§ 反应函数曲线相应方法
纳什均衡是A和B都出红牌或者黑牌的概率是 一半对一半
p 1
1/2
1/2
1
q
练习：税收检查（监督博弈）
• 设定a是应纳税款；C是检查成本；F是罚款，假定是C<a+F。看看是否存在纯策略纳什 均衡？混合策略纳什均衡在哪里？
字母说明
• 此博弈不存在纯策略纳什均衡。 • 我们用p代表税收机关检查的概率；q代表纳税人逃税的概率。
求解：混合战略纳什均衡之一
• 假定纳税人采用混合策略达到最优选择时，则税收机关在检查和不检查两种策略的期望收益 相等：
• (a-C+F) q+(a-C)(1- q)=a(1- q) • q*=C/（a+F）
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件为：
v G 5 1 0 0 .2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略——流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率 选择游闲。
• 解一:支付最大化 • 流浪汉的期望效用函数为：
L
2 1 0
0.5
• 政府选择救济策略
时装C 妻 子
足球F
丈夫
时 装C
足 球F
2， 1
0， 0
0， 0
1， 3
夫妻之争
妻子的混合策略
p w (C ) 1 p w (F ) 0 p w (C ) 0 p w (F ) 3
丈夫的混合策略
p h (C ) 2 p h (F ) 0 p h (C ) 0 p h (F ) 1
夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
是哪个策略，都不能保证得到较好的结果。根据我们上一章所学的方法，这个博弈没有纳什均 衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随意选择，结果都一样呢？
§剪刀、石头、布的游戏
• 答案是否定的。 • 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的，策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大的影响。 • 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方又总是
• 思考一下:在这个博弈中,检查成本C,罚款F和应纳税款数额a对纳税人逃税的影响是怎么样的? 为什么会有这样的影响?
• 在这个博弈中,检查成本C越高,纳税人逃税的概率越大;罚款F越高,纳税人逃税的概率越小;应 纳税款越大，纳税人逃税的概率反而越小。
• 应纳税款越大，纳税人逃税的概率反而越小？这跟我们的假设有关，假定一检查逃税行为就 会被发现；假定检查成本一定，而不是跟应交税额有关，即应交税额越大，检查成本越高； 不考虑纳税人在应交税额高时贿赂税务人员的积极性越高的情况。如果放开这些假设，其结 果就有可能与现实更贴近。纳税税款越高，纳税人逃税的概率越高。
红 甲
黑
红 -1， 1 1， -1
乙 黑
1， -1 -1， 1
§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以 q的概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
这样甲的 U A (p,期 q)(1 望 )p [ q 支 (1p)付 1 (q) 是 ]1 [p(1q)(1p)q] 2p(12q)(2q1) 乙的期 U B (望 p,q)1 支 [p q(1 付 p)1 是 (q) ](1)p [(1q)(1p)q] 2q(12p)(2p1)
3， 1
1， 5
对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异
p A 3 p B 1 p A 2 p B 5
对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异
p C 2 p D 5 p C 3 p D 1
解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2
策略
得益
vL1,13vL0, 0.5
政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯策略。也就是说，一个参与人选择不同策略 的概率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手的支付决定的。
n
• 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷i 的不动点定理。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核心概念的根本原因之一。
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢，如果 出牌颜色不一样，则甲赢乙输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
• 答案：用反应曲线法找到政府与流浪汉博弈的混合策略纳什均衡
练习:混合策略的纳什均衡
下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合策略纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付 等值法两种方法算一算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线,求得混合策略的纳什均衡.
博
A
弈
方
1
B
博弈方2
C
D
2， 3
5， 2
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员 等都可以看成猜谜博弈。
纳什均衡的存在性
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈
中，如果n是有限的，且 都是有限集
S G {S, S;u, u} (对
)，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策i略。1 1,nn 1
E A U p 1 X 1 p 2 X 2 . .p .n X n
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用 救济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付 如图所示：
政府
救济
红p 甲
黑1-p
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
§ 反应函数
• A的目标是期望支付越大越好。我们之所以把A的期望支付整理成不含p的一项和含p的一项这 个样子，是因为A只能选择p而不能q，因此，A能通过选择p来影响第一项，而不能直接影响 第二项。（1-2q）>0即q<1/2时，A把p选择等于1最好；当（1-2q）<0即q>1/2时，A把p选择 等于0最好；当（1-2q）=0即q=1/2时，A可以在[0，1]之间随便选择一个p。这样我们可以得 到A的反应函数是，同样道理我们可以得到B的反应函数。
说明
• 如果纳税人逃税的概率小于q*, • 则q<C/a+F ，税收机关的最优选择是不检查； • 如果纳税人逃税的概率大于q*, • 则q>C/a+F ，税收机关的最优选择是检查； • 如果纳税人逃税的概率等于q*, • 则q=C/a+F ，税收机关随机地选择检查或不检查。
之二
• 假设采用混合策略是税务机关的最优选择那么给定p ,纳税人选择逃税和不逃税的期望收益相 等：
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 • 事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间是无差异的，他的行为才难以预测，混合策
略纳什均衡才会存在。
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比 赛、垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈中，参与比赛的总是随机行动以使自己 的行为不被对方所预测。